遵循波利亞“解題表”，深挖題目?jī)?nèi)在價(jià)值

麥少鳳

［.要.教師如果認(rèn)為“題目簡(jiǎn)單”而不太重視課本習(xí)題，則易陷入”為做題而做題”的

誤區(qū).課本中會(huì)有一些“小題目”，教師借助波利亞的“怎樣解題表”，可以幫助學(xué)生更快更

有效地找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和難點(diǎn)的突破點(diǎn)，還可以讓自己更深入地挖掘題FI本身的內(nèi)

在價(jià)值，讓“小題目”產(chǎn)生“大發(fā)現(xiàn)”的美妙變化，有利于師生的解題思維提升.

［關(guān)鍵詞］波利亞“解題表”;內(nèi)在價(jià)值;通性通法

問(wèn)題緣起：?道課本習(xí)題

案.如圖1,在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，MN1MA,CN平分/DCE,E為BC

的延K線上點(diǎn).求證：MA=MN.

上述案例是人教版教材八下的一道課本習(xí)題,這是很經(jīng)典的一道習(xí)題，很多地方的中考

題或期末考試題都喜歡以這道題為母版進(jìn)行改編，而且經(jīng)久不衰.由此可見(jiàn),這道題蘊(yùn)含著豐

富的內(nèi)在價(jià)值，值得我們對(duì)它進(jìn)行深度探究.下文，我們將遵循波利亞“解題表”的四部曲，

深挖該題的內(nèi)在價(jià)值，并以此為契機(jī)，引導(dǎo)讀者觸類旁通、舉一反三.

眾所周知，學(xué)生解題時(shí)遇到的最大困難是，即使他們已掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)（數(shù)學(xué)

的基本概念、公式、定理、方法）和基本技能，也可以溶用它們?nèi)ソ鉀Q一些問(wèn)題，但面對(duì)

陌生的問(wèn)題時(shí)，他們卻不知如何下手，宛如“老虎吃天.無(wú)從下口”.近年來(lái)，廣州的中考

題每年都會(huì)呈現(xiàn)好幾道這樣“宛如天降”的壓軸題，讓廣大考生束手無(wú)策，根本不知從何

下手.廣州中考數(shù)據(jù)顯示，分?jǐn)?shù)段在130-150的考生占比:2017年為5.52%,20手年為

2.13%.因此，對(duì)于廣大廣州考生來(lái)說(shuō)，中考數(shù)學(xué)拿高分是相當(dāng)困難的事情.造成壓軸題難以

成功突破的原因雖然有很多，但最重要的可能是以卜兩方面：一是缺少解題的基本思想方

法，二是缺少指導(dǎo)自己理解題意的基本方法.而波利亞的“解題表”，雖然沒(méi)有為我們提供

一個(gè)萬(wàn)能的解題方法，但卻可以引導(dǎo)我們更好地理解題意，更容易找到解題的思路，同時(shí)

也可以引導(dǎo)我們更進(jìn)一步地思考題目的內(nèi)在意義，達(dá)到解一題，懂一類，甚至觸類旁通的

效果.

波利亞的“怎樣解題表”是針對(duì)“怎樣解題”“怎樣學(xué)會(huì)解題”等問(wèn)題，教師把“解

題中典型、有用的智力活動(dòng)”，按照學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)思維的自然過(guò)程分為四個(gè)階段，即弄清

問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的

解題系統(tǒng).

解題策略

(-)弄清問(wèn)題

(1)你要求證什么？

題目要求證的是MA=MN.

(2)你有哪些條件？包括外顯條件、內(nèi)含條件或隱含條件？

一方面是題目給出的正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，MN±MA,CN平分NDCE,

另一方面是由這些已知條件可以直接推出的RM=CM,ZBAM-ZEMN,ZMCN=1350.

(二)擬定計(jì)劃

1.題目類型識(shí)別

當(dāng)我們著手解答一道習(xí)題的時(shí)候，第一件事就是要識(shí)別題目類型，這個(gè)過(guò)程也叫模式識(shí)

別.倘若識(shí)別了習(xí)題的類型，在多數(shù)情況下，我們就能得到解題的思路，因?yàn)橛泻芏囝愋偷牧?xí)

題都會(huì)有它們對(duì)應(yīng)的解題法則或解題方法.

例如，若要證明線段相等，最常規(guī)的思路是通過(guò)證明這兩條邊所在的三角形全等;如果

這兩條線段在同一個(gè)三角形，則可以借助等角對(duì)等邊證明兩腰相等;如果在直角三角形背景

F,還可以借助三角函數(shù),也可以通過(guò)勾股定理證明這兩條線段的長(zhǎng)度相等.這是證明線段相

等的一般思路，當(dāng)然，最常規(guī)、最基礎(chǔ)、最具一般性的方法,肯定是證明三角形全等了.

