第31講常見的遞推關系求通項第六章數(shù)列202X/01/01匯報人：鏈教材夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標題【解析】B【解析】C【解析】B4.(人A選必二P41習題T8改)若數(shù)列{an}的首項a1＝1，且滿足an＋1＝2an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式是an＝________．【解析】因為an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1＝2×2n-1＝2n，即an＝2n－1.2n－1【解析】研題型素養(yǎng)養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標題目標1構造等差數(shù)列求通項公式(2024·淄博期中)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－2an＝2n+1，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．1【解析】an＝n·2n【解析】若數(shù)列{an}滿足an＋1＝5an＋3×5n+1，a1＝6，則數(shù)列{an}的通項公式為_____________．變式1

目標2構造等比數(shù)列求通項公式視角1

an＋1＝pan＋q型 (2024·蘇中蘇北八市三調)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＋n＝2an，則a7＝

(

)A.65 B.127

C.129 D.255【解析】當n＝1時，a1＋1＝2a1，則a1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以a7＋1＝2×26＝27＝128，所以a7＝127.B2－1【解析】C

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且3Sn＝2an＋1，n∈N*.若Sk≥2026，則正整數(shù)k的最小值為 (

)A.11 B.12

C.13 D.14變式2-1

視角2

an＋1＝pan＋qn型

已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋4·3n-1，a1＝－1，則數(shù)列{an}的通項公式為_______．【解析】方法一：設an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n-1)，整理得an＋1＝2an－λ·3n-1，可得λ＝－4，即an＋1－4×3n＝2(an－4×3n-1)，且a1－4×31-1＝－5≠0，則數(shù)列{an－4·3n-1}是首項為－5，公比為2的等比數(shù)列，所以an－4×3n-1＝－5×2n-1，即an＝4×3n-1－5×2n-1.2－2【答案】an＝4×3n-1－5×2n-1【解析】變式2-2

視角3

an＋1＝pan＋qn＋m型

在數(shù)列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為__________________．【解析】2－3an＝3n－2(n－1)滿足an＋1＝pan＋qn＋m(p≠1)的數(shù)列{an}的通項公式的求法：設an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)，通過待定系數(shù)法確定A，B的值，轉化成以a1＋A＋B為首項，p為公比的等比數(shù)列{an＋An＋B}，再利用等比數(shù)列的通項公式求出{an＋An＋B}的通項，整理可得an.【解析】 (2024·泰安模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，則數(shù)列{an}的通項公式是___________________．變式2-3

視角4

an＋1＝pan＋qan－1型 (2024·南昌二模改)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，a2＝3，an＋an＋2＝kan＋1.(1)當k＝2時，求S10；【解答】2－4【解答】滿足an＋1＝pan＋qan－1(p≠0)的數(shù)列{an}的通項公式的求法：可以將遞推式化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根，若1是方程的根，則直接構造數(shù)列{an－an－1}；若1不是方程的根，則需要構造兩個數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．【解答】 (2024·蘇中蘇北七市二調節(jié)選)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝an－4an＋1，a1＝－1.(1)求證：數(shù)列{2an＋1－an}為等比數(shù)列；變式2-4

【解答】【解析】2－5【解析】變式2-5

1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝t，an＋1－2an＝－n＋1，若{an}是遞減數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍為 (

)A.(－1，1) B.(－∞，0)

C.(－1，1] D.(1，＋∞)【解析】B【解析】【答案】ABD【解析】4.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋5×2n＋4，a1＝1，則數(shù)列{an}的通項公式為__________________________．【解析】an＝13×3n-1－5×2n－2【解析】配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標題【解析】C2.(2024·龍巖期末)已知數(shù)列{an}滿足a1∈Z，an＋1＋an＝2n＋3，且其前n項和為Sn.若S13＝am，則正整數(shù)m＝ (

)A.99

B.103

C.107

D.198【解析】由an＋1＋an＝2n＋3得an＋1－(n＋1)－1＝－(an－n－1)，所以{an－n－1}是公比為－1的等比數(shù)列，所以an－n－1＝(－1)n-1(a1－2)，所以an＝(－1)n-1(a1－2)＋n＋1，am＝(－1)m-1(a1－2)＋m＋1，所以S13＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a12＋a13)＝a1＋2×(2＋4＋…＋12)＋3×6＝a1＋102.①當m為奇數(shù)時，a1－2＋m＋1＝a1＋102，解得m＝103；②當m為偶數(shù)時，－(a1－2)＋m＋1＝a1＋102，則m＝2a1＋99.因為a1∈Z，所以m＝2a1＋99只能為奇數(shù)，則m不可能是負偶數(shù)．綜上所述，m＝103.B【解析】【答案】B【解析】B【解析】【答案】AB6.(2024·九江二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＋2＝an＋1＋2an，若a1＝a2≠0，則 (

)A.{an＋1－2an}是等比數(shù)列 B.{an＋2－an}是等比數(shù)列C.{Sn＋1－2Sn}是等差數(shù)列 D.{a2n＋1－S2n}是等差數(shù)列【解析】對于A，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋2－2an＋1＝an＋1＋2an－2an＋1＝－(an＋1－2an)，且a2－2a1＝－a1，所以{an＋1－2an}是以－a1為首項，－1為公比的等比數(shù)列，所以A正確；對于B，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋3－an＋1＝an＋2＋an＋1＝2(an＋2－an)，且a3－a1＝a2＋a1＝2a1，所以數(shù)列{an＋2－an}是首項為2a1，公比為2的等比數(shù)列，所以B正確；對于C，由an＋2＝an＋1＋2an，可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn＋1－Sn＋2(Sn－Sn－1)(n≥2)，即n≥2時，Sn＋2－2Sn＋1＝Sn－2Sn－1，又S2－2S1＝0，S3－2S2＝a1，所以{Sn＋1－2Sn}的奇數(shù)項均為0，偶數(shù)項均為a1，又S3－2S2≠(S2－2S1)＋(S4－2S3)，所以{Sn＋1－2Sn}不是等差數(shù)列，所以C錯誤；對于D，由an＋2＝an＋1＋2an，可得an＋2－an＝an＋1＋an，即a1＋a2＝a3－a1，a3＋a4＝a5－a3，a5＋a6＝a7－a5，…，a2n－1＋a2n＝a2n＋1－a2n－1，累加得S2n＝a2n＋1－a1，即a2n＋1－S2n＝a1為常數(shù)，則{a2n＋1－S2n}是等差數(shù)列，所以D正確．【答案】ABD三、

填空題7.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為_________．【解析】【解析】9.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，若p＝1，a1＝4，則a4＝_____；若p＝2，a1＝5，則

an＝___________．【解析】因為an＋1＝pan＋2×3n＋1(p∈R)，當p＝1，a1＝