第2課時復(fù)數(shù)的乘方與除法運算(教學(xué)方式:基本概念課——逐點理清式教學(xué))逐點清(一)復(fù)數(shù)的乘方與in(n∈N*)的周期性[多維理解]1.復(fù)數(shù)乘方的運算性質(zhì)對任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,有zmzn=,(zm)n=,(z1z2)n=.

2.in(n∈N*)的周期性一般地,如果n∈N*,那么我們有i4n=,i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=.

|微|點|助|解|(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律與實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律是一致的.(2)由i的正整數(shù)指數(shù)冪的含義易知,對于4個連續(xù)的正整數(shù)a,b,c,d,都有ia+ib+ic+id=0.[微點練明]1.已知i為虛數(shù)單位,若實數(shù)a使得ai+a2(i2023+1)-1為純虛數(shù),則a=()A.-1 B.1 C.±1 D.22.若i為虛數(shù)單位,則1-i212的值為(A.1 B.-1 C.i D.-i3.i3(3+2i)=()A.2+3i B.2-3iC.-2+3i D.-2-3i4.已知a為實數(shù),若復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),則a+i20231+i=A.i B.-i C.1 D.-15.已知復(fù)數(shù)z=i2022+i2023,則z的共軛復(fù)數(shù)z=()A.-1+i B.1-iC.1+i D.-1-i逐點清(二)復(fù)數(shù)的除法[多維理解]1.復(fù)數(shù)的除法我們把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫作復(fù)數(shù)a+bi除以c+di所得的商,記作或.

2.復(fù)數(shù)的除法法則一般地,我們有a+bic+d|微|點|助|解|[微點練明]1.3+i1+i=()A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i2.若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i是虛數(shù)單位),則z=()A.3+5i B.3-5iC.-3+5i D.-3-5i3.(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,則z-z=()A.-i B.i C.0 D.14.若一個復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則稱此復(fù)數(shù)為“理想復(fù)數(shù)”.已知z=a1-2i+bi(a,b∈R)為“理想復(fù)數(shù)”,則()A.a-5b=0 B.3a-5b=0C.a+5b=0 D.3a+5b=05.已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)2-4+2i1-2i-4i2019=逐點清(三)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題[典例]在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2+4x+6=0.聽課記錄:|思|維|建|模|在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法:(1)求根公式法①當(dāng)Δ≥0時,x=-b②當(dāng)Δ<0時,x=-b(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解,設(shè)方程的根為x=m+ni(m,n∈R),將此根代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.[針對訓(xùn)練]1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程2x2+3x+4=0的解為.2.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實數(shù)).(1)求b,c的值;(2)試判斷1-i是否是方程的根.第2課時復(fù)數(shù)的乘方與除法運算[多維理解]1.zm+nzmnz1nz2n2.1[微點練明]1.選A因為i2023=i505×4+3=i3=-i,所以原式=ai+a2(-i+1)-1=a2-1+(a-a2)i為純虛數(shù).所以a2-1=0,a-a22.選B1-i212=[(1-i)2]626=(-2i)626=i3.選Bi3(3+2i)=-i(3+2i)=2-3i.4.選B因為復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),所以a2-1=0,a+1≠0,解得a=1.所以a+i20231+i=1-i5.選A因為z=i2022+i2023=(i2)1011+(i2)1011·i=(-1)1011+(-1)1011·i=-1-i,所以z=-1+i.[多維理解]1.a+bic+di(a+bi)÷(c+di)[微點練明]1.選D3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=22.選A∵z(2-i)=11+7i,∴z=11+7i2-i=(11+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=15+25i3.選A因為z=1-i2+2i=(1-i)22(1+i)(1-i)=-i2,所以z=i2,所以z-z=-i2-i24.選Dz=a1-2i+bi=a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+bi=a5+2a5+bi.由題意知,a5=-2a5.解析:原式=-2i-(4+2i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=-2i-10i5+4i=-2i-2i+4i=0答案:0[典例]解:法一因為x2+4x+6=0,所以(x+2)2=-2,因為(2i)2=(-2i)2=-2,所以x+2=2i或x+2=-2i,即x=-2+2i或x=-2-2i,所以方程x2+4x+6=0的根為x=-2±2i.法二由x2+4x+6=0知Δ=42-4×6=-8<0,所以方程x2+4x+6=0無實數(shù)根.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),設(shè)方程x2+4x+6=0的根為x=a+bi(a,b∈R且b≠0),則(a+bi)2+4(a+bi)+6=0,所以a2+2abi-b2+4a+4bi+6=0,整理得(a2-b2+4a+6)+(2ab+4b)i=0,所以a又因為b≠0,所以a解得a=-2,b=±2.所以x=-2±2i,即方程x2+4x+6=0的根為x=-2±2i.[針對訓(xùn)練]1.解析:因為Δ=32-4×2×4=-23<0,所以方程2x2+3x+4=0的根為x=-3±23i2×2答案:-3±2.解:(1)∵1+i是方程x2+bx