2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破）：解析與解題訓(xùn)練試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點Q的坐標(biāo)是（）A.(0,0,0)B.(2,2,2)C.(1,1,1)D.(3,3,3)解析：同學(xué)們，你們想想啊，點Q是點P關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點，那咱們得先找出這個平面的法向量，也就是(1,1,1)，然后利用點到平面的距離公式求出點P到平面的距離，最后根據(jù)對稱點的性質(zhì)，將點P沿著法向量的方向移動兩倍的距離，就能得到點Q的坐標(biāo)了。答案是B。2.已知直線l1：x+y-1=0和直線l2：2x-y+3=0，則直線l1與l2的夾角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：同學(xué)們，兩條直線的夾角，咱們得先求出它們的斜率，直線l1的斜率是-1，直線l2的斜率是2，然后利用兩條直線夾角公式cosθ=|k1k2|/√(1+k12)√(1+k22)，就能求出夾角θ了。答案是C。3.已知圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=9，則圓C的圓心到直線3x+4y-5=0的距離是（）A.1B.2C.3D.4解析：同學(xué)們，圓心到直線的距離，咱們得先找出圓心的坐標(biāo)，也就是(1,2)，然后利用點到直線的距離公式d=|Ax0+By0+C|/√(A2+B2)，就能求出距離d了。答案是B。4.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(x)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：同學(xué)們，正弦函數(shù)的最小正周期是2π/|ω|，這里ω=2，所以最小正周期是π。答案是B。5.已知等差數(shù)列{an}的首項為1，公差為2，則前n項和Sn=（）A.n2B.n2+1C.2n2D.2n2+1解析：同學(xué)們，等差數(shù)列的前n項和公式是Sn=n(a1+an)/2，這里a1=1，an=1+2(n-1)=2n-1，所以Sn=n(1+2n-1)/2=n2。答案是A。6.已知函數(shù)g(x)=log?(x+1)，則g(x)的反函數(shù)是（）A.g?1(x)=2x-1B.g?1(x)=2x+1C.g?1(x)=log?(x-1)D.g?1(x)=log?(x+1)解析：同學(xué)們，求反函數(shù)，咱們得先把x和y互換，然后解出y，這里g(x)=log?(x+1)，所以x+1=2^g(x)，所以x=2^g(x)-1，所以g?1(x)=2x-1。答案是A。7.已知三角形ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，且sinA=1/2，sinB=√3/2，則角C的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：同學(xué)們，三角形內(nèi)角和為180°，所以C=180°-A-B，這里A=30°，B=60°，所以C=90°。答案是D。8.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x>1}，則集合A∩B是（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}解析：同學(xué)們，集合A是方程x2-3x+2=0的解集，也就是{1,2}，集合B是所有大于1的實數(shù)，所以A∩B={2}。答案是B。9.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，則向量a·b=（）A.5B.10C.15D.20解析：同學(xué)們，向量a和向量b的數(shù)量積，咱們得將它們的對應(yīng)分量相乘再相加，也就是1×3+2×4=11，所以向量a·b=11。答案是C。10.已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積是（）A.15πB.20πC.25πD.30π解析：同學(xué)們，圓錐的側(cè)面積公式是πrl，這里r=3，l=5，所以側(cè)面積=15π。答案是A。11.已知直線l：y=kx+1與橢圓C：x2/9+y2/4=1相交于兩個不同的點，則k的取值范圍是（）A.(-∞,-2)∪(2,∞)B.(-2,2)C.(-∞,-3/2)∪(3/2,∞)D.(-3/2,3/2)解析：同學(xué)們，直線和橢圓相交，咱們得將直線的方程代入橢圓的方程，然后根據(jù)判別式大于0求出k的取值范圍，這里判別式大于0，所以k的取值范圍是(-3/2,3/2)。答案是D。12.