第六章5.2平面與平面垂直基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.理解二面角及其平面角的概念并初步理解二面角的平面角的一般作法.2.理解兩個平面互相垂直的定義,并能用符號語言進行描述.3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理,并能利用定理解決相關證明問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點一

二面角及相關概念1.一個平面內(nèi)的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為

.

空間角2.從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的

,這兩個半平面稱為二面角的

.如圖,以直線AB(l)為棱、半平面α,β為面的二面角,記作二面角

或

.

半平面

兩個半平面

棱

面

α-AB-βα-l-β3.畫法:4.以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線的夾角稱為二面角的平面角,如圖中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.

點O∈l;OA⊥l,OB⊥l;OA?α,OB?β名師點睛理解二面角及其平面角(1)二面角是一個空間圖形,而二面角的平面角是平面圖形,二面角的大小通過其平面角的大小來刻畫,體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思想.(2)二面角的平面角的定義是兩條射線的夾角,不是兩條直線的夾角,因此,二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.(3)兩個平面相交,可以構(gòu)成四個二面角,其中相對的兩個二面角相等,相鄰的兩個二面角互補.思考辨析教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角?分別是哪些二面角?這些二面角各是多少度?提示

可以構(gòu)成3個二面角;分別是兩相鄰墻面構(gòu)成的二面角,1個墻面與地面構(gòu)成的二面角,另1個墻面與地面構(gòu)成的二面角;這3個二面角都為90°.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補.(

)(2)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.(

)√√2.[2024湖北武漢高二月考]在四面體ABCD中,已知△ABD為等邊三角形,△ABC為等腰直角三角形,斜邊AB=4,CD=2,則二面角C-AB-D的大小為(

)A解析

在四面體ABCD中,取AB的中點O,連接CO,DO,如圖.由題得,OC⊥AB,OD⊥AB,因此∠COD是二面角C-AB-D的平面角.在△COD中,知識點二

平面與平面垂直的性質(zhì)定理1.平面角是直角的二面角稱為直二面角.兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作:α⊥β.2.畫法:兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,如圖所示.3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的

,那么這條直線與另一個平面

符號語言α⊥β,α∩β=MN,AB?β,AB⊥MN?AB⊥α圖形語言

交線

垂直文字語言如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)符號語言α⊥β,P∈α,P∈m,m⊥β?m?α圖形語言

拓展:名師點睛對面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理可簡記為“面面垂直,則線面垂直”,該定理可以作為判斷線面垂直的方法,即只要兩個平面垂直,那么在其中一個平面內(nèi)作交線的垂線便得線面垂直.(2)應用定理的三個條件:①兩個平面垂直;②直線必須在其中一個平面內(nèi);③直線必須與交線垂直.思考辨析過平面外一點,可以作多少個與已知平面垂直的平面?提示

無數(shù)個.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)已知兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線.(

)(2)已知兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線.(

)(3)已知兩個平面垂直,則過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.(

)×√×2.已知長方體ABCD-A1B1C1D1,在平面ABB1A1上任取一點M,作ME⊥AB于點E,則(

)A.ME⊥平面ABCDB.ME?平面ABCDC.ME∥平面ABCDD.以上都有可能A解析

由于ME?平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,且平面ABB1A1⊥平面ABCD,ME⊥AB,則ME⊥平面ABCD.知識點三

平面與平面垂直的判定定理

文字語言如果一個平面過另一個平面的

,那么這兩個平面垂直

符號語言

,l⊥α?β⊥α

圖形語言

垂線

l?β名師點睛理解面面垂直的判定定理注意以下幾點:(1)定理可簡記為“線面垂直,則面面垂直”,因此要證明平面與平面垂直,只需在其中一個平面內(nèi)找另一個平面的垂線,即證“線面垂直”.(2)兩個平面垂直的判定定理,不僅僅是判定兩個平面垂直的依據(jù),而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù).(3)要證α⊥β,可證α經(jīng)過β的某一條垂線,也可證明β經(jīng)過α的某一條垂線.思考辨析兩個平面不垂直,能否從一個平面內(nèi)找到一條直線與另一個平面中的所有直線都垂直?提示

不能,如能找到一條直線,那么這條直線垂直于另一平面,此時兩個平面垂直,與已知矛盾.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若一個二面角的平面角為90°,則這個二面角的兩個半平面所在的平面垂直.(

)(2)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線,則α⊥β.(

)(3)若α⊥β,β⊥γ,則α⊥γ.(

)(4)若l⊥α,l∥β,則α⊥β.(

)(5)若l⊥n,m⊥n,l?β,m?β,n?α,則α⊥β.(

)√√×√×2.[人教A版教材習題]如圖,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直,為什么?解平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.理由:因為AB⊥平面BCD,AB?平面ABC,AB?平面ABD,所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.因為AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD.又BC⊥CD,AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.因為CD?平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求二面角的大小【例1】

如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中:(1)二面角D'-AB-D的大小為

.

