25屆高三數(shù)學(xué)高考模擬測試（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一選是符合題目的。1．設(shè)集合．若，則（）A．B．2C．3D．42．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知平面向量，且，則（）A．B．C．D．14．“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，現(xiàn)有“方斗”容器如圖所示，已知，現(xiàn)往容器里加米，當(dāng)米的高度是“方斗”高度的一半時，用米，則該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為（）A．B．C．D．5．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，把這五個音階排成一列，形成一個音序，若徵、羽兩音階相鄰且在宮音階之后，則可排成不同音序的種數(shù)為（）A．128B．64C．48D．246．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C左支上一點(diǎn)，與C的右支交于點(diǎn)Q，中點(diǎn)為M，若，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．7．已知函數(shù)，若對于，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位數(shù)（分位數(shù)）為7B．樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)滿足，則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同C．若隨機(jī)事件A，B滿足：，則A，B相互獨(dú)立D．若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則10．已知數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．C．D．當(dāng)時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列11．如圖，在正四面體中，，D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC上的點(diǎn)，且，G為EF的中點(diǎn)，Q為四邊形EBCF內(nèi)（含邊界）一動點(diǎn)，，則（）A．B．五面體的體積為C．點(diǎn)Q的軌跡長度為D．AQ與平面PBC所成角的正切值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足，的最大值是_________．13．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M是平面內(nèi)與，不重合的點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為N，線段的中點(diǎn)在雙曲線C的左支上，，雙曲線C的一條漸近線與圓（c為雙曲線C的半焦距）相交所得弦長為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．14．已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則__________，若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點(diǎn)，．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求a的值．16．（15分）如圖1，與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形，∠，，連接是BD，E邊BC上一點(diǎn)，過E作，交CD于點(diǎn)F，沿EF將向上翻折，得到如圖2所示的六面體．（1）求證：；（2）設(shè)，若平面底面ABEFD，若平面PAB與平面PDF所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面ABEFD，求六面體的體積的最大值．17．（15分）某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如下頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；（2）群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個隨機(jī)紅包，每個紅包的總金額均相等且每個人都能搶到紅包．小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率．（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包．第一個紅包由群主發(fā)．根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為．設(shè)前n輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為X，第n輪由群主發(fā)紅包的概率為．求及X的期望．18．（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為．（1）求橢圓E的方程；（2）點(diǎn)P是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．①求證直線MN恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；②求面積的最小值．19．（17分）有窮數(shù)列中，令．（1）已知數(shù)列，2，，3，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；（2）已知整數(shù)列，n為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時，；當(dāng)i為偶數(shù)時，．求的最小值；（3）已知數(shù)列滿足，定義集合．若且為非空集合，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一選是符合題目的。題號1234567891011答案BABDDDDCBCABDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．22分；3分四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（1）（2）（1）由已知，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個極值點(diǎn)，所以，解得，3分所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；5分（2）由（1）得，即兩個極值點(diǎn)為方程的兩根，則，所以7分代入得，其中，則，得，9分設(shè)，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，又，12分所以．13分16．（1）證明見解析（2）（3）（1）證明：不妨設(shè)EF與AC的交點(diǎn)為N，BD與AC的交點(diǎn)為M由題知，，則有又，則有．由折疊可知，，所以可證，2分由，平面PAN，平面PAN，則有平面PAN又因?yàn)槠矫鍼AN，所以．4分（2）解：依題意，有，平面平ABEFD面，又平面PEF，則有平面ABEFD，，又由題意知，5分如圖所示：以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NA，NE，NP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意知由可知，則則有7分設(shè)平面ABP與平面DFP的法向量分別為則有8分則9分所以因?yàn)椋獾茫?0分（3）設(shè)所求幾何體的體積為V，設(shè)，則，12分∴當(dāng)時，，當(dāng)時，∴在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)∴當(dāng)時，V有最大值，即15分∴六面體的體積的最大值是17．（1）平均值9.05，眾數(shù)2.5（2）（3）（1）由頻率分布直方圖可得，紅包金額的平均值為：；眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為2.5；3分（2）由題可知，每個紅包搶到10元以上金額的概率為，且3次紅包相互獨(dú)立，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為；8分（3）由題意，，由，又，9分是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．11分設(shè)為第k輪發(fā)紅包時群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，故服從兩點(diǎn)分布：，．由已知，則15分18．（1）（2）①證明見解析，直線MN恒過定點(diǎn)，②．（1）解：若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，可得，可得，2分設(shè)，且，則，因?yàn)椋傻?，所以，所以橢圓E的方程為．4分（2）解：①由（1）知，橢圓E的焦點(diǎn)，設(shè)，則切線PM的方程為，即，點(diǎn)P在直線PM上，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?分代入上式，可得所以，同理，所以直線MN恒過定點(diǎn)．9分②由（1）知直線MN恒過定點(diǎn)，令直線，代入橢圓方程，聯(lián)立方程組，可得，則，且，11分（i）當(dāng)時，點(diǎn)P到直線MN的距離為,因?yàn)?，所以，所?所以，所以，又由弦長公式，可得，所以，14分令，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以；16分（ii）當(dāng)時，，17分綜上可得，的最小值為．19．（1）（2）（3）證明見解析（1）為時，，為時，，為時，，為時，，故，且使得的有序數(shù)對有；4分（2）由