第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?2x?15<0}，B={x|x=3k?2,k∈Z}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.42.若關(guān)于x的不等式x2?2x?m>0的解集為{x|x<?2或x>n}，則CmA.70 B.90 C.180 D.4953.如表是某企業(yè)在2023年1月—5月的5個(gè)月內(nèi)購(gòu)買(mǎi)某品牌碳酸鋰價(jià)格y(單位：千元)與月份代碼x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+0.19，則預(yù)測(cè)2023年月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y0.50.711.21.6A.2.41千元 B.2.38千元 C.2.35千元 D.2.32千元4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2)(σ>0)，則“m=3”是“P(X≥mA.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.函數(shù)f(x)=sinx?lnx?1x+1的大致圖象為A. B.

C. D.6.下列說(shuō)法中正確的是(

)

①設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(6,12)，則P(X=3)=516

②一批零件共有20個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取8個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，則至少有一件不合格的概率為4657

③小趙、小錢(qián)、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A=“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件B=“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)=A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(6?x)+f(x)=0，且f(2x+1)為偶函數(shù)，則f(2023)=(

)A.0 B.1 C.2 D.38.若實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足2+log2x=3+log3y=5+log5z，則A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，則(

)A.log2a+log2b≤?2 B.2a10.甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中分別裝兩種顏色不同但是大小相同的小球，甲袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)綠球；乙袋中裝有5個(gè)紅球和2個(gè)綠球.先從甲袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球放入乙袋中，再?gòu)囊掖须S機(jī)獲出一個(gè)小球，記A1表示事件“從甲袋摸出的是紅球”，A2表示事件“從甲袋摸出的是綠球”，記B1表示事件“從乙袋摸出的是紅球”，B2A.A1，A2是對(duì)立事件 B.A1，B2是獨(dú)立事件

C.11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1A.B1D⊥平面A1C1B

B.若直線D1M與平面ABCD所成角為π3，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓

C.存在點(diǎn)M，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.“?x∈R，(a2?4)x213.假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有3件次品．現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率是______．14.將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，向上的點(diǎn)數(shù)依次x1，x2，x3，則x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

某地區(qū)為了解居民體育鍛煉達(dá)標(biāo)情況與性別之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了600位居民，得到如下數(shù)據(jù)：不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)男300女100300合計(jì)450600(1)完成2×2列聯(lián)表.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)若體育鍛煉達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為45，體育鍛煉未達(dá)標(biāo)的居民體能測(cè)試合格的概率為25.用上表中居民體育達(dá)標(biāo)的頻率估計(jì)該地區(qū)居民體育達(dá)標(biāo)的概率，從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人參加體能測(cè)試，求3人中合格的人數(shù)X的分布列及期望.(xαα0.10.050.01x2.7063.8416.63516.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=loga(3?x)?loga(3+x)(a>0，且a≠1)．

(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)若f(1)=?1，當(dāng)17.(本小題15分)

2024年春晚為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)精彩紛呈的視覺(jué)盛宴，同時(shí)，也是傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技完美融合的展現(xiàn).魔術(shù)師劉謙為大家呈現(xiàn)了一個(gè)精妙絕倫的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》，小明深受啟發(fā)，在家嘗試對(duì)這個(gè)魔術(shù)進(jìn)行改良，小明準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2，3，4.乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．

(1)若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；

(2)若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱(chēng)同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球(左右手完成各取兩球?yàn)閮纱稳∏?的成功取法次數(shù)的隨機(jī)變量X，求X的分布列．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=3，PD=AB=BC=6.點(diǎn)E在棱PA上且與P，A不重合，平面BCE交棱PD于點(diǎn)F．

(1)求證：AD//EF；

(2)若E為棱PA的中點(diǎn)，求二面角A?BE?C的正弦值；

(3)記點(diǎn)A，P到平面BCE的距離分別為d1，d2，求d119.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為23，右焦點(diǎn)F到橢圓E上任意一點(diǎn)的最小距離為1．

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)A，B為橢圓E的左，右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l交橢圓E于C，D兩點(diǎn)(與A，B不重合)，連接AC，BD交于點(diǎn)Q．

①求證：點(diǎn)Q在定直線上；

②答案解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={x|x2?2x?15<0}={x|?3<x<5}，

