高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI6.2.4向量的數(shù)量積第六章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.通過(guò)物理中功等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.通過(guò)幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思在物理學(xué)中,我們知道,一個(gè)物體受到力的作用,如果在力的方向上發(fā)生一段位移,我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功.如果力的方向和物體運(yùn)動(dòng)的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘積.而當(dāng)力的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向成θ角時(shí),其與位移方向平行的分力F1滿(mǎn)足|F1|=|F|cosθ,物體在F1的方向上產(chǎn)生了位移s,因此F對(duì)物體做的功W=|F||s|cosθ.在這個(gè)公式中,當(dāng)θ為銳角時(shí),W>0,稱(chēng)力對(duì)物體做了正功;當(dāng)θ為鈍角時(shí),W<0,稱(chēng)力對(duì)物體做了負(fù)功.也就是說(shuō)W是一個(gè)數(shù)量,我們稱(chēng)W為F與s的數(shù)量積.本節(jié)我們從物體的受力做功入手,學(xué)習(xí)兩個(gè)向量的數(shù)量積.知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、向量數(shù)量積的定義1.向量a與向量b的夾角(1)夾角的定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作

=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.確定a,b的夾角時(shí),起點(diǎn)要重合

(2)顯然,當(dāng)θ=0時(shí),a與b同向;當(dāng)θ=π時(shí),a與b反向.(3)如果a與b的夾角是,我們說(shuō)a與b垂直,記作a⊥b.2.向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(3)向量數(shù)量積的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).微拓展兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算,與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、數(shù)乘向量的乘法有著本質(zhì)的區(qū)別,書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.微練習(xí)

答案(1)-2

(2)8知識(shí)點(diǎn)二、向量a在向量b上的投影向量

微練習(xí)(1)若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120°,與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量為

.

(2)若a·b=-6,|a|=8,與a方向相同的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為

.

解析(1)向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθe=3×cos120°知識(shí)點(diǎn)三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或(4)|a·b|≤|a||b|.常記作a2微練習(xí)(1)已知|a|=7,則a·a=

.

(2)在△ABC中,

=0,則△ABC為

三角形.

答案(1)49

(2)直角解析(1)a·a=|a|2=72=49.知識(shí)點(diǎn)四、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律a·b=b·a數(shù)乘的結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c名師點(diǎn)析(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算不適合約分,即a·b=a·cb=c.(2)向量數(shù)量積運(yùn)算也不適合結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量.答案(1)A

(2)A課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一求平面向量的數(shù)量積角度1

數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算例1已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依據(jù)向量的數(shù)量積、模、夾角的定義逐一進(jìn)行計(jì)算即可.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos120°-3|b|2=8-15-27=-34.要點(diǎn)筆記求向量的數(shù)量積時(shí),需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算,則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).角度2

幾何圖形中向量數(shù)量積的計(jì)算

分析利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,將

轉(zhuǎn)化為已知的邊、角求解.答案-1解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∴∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,反思感悟平面向量的數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長(zhǎng)度的向量.探究二求向量的投影向量例3如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是邊BC的中點(diǎn),求:解如圖,連接AD,因?yàn)锳B=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又D是BC邊的中點(diǎn),所以AD⊥BC,∠ABD=45°,要點(diǎn)筆記投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一個(gè)向量在哪一個(gè)向量上的投影向量,在正確理解其定義的同時(shí),找準(zhǔn)兩向量之間的夾角是關(guān)鍵.確定兩向量的夾角時(shí),一定要注意“共起點(diǎn)”.探究三向量模的相關(guān)問(wèn)題角度1

利用數(shù)量積求向量的模例4(1)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

反思感悟向量模的求解方法根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos0°=|a|2,得|a|=,這是求向量的模的一種方法.即要求一個(gè)向量的模,先求這個(gè)向量模的平方,再求它的算術(shù)平方根.對(duì)于復(fù)雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術(shù)平方根即為|a+b|.變式訓(xùn)練2已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解因?yàn)閨a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因?yàn)閨a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因?yàn)?a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,角度2

與模有關(guān)的最值問(wèn)題例5(1)若平面向量a,b,c滿(mǎn)足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值范圍是(

)答案(1)B

(2)A反思感悟向量模的最值問(wèn)題的求法涉及向量模的最值問(wèn)題,一般是把模平方,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),進(jìn)而求出最值.需要掌握向量模的一些簡(jiǎn)單幾何意義:①|(zhì)a|為正值,則說(shuō)明當(dāng)表示向量的有向線段的起點(diǎn)確定后,其終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心,以|a|為半徑的圓上運(yùn)動(dòng);②若|a+b|=|a-b|,則有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,則|a|=|b|.變式訓(xùn)練3若兩個(gè)單位向量a,b的夾角為120°,k∈R,則|a-kb|的最小值為(

)答案B探究四利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問(wèn)題例6(1)若非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.分析(1)將已知條件展開(kāi)變形后利用數(shù)量積的定義求解.(2)可采用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造平面圖形求解.(1)答案C解析因?yàn)?2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.設(shè)a,b的夾角為θ,則2|a||b|cosθ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cosθ+|b|2=0,因此cosθ=-,從而θ=120°.故選C.反思感悟求平面向量夾角的方法(1)求向量的夾角,主要是利用公式cosθ=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關(guān)系,然后代入求解.(2)求向量的夾角,還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.延伸探究本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|,當(dāng)(a+2b)⊥(ka-b)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.解因?yàn)?a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,素養(yǎng)形成利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀

A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形

D.等邊三角形A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不對(duì)答案(1)B

(2)A方法點(diǎn)睛能夠?qū)?,并熟練地運(yùn)用向量的減法,是本題獲解的關(guān)鍵.依據(jù)向量的數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)判斷平面圖形的形狀的關(guān)鍵是由已知條件建立向量的數(shù)量積、模、夾角等之間的關(guān)系,其中移項(xiàng)、平方是常用手段,可以出現(xiàn)向量的數(shù)量積及模等信息.(方法二)∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又b=-(a+c),∴(a+c)·(a-c)=0.∴|a|=|c|.即△ABC為等邊三角形.當(dāng)堂檢測(cè)答案B2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為30°,設(shè)與b方向相同的單位向量為e,則a在b上的投影向量為(

)答案C解析a在b上的投影向量為|a|cos30°e=4×cos30°e=2e,故選C.3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,則a與b的夾角為(

)A.60° B.120° C.135° D.150°答案