2.輔助問(wèn)題與形成計(jì)劃

有很多習(xí)題，盡管能夠識(shí)別出對(duì)應(yīng)的類型，但通常不能直接套用在待解決的問(wèn)題中，又

或者是問(wèn)題本身的類型并不容易被識(shí)別或根本是自身不熟悉或費(fèi)解的，此時(shí)就需要設(shè)置

“橋梁”，以完成從未知到已知的轉(zhuǎn)化，而這些所謂的“橋梁”就是指輔助問(wèn)題了.

從題目圖形可知，AM所在的三角形是RtZ\ABM,而MN所在的三角形是鈍角AMCN,

這兩個(gè)三角形不可能全等.

輔助問(wèn).那還能否通過(guò)證全等的方法證明結(jié)論？可以，但必須添加輔助線.那應(yīng)該怎樣

添加？要么利用MN構(gòu)造一個(gè)直角三角形與RtAABM全等，要么利用AM構(gòu)造一個(gè)含135°

的鈍角三角形與AMCN全等.然而，方案一中的構(gòu)造RtZkMFN,卻不夠條件證明RtA

MFN.RtZXABM全等（如圖2）.

形成計(jì).改用方案二，在RtAABM的AB邊上通過(guò)截取BG=BM構(gòu)造△AGM,再證

明AAGM與aMCN全等（如圖3）.而該方案的難點(diǎn)是怎樣才能想到在AB邊上通過(guò)截取

BG=BM構(gòu)造AAGM與AMCN全等，思考的依據(jù)是：由條件可知，ZBAM=ZEMN,Z

MCN=135°,因此構(gòu)造的新三角形必須含有135°角，而1350角會(huì)讓人聯(lián)想到45°角,

而45。角就不難讓人聯(lián)想到等腰直角三角形，難點(diǎn)可由此進(jìn)行突破.

（三）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

證法1:如圖3,在AB上截取BG=BM,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

所以BM=CM=BG=AG,NBGM=BMG=45°.

又CN平分NDCE,

所以NNCE=45°,ZAGM=ZMCN=135°.

又MNJ_MA,

所以NBAM+NAMB=90°,ZCMN+ZAMB=90°,

所以NBAM=NCMN,

所以△AGM?J5AMCN(ASA),

所以MA=MN.

（四）回顧

1.檢驗(yàn)與拓展

正面檢驗(yàn)每?步的推理是否有效，計(jì)算是否準(zhǔn)確，確認(rèn)無(wú)誤后，再思考除了上述方法外,

還能否用別的方法證明這個(gè)結(jié)論？站在中考復(fù)習(xí)的維度上，要證明線段相等,在具備某些

特定條件的前提下，本案例還可以借助三角函數(shù)或構(gòu)建坐標(biāo)系求解.

證法2:借助三角函數(shù)證明MA=MN.（初三適用）

如圖2,由于/BAM=NEMN,所以tanZBAM=tanZEMN,設(shè)NF=x,AB=2a（或

AB=2也行），由==，解得x=a,從而可證MA=MN.

證法3:通過(guò)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，求出N點(diǎn)坐標(biāo).

如圖4,構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,N點(diǎn)坐標(biāo)為（1+a,a）,先求出線段AM的解析式，

再由MNJ_MA,k-k=-1：求出線段MN的解析式，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出a的值,從而

求出AM與MN的長(zhǎng)度,進(jìn)而得證.

2.推廣與變式

“推廣”指將題FI及其解法的本質(zhì)推廣到類似的情境中；“燮式”指保持題目或解法

中的一些成分不變，改變某個(gè)或某些成分，產(chǎn)生不同類型的變式題.

變式：本案例中的M點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)，具有特殊性，倘若改變M點(diǎn)的位置，令點(diǎn)M

為直線BC上任意一點(diǎn)，如題目的結(jié)論還會(huì)成立嗎？

分類討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上（對(duì)應(yīng)圖5）；②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上

（對(duì)應(yīng)圖6）；③當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的反向延長(zhǎng)線上（對(duì)應(yīng)圖7）.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，改變點(diǎn)M

的位置，變成上述三種情況時(shí)，題目的結(jié)論仍然成立，證明的思路與上文的證法1相同，

但用證法2和證法3卻不可行.由此可見(jiàn)，證法1才是通性通法，具有?般性，而證法2和

證法3具有特殊性，在題目具備特殊條件時(shí)可行.