B={x|x=3k?2,k∈Z}={???,?5,?2,1,4,7,???}，

則集合A∩B={?2,1,4}，

∴集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為3．

故選：C．

求出集合A2.【答案】A

【解析】解：關(guān)于x的不等式x2?2x?m>0的解集為{x|x<?2或x>n}，

則?2+n=2，?2n=?m，得n=4，m=8，

故Cmn=70．

故選：A3.【答案】C

【解析】解：由已知得x?=1+2+3+4+55=3，y?=0.5+0.7+1+1.2+1.65=1，

∵回歸方程y=bx+0.19必過(guò)樣本中心點(diǎn)為(3,1)，

∴1=3b+0.19，解得b=0.27，∴4.【答案】A

【解析】解：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2)(σ>0)，則該正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為μ=4，

P(X≥m2)+P(X>m?4)=1即P(X≥m2)=P(X≤m?4)，故m2+m?4=8，解得m=3或?4，

則“m=3”是“P(X≥5.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性以及函數(shù)值的符號(hào)是否對(duì)應(yīng)，屬于一般題．

判斷函數(shù)的奇偶性和圖象的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，結(jié)合f(3)的符號(hào)是否對(duì)應(yīng)，進(jìn)行排除即可．

【解答】

解：由題可得，f(x)的定義域?yàn)?∞,?1∪1,+∞，

f(?x)=?sinx?ln?x?1?x+1=?sinx?lnx+1x?1

=sinx?lnx?1x+1=f(x)，

則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于①，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可得，P(X=3)=C63×(12)3×(12)3=516，故①正確；

對(duì)于②，根據(jù)已知所求概率為p=1?C178C208=4657，故②正確；

對(duì)于③，由已知可得，P(AB)=P(A)=A4444=332，P(B)=C41×7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(2x+1)為偶函數(shù)，

所以f(2x+1)=f(?2x+1)，

所以f(?x)=f(x+2)，

又f(6?x)+f(x)=0，所以f(?x)+f(x+6)=0，

所以f(x+2)+f(x+6)=0，

所以f(x)+f(x+4)=0，所以f(x+4)+f(x+8)=0，

所以f(x+8)=f(x)，所以8為函數(shù)f(x)的周期，

又f(6?x)+f(x)=0得f(6?3)+f(3)=0，所以f(3)=0，

所以f(2023)=f(252×8+7)=f(7)=?f(3)=0．

故選：A．

由已知條件得8為函數(shù)f(x)的周期，結(jié)合f(3)=0利用函數(shù)的周期性即可求值．

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．8.【答案】B

【解析】解：令x=2，則3=2+log22=3+log3y=5+log5z，

可得y=1，z=125，

所以x>y>z.A可能正確；

當(dāng)z=1時(shí)，y=9，x=8，所以y>x>z，所以C可能正確；

z=125時(shí)，y=243，此時(shí)x=64，滿(mǎn)足y>z>x9.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)閍>0，b>0且a+b=1，

所以1=a+b≥2ab，

即ab≤14(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取“=”)．

所以log2a+log2b=log2(ab)≤log214=?2，

故A正確；

因?yàn)?a+2b≥22a×2b=22a+b=22，

故B正確；

設(shè)f(x)=1?x+lnx?(0<x<1?)，

則f′(x)=?1+1x=1?xx>0在(0,1)上恒成立，

所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)<f(1)=0，

所以a+lnb<0成立，

故C正確；

10.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于A，由題意知，每次只摸出一個(gè)球，A1∩A2=?，P(A1)=37,P(A2)=47，

則P(A1)+P(A2)=1，所以A1，A2對(duì)立，故A正確；

對(duì)于B，P(A1)=37,P(B2)=37×28+47×38=928，P(11.【答案】ACD

【解析】解：如圖所示：

對(duì)A選項(xiàng)，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊥B1D1，

∴根據(jù)三垂線定理易知B1D⊥A1C1，

同理可得B1D⊥BC1，又A1C1∩BC1=C1，

∴B1D⊥平面A1C1B，∴A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)，∵DD1⊥平面ABCD，

∴直線D1M與平面ABCD所成角為∠D1MD=π3，又DD1=1，

∴DM=33，∴點(diǎn)M的軌跡是以D為圓心，33為半徑的圓，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，設(shè)AD，BD的中點(diǎn)分別為E，則M為BD的中點(diǎn)，理由如下，

∵D1M=D1D+112.【答案】?2(答案不唯一)

【解析】解：當(dāng)a=?2時(shí)，(a2?4)x2+(a+2)x+1=1>0．

故答案為：?2(答案不唯一13.【答案】740【解析】解：設(shè)Ai(i=1,2)表示從第i箱取到的零件是次品，B表示從第一箱中取零件，B?表示從第二箱中取零件，

由全概率計(jì)算公式得取出的零件是次品的概率是：

P(A)=P(A1|B)P(B)+P(A2|B?)P(B?)