已知函數(shù)h(x)=x3-3x2+2，則函數(shù)h(x)的極值點是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=0和x=2解析：同學(xué)們，求函數(shù)的極值點，咱們得先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)等于0，解出x的值，這里h'(x)=3x2-6x，令h'(x)=0，解得x=0和x=2，所以極值點是x=0和x=2。答案是D。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知點A(1,2,3)和點B(3,2,1)，則向量AB的模長是________。解析：同學(xué)們，向量AB的模長，咱們得先求出向量AB的坐標(biāo)，也就是(3-1,2-2,1-3)=(2,0,-2)，然后利用向量模長公式|AB|=√(x2+y2+z2)，就能求出模長了。答案是2√2。14.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=4，則圓C的圓心到原點的距離是________。解析：同學(xué)們，圓心到原點的距離，咱們得先找出圓心的坐標(biāo)，也就是(-1,2)，然后利用兩點間的距離公式d=√(x2+y2)，就能求出距離d了。答案是√5。15.已知等比數(shù)列{bn}的首項為2，公比為3，則前n項和Sn=________。解析：同學(xué)們，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，這里a1=2，q=3，所以Sn=2(1-3^n)/(1-3)=3^n-1。答案是3^n-1。16.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是________，最小值是________。解析：同學(xué)們，求函數(shù)在區(qū)間上的最值，咱們得先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后找出導(dǎo)數(shù)為0的點，再比較這些點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，這里f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，所以最大值是f(-1)=8，最小值是f(2)=-1。答案是8和-1。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.(10分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求三棱錐P-ABC的體積。解析：同學(xué)們，咱們先來看第一問，要證平面ABE⊥平面PAC，那得先找出這兩個平面的公共點，也就是點A，然后分別在兩個平面內(nèi)找兩條相交直線，看看這兩條直線是不是垂直。在平面ABE中，咱們有AB⊥BE，因為BE是PC的中線，所以BE⊥AC，又因為AB在平面ABE內(nèi)，所以AB⊥平面PAC。在平面PAC中，咱們有AC⊥PA，因為AC在平面PAC內(nèi)，所以AC⊥BE，又因為BE在平面ABE內(nèi)，所以AC⊥平面ABE。所以，AB⊥平面PAC，AC⊥平面ABE，且AB和AC相交于點A，所以平面ABE⊥平面PAC。至于第二問，求三棱錐P-ABC的體積，咱們可以直接用公式V=1/3×底面積×高，底面是△ABC，高就是PA，所以V=1/3×1×2×2=4/3。但是，老師要提醒大家，這種直接用公式的方法可能不是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，咱們也可以用等體積法，比如將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個四棱錐P-ABCD，然后求出四棱錐的體積，再除以2，也能得到正確的答案。答案是平面ABE⊥平面PAC，三棱錐P-ABC的體積是4/3。18.(12分)已知函數(shù)f(x)=2sin2x+cosx-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π/2,π/2]上的最大值和最小值。解析：同學(xué)們，先來看第一問，求函數(shù)f(x)的最小正周期，咱們得先把函數(shù)化簡，這里f(x)=2sin2x+cosx-1=1-cos2x+cosx-1=-cos2x+cosx，然后利用周期公式T=2π/|ω|，這里ω=1，所以T=2π。但是，咱們也可以用另一種方法，將f(x)寫成sin(2x-π/4)的形式，這樣也能看出周期是π，所以最小正周期是π。至于第二問，求函數(shù)在區(qū)間[-π/2,π/2]上的最值，咱們可以先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f'(x)=-2sin(2x-π/4)，然后令f'(x)=0，解得x=π/8和x=3π/8，但是x=3π/8不在區(qū)間[-π/2,π/2]內(nèi)，所以只需要比較x=-π/2，x=π/8和x=π/2處的函數(shù)值，計算出來最大值是√2-1，最小值是-√2。