(2)二面角A'-AB-D的大小為

.

45°90°解析

(1)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面A'D'DA,所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小為45°.(2)因為AB⊥平面A'D'DA,所以AB⊥AD,AB⊥AA',因此∠A'AD為二面角A'-AB-D的平面角,又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小為90°.規(guī)律方法

求二面角的平面角的大小的步驟

變式訓練1如圖,已知四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)二面角B-PA-D平面角的大小為

;

(2)二面角B-PA-C平面角的大小為

.

90°

45°

解析

(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角.又∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D平面角的大小為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C平面角的大小為45°.探究點二證明兩個平面垂直【例2】

如圖,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求證:平面ABC⊥平面SBC.證明

因為∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC是等邊三角形,則有SA=SB=SC=AB=AC,令其值為a,則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點D,如圖,連接AD,SD,則AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,因為SB=SC=a,在△ADS中,因為SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.規(guī)律方法

證明平面與平面垂直的兩種方法(1)利用定義.證明二面角的平面角為直角,其判定的方法是:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理.要證面面垂直,只要證線面垂直.即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是:變式訓練2[人教A版教材例題]如圖,AB是☉O的直徑,PA垂直于☉O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點.求證:平面PAC⊥平面PBC.證明

∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵點C是圓周上不同于A,B的任意一點,AB是☉O的直徑,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.探究點三面面垂直性質(zhì)的應用【例3】

如圖,已知V是△ABC外一點,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求證:AB⊥BC.證明

在平面VAB內(nèi),過點A作AD⊥VB于點D.因為平面VAB⊥平面VBC,且交線為VB,所以AD⊥平面VBC.所以AD⊥BC.因為VA⊥平面ABC,所以VA⊥BC.因為AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,所以BC⊥平面VAB.因為AB?平面VAB,所以AB⊥BC.規(guī)律方法

1.在運用面面垂直的性質(zhì)定理時,若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.2.平面與平面垂直的其他性質(zhì):(1)如果兩個平面垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).(2)如果兩個平面垂直,那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.(3)如果兩個平面垂直,那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).變式訓練3[人教B版教材例題]如圖所示,已知α⊥β,在α與β的交線上取線段AB=,且AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=1,BD=2,求CD的長.解

連接BC.因為α⊥β,α∩β=AB,BD?β,BD⊥AB,所以BD⊥α.又因為BC?α,所以BD⊥BC,因此△CBD是直角三角形.探究點四面面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應用【例4】

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,點E,F分別是CD,PC的中點.求證:(1)PA⊥平面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.證明

(1)因為平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線AD,所以PA⊥平面ABCD.(2)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點,所以AB∥DE,且AB=DE,所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BE∥AD.又BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知四邊形ABED為平行四邊形,因為AB⊥AD,所以四邊形ABED為矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.因為PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD,PD?平面PAD,所以CD⊥PD.因為點E,F分別是CD,PC的中點,所以PD∥EF,所以CD⊥EF.又EF∩BE=E,EF,BE?平面BEF,所以CD⊥平面BEF.因為CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.規(guī)律方法

1.在有關垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理應用是證明垂直問題的關鍵.2.空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題是解決立體幾何問題的一個基本原則.解題時,要通過幾何圖形自身的特點,如等腰(等邊)三角形的“三線合一”、中位線定理、菱形的對角線互相垂直等,得出題目所需要的條件.對于一些較復雜的問題,注意利用轉(zhuǎn)化思想來解決.變式訓練4如圖,在四面體ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,DC⊥BC.求證:平面ABD⊥平面ACD.證明

∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,在平面ABC內(nèi),作AE⊥BC于點E,如圖,則AE⊥平面BCD.又CD?平面BCD,∴AE⊥CD.又BC⊥CD,AE∩BC=E,AE,BC?平面ABC,∴CD⊥平面ABC,又AB?平面ABC,∴AB⊥CD.又AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD?平面ACD,∴AB⊥平面ACD.又AB?平面ABD,∴平面ABD⊥平面ACD.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)二面角的定義、畫法和二面角的平面角;(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理;(3)平面與平面垂直的判定定理.2.方法歸納:構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)二面角的平面角的構(gòu)造容易不符合定義要求;(2)面面垂直性質(zhì)定理中在其中一個面內(nèi)作交線的垂線,與另一個平面垂直.

學以致用·隨堂檢測促達標1231.(多選)已知兩個