我們是否會(huì)得到更一般性的結(jié)論呢？

思考1：把題目中的“正方形ABCD”改為“等邊AABC”，把“M是BC的中點(diǎn)”改

為“點(diǎn)M為直線B0上異于B,C的任意一點(diǎn)”，點(diǎn)N是NACE的角平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)/

AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？

結(jié)論1:結(jié)論成立.如圖7、圖8、圖9所示，證明思路與上述變式相同.

思考2:如果把原題目中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCDE…"，當(dāng)N

AMN=時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？

結(jié)論2：結(jié)論仍然成立，只是要借助高中會(huì)學(xué)到的數(shù)學(xué)歸納法才能證明.但作為初中生，

教師可以引導(dǎo)學(xué)生去猜想和發(fā)現(xiàn)（無(wú)須證明）這個(gè)結(jié)論.也是非常有價(jià)值的.另外，也可以

把本題改成一道填空題，讓學(xué)生猜想當(dāng)NAMN=。時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立（無(wú)

須證明）.

教學(xué)啟示

（-）啟示之一：“通式通法”顯價(jià)值

章建躍博士反更強(qiáng)調(diào)：一線數(shù)學(xué)教師一定要注重“通性通法”的教學(xué)，而所謂的“通

性”就是指概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)；“通法”則是指概念所組含的思想方法.在教學(xué)中，

注重?cái)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本性質(zhì)及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長(zhǎng)期

利益”.而在解題教學(xué)中，“通法”是指最常見(jiàn)、最基本的解題模式.在本案例中，我們會(huì)

發(fā)現(xiàn)通過(guò)作輔助線構(gòu)造aAGM-4AMCN全等是解決這道題的通法，具有一般性和普適性，

最重要的是當(dāng)改變題H條件時(shí)，這種方法同樣適用，而其他的很多方法已經(jīng)不適用了，這

就是大巧若拙的“通性通法”的價(jià)值所在了.因此，在解題教學(xué)中，我們要使學(xué)生逐步養(yǎng)成

從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣，追求解決問(wèn)題的“通性通

法”才是發(fā)展學(xué)生思維能力的正道.

（二）啟示之二：“若題發(fā)揮”助升華

“借題發(fā)揮”來(lái)解決問(wèn)題，就是借助解決某個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決更難或隱藏更深的問(wèn)

題，以彰顯這個(gè)問(wèn)題的價(jià)值.如果我們只滿足于原題目，就發(fā)現(xiàn)不了“當(dāng)改變點(diǎn)M的位置”

或“改變圖形背景”時(shí)，問(wèn)題的結(jié)論仍然成立這個(gè)一般性的問(wèn)題，因而也就更難發(fā)現(xiàn)原來(lái)

這個(gè)問(wèn)題還可以推廣到一個(gè)正多邊形中去這個(gè)更具一般性的命題，這樣這道題就失去了它

本該有的內(nèi)部?jī)r(jià)值了，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常大的損失.因此，在解題的過(guò)程中，只要我們

堅(jiān)持把握問(wèn)題的價(jià)值，堅(jiān)持厘清問(wèn)題本質(zhì)，堅(jiān)持運(yùn)用變式問(wèn)題的眼光，借發(fā)揮已解決過(guò)的

習(xí)題的價(jià)值來(lái)解決更深入的問(wèn)題，就一定會(huì)更有收獲.

（三）啟示之三：、可歸課本”是正道

波利業(yè)指出：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其方于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題H,還不如

適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生.題

的過(guò)程中，提高他們的才智與推理能力本案例的題目來(lái)源于課本的習(xí)題，題目本身難度

不算太大，但學(xué)生在沒(méi)有提示的前提下答題，情況并不理想.這只是浩瀚題海中一道很普通

的題目，但深挖后卻發(fā)現(xiàn)小題目蘊(yùn)含大學(xué)問(wèn).此外，我們的學(xué)生做了很多題目，可是一到真

正的大考，我們所有的尖子生幾乎全部淪陷;更離譜的是，還有不少教師認(rèn)為課本的題目太

簡(jiǎn)單，沒(méi)有可做性，教學(xué)全程居然都不使用課本……其實(shí)，從上述案例及其變式延伸中我

們可以看出，學(xué)生的解題思維沒(méi)有培養(yǎng)起來(lái)不是因?yàn)檎n本的題FI不夠好、不夠多，而恰好

是因?yàn)槲覀兤毡闆](méi)有重視課本，沒(méi)有認(rèn)真對(duì)待教材，不愿意也不用心去幫助學(xué)生深挖深本

習(xí)題的各個(gè)方面及其內(nèi)在價(jià)值，只是純粹地為做題而做題.因此，讓我們的教學(xué)回歸課本，

重質(zhì)減量，選好題講好題，注重思維培養(yǎng)，才是數(shù)學(xué)教學(xué)之正道也.