答案是π和√2-1，-√2。19.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=1，Sn+1=2Sn+n。（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=an?2??1，求證數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(n-1)?2??1。解析：同學(xué)們，咱們先來看第一問，要證數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那得證明相鄰兩項的差是常數(shù)。由Sn+1=2Sn+n，得Sn=2Sn-1+n-1，所以an=Sn-Sn-1=2Sn-1+n-1-(2Sn-2+n-2)=2(Sn-1-Sn-2)+1=2an-1+1，所以an-an-1=1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為1。至于第二問，要證數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(n-1)?2??1，咱們可以先求出bn的表達(dá)式，bn=an?2??1=(a1+(n-1)d)?2??1=1?2??1+(n-1)?2??1，所以Tn=1?2?+2?21+3?22+...+n?2??1，然后將這個式子乘以2，再相減，就能得到Tn=(n-1)?2??1。答案是數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(n-1)?2??1。20.(12分)如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點P從點A開始沿邊AC向點C移動，同時點Q從點B開始沿邊BC向點C移動，移動的速度都是1個單位長度每秒，設(shè)移動時間為t秒。（1）用t表示AP和BQ的長度的和S；（2）當(dāng)t為何值時，AP和BQ的長的平方和最??？并求出這個最小值。解析：同學(xué)們，先來看第一問，求AP和BQ的長度的和S，咱們可以根據(jù)題意列出表達(dá)式，AP=3-t，BQ=4-t，所以S=AP+BQ=7-2t。至于第二問，求AP和BQ的長的平方和的最小值，咱們可以先列出函數(shù)表達(dá)式，S'=AP2+BQ2=(3-t)2+(4-t)2=2t2-14t+25，然后求導(dǎo)數(shù)，S''=4t-14，令S''=0，解得t=7/2，所以當(dāng)t=7/2時，S'取得最小值，最小值為(7/2)2-14(7/2)+25=1/2。但是，咱們也可以用另一種方法，將AP和BQ看作是直角坐標(biāo)系中的兩個點，然后求出這兩個點之間的距離的最小值，也能得到相同的結(jié)果。答案是當(dāng)t=7/2時，AP和BQ的長的平方和最小，最小值為1/2。21.(12分)已知橢圓C：x2/9+y2/4=1的離心率為√5/3，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于不同的兩點P和Q，且線段PQ的中點坐標(biāo)為(1,2)。（1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的方程。解析：同學(xué)們，先來看第一問，求橢圓C的方程，咱們可以根據(jù)離心率的定義，e=c/a，這里a=3，e=√5/3，所以c=√5，所以b2=a2-c2=9-5=4，所以橢圓C的方程為x2/9+y2/4=1。至于第二問，求直線l的方程，咱們可以將直線l的方程代入橢圓C的方程，得到x2/9+(kx+m)2/4=1，然后根據(jù)中點坐標(biāo)公式，得到x1+x2=2，y1+y2=4，將這兩個式子代入上面的方程，解出k和m的值，得到k=4/3，m=4/3，所以直線l的方程為y=4/3x+4/3。但是，老師要提醒大家，這里要注意解方程時可能出現(xiàn)的解的個數(shù)問題，要確保直線l與橢圓C相交于不同的兩點。答案是橢圓C的方程為x2/9+y2/4=1，直線l的方程為y=4/3x+4/3。22.(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且對于任意正整數(shù)n，都有an+1=2an+1/n。（1）求證數(shù)列{an+1/n}是等比數(shù)列；（2）求lim(n→∞)an/n。解析：同學(xué)們，先來看第一問，要證數(shù)列{an+1/n}是等比數(shù)列，那得證明相鄰兩項的比是常數(shù)。由an+1=2an+1/n，得an+1+1/n=2(an+1/n)，所以數(shù)列{an+1/n}是等比數(shù)列，公比為2。至于第二問，求lim(n→∞)an/n，咱們可以根據(jù)第一問的結(jié)果，得到an+1/n=(a1+1/1)?2??1=2?，所以an=2??1/n，所以lim(n→∞)an/n=lim(n→∞)2??1/n=0。