=21014.【答案】727【解析】解：將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，向上的點(diǎn)數(shù)依次x1，x2，x3，

考慮取定x1的值，分類(lèi)統(tǒng)計(jì)事件“x1≤xx1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)第一類(lèi)：x1=6時(shí)，滿(mǎn)足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有1個(gè)；

第二類(lèi)：x1=5時(shí)，滿(mǎn)足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有2+1=3個(gè)；

第三類(lèi)：x1=4時(shí)，滿(mǎn)足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有3+2+1=6個(gè)；

第四類(lèi)：x1=3時(shí)，滿(mǎn)足“x1≤x2≤x3”的樣本點(diǎn)有4+3+2+1=10個(gè)；

第五類(lèi)：x1=2時(shí)，滿(mǎn)足“x1≤x2≤x315.【答案】解：(1)2×2列聯(lián)表如下表：不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)合計(jì)男50250300女100200300合計(jì)150450600零假設(shè)為H0：體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別獨(dú)立，即體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān)，

因?yàn)棣?=600(50×200?250×100)2300×300×150×450=2009≈22.222>6.635，

所以根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為體育鍛煉達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01；

(2)設(shè)事件A=“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件B=“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，

則P(A)=34，P(B)=14，P(B|A)=45，P(B|A?)=25，

所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A【解析】(1)根據(jù)提供的數(shù)據(jù)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，再與臨界值比較即可；

(2)設(shè)事件A=“隨機(jī)抽取一人體育鍛煉達(dá)標(biāo)”，事件B=“隨機(jī)抽取一人體能測(cè)試合格”，利用全概率公式求出P(B)，再結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列公式和期望公式求解．

16.【答案】解：(1)f(x)為奇函數(shù)，證明如下：

因?yàn)??x>03+x>0，

所以?3<x<3，

即f(x)的定義域?yàn)??3,3)，

因?yàn)閒(?x)=loga(3+x)?loga(3?x)=?f(x)，

所以f(x)為奇函數(shù)；

(2)因?yàn)閒(1)=?1，

所以f(1)=loga2?loga4=loga12=?1，

所以a=2，

所以f(x)=log2(3?x)?log【解析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．

(1)先求出函數(shù)定義域，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷；

(2)由f(1)=?1可求出a=2，所以f(x)=log17.【答案】解：(1)記事件A為“兩手所取的球不同色”，事件A?表示“兩手所取球顏色相同”，

則P(A?)=2×3+3×3+4×39×9=13，

所以P(A)=1?P(A?)=23；

(2)依題意，X的可能取值為0，1，2，

左手所取的兩球顏色相同的概率為C22X

0

1

2

P

13

75

【解析】(1)根據(jù)給定條件，利用古典概型及對(duì)立事件的概率公式即可得解；

(2)求出X的可能取值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列即可得解．

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)因?yàn)锳D//BC，BC?平面BCEF，AD?平面BCEF，所以AD/?/平面BCEF．

又AD?平面PAD，平面PAD∩平面BCEF=EF，所以AD/?/EF．

(2)取BC中點(diǎn)M，連接DM，如圖所示：

因?yàn)锳B⊥平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥AD．

在四邊形ABMD中，AD/?/BM，且AD=BM=3，

所以四邊形ABMD為矩形，DM⊥平面PAD．

又在△PDA和△DMC中，PD=DM=6，DA=MC=3，AP=CD．

所以△PDA?△DMC(SSS)，所以PD⊥AD，所以DA，DM，DP兩兩垂直．

以D為原點(diǎn)，分別以DA、DM、DP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)E為PA中點(diǎn)時(shí)，A(3,0,0)，B(3,6,0)，C(?3,6,0)，P(0,0,6)，E(32,0,3)．

所以AB=(0,6,0)，CB=(6,0,0)，EB=(32,6,?3)．

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n⊥ABn⊥EB，即(x1,y1,z1)?(0,6,0)=0(x1,y1,z1)?(32,6,?3)=0，化簡(jiǎn)得y1=0x1?2z1=0，取n=(2,0,