但是，咱們也可以用另一種方法，將an+1=2an+1/n兩邊取對數(shù)，然后求極限，也能得到相同的結(jié)果。答案是數(shù)列{an+1/n}是等比數(shù)列，lim(n→∞)an/n=0。本次試卷答案如下一、選擇題1.B解析：點Q是點P關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點，可以通過求點P到平面的垂線段的中點來求解。設(shè)垂足為H，則H的坐標(biāo)為(1/3,2/3,3/3)=(1/3,2/3,1)，因為Q是P和H的中點，所以Q的坐標(biāo)為(1+1/3,2+2/3,3+1/3)=(4/3,8/3,10/3)，與選項B不符。正確答案應(yīng)為(2,2,2)。2.C解析：直線l1和l2的斜率分別為-1和2，兩條直線的夾角θ滿足tanθ=|k1-k2|/|1+k1k2|=|(-1)-2|/|1+(-1)×2|=3/1=3，所以θ=60°。選項C正確。3.B解析：圓C的圓心為(1,2)，直線3x+4y-5=0的距離d=|3×1+4×2-5|/√(32+42)=|3+8-5|/5=6/5，與選項B不符。正確答案應(yīng)為2。4.B解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期為2π/|ω|=2π/2=π。選項B正確。5.A解析：等差數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，這里a1=1，an=1+2(n-1)=2n-1，所以Sn=n(1+2n-1)/2=n2。選項A正確。6.A解析：函數(shù)g(x)=log?(x+1)的反函數(shù)為y=2^x-1，所以g?1(x)=2x-1。選項A正確。7.D解析：三角形ABC中，sinA=1/2，sinB=√3/2，所以A=30°，B=60°，C=180°-A-B=90°。選項D正確。8.B解析：集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2}，B={x|x>1}，所以A∩B={2}。選項B正確。9.C解析：向量a=(1,2)和向量b=(3,4)的數(shù)量積為a·b=1×3+2×4=11，與選項C不符。正確答案應(yīng)為15。10.A解析：圓錐的側(cè)面積公式為πrl，這里r=3，l=5，所以側(cè)面積=15π。選項A正確。11.D解析：直線l：y=kx+1與橢圓C：x2/9+y2/4=1相交于兩個不同的點，將直線方程代入橢圓方程，得到x2/9+(kx+1)2/4=1，整理得到(4+9k2)x2+18kx-27=0，判別式Δ=182k2+4×(4+9k2)×27>0，解得k∈(-3/2,3/2)。選項D正確。12.D解析：函數(shù)h(x)=x3-3x2+2的導(dǎo)數(shù)為h'(x)=3x2-6x，令h'(x)=0，解得x=0和x=2，所以極值點是x=0和x=2。選項D正確。二、填空題13.2√2解析：向量AB的坐標(biāo)為(3-1,2-2,1-3)=(2,0,-2)，模長為|AB|=√(22+02+(-2)2)=√8=2√2。選項2√2正確。14.√5解析：圓C的圓心為(-1,2)，到原點的距離為√((-1)2+22)=√5。選項√5正確。15.3^n-1解析：等比數(shù)列{bn}的首項為2，公比為3，前n項和公式為Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-3^n)/(1-3)=3^n-1。選項3^n-1正確。16.8和-1解析：函數(shù)f(x)=x2-4x+3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2，所以最大值是f(-1)=8，最小值是f(2)=-1。選項8和-1正確。三、解答題17.（1）證明：在矩形ABCD中，AB⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，AD在平面ABCD內(nèi)，所以PA⊥AD。又因為E是PC的中點，所以PE=EC，所以BE⊥AC，因為AC在平面PAC內(nèi)，所以BE⊥平面PAC。又因為AB在平面ABE內(nèi)，所以AB⊥平面PAC。所以平面ABE⊥平面PAC。（2）解：三棱錐P-ABC的體積為V=1/3×底面積×高，底面是△ABC，高為PA=2，所以V=1/3×1×2×2=4/3。18.（1）解：函數(shù)f(x)=2sin2x+cosx-1=-cos2x+cosx=-cosx(cosx-1)，所以最小正周期為T=2π/|ω|=2π/1=2π。（2）解：函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π/2,π/2]上的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=-2sin(2x-π/4)，令f'(x)=0，解得x=π/8和x=3π/8，但是x=3π/8不在區(qū)間