第2課時半角公式(教學方式:深化學習課——梯度進階式教學)[課時目標]1.能用二倍角公式推導半角公式,了解半角公式的結(jié)構(gòu)形式.2.能熟練運用半角公式解決簡單的求值、化簡或證明問題.正弦、余弦、正切的半角公式三角函數(shù)公式正弦sinα2=余弦cosα2=正切tanα2=±1-cosα1+cosα=|微|點|助|解|關(guān)于半角公式的幾點說明(1)理解半角的含義:角α2是角α的半角,角α是角2α的半角,角2α是角4α的半角(2)確定半角的正弦、余弦、正切值正、負號的方法①若給出的角已確定其終邊所在的象限,則可根據(jù)下表確定符號.ααsinαcostan第一象限第一、三象限+、-+、-+第二象限第一、三象限+、-+、-+第三象限第二、四象限+、--、+-第四象限第二、四象限+、--、+-②若給出角α的范圍(即某一區(qū)間),可先求出α2的范圍,然后再根據(jù)α2③若給出的角的象限不確定,則需分類討論.基礎落實訓練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)sin15°=±1-cos30°2.()(2)cos15°=1-cos30°2.()(3)tanα2=1+cosαsinα2.已知180°<α<360°,則cosα2的值為()A.-1-cosα2 BC.-1+cosα2 D3.tan15°等于()A.2+3 B.2-3C.3+1 D.3-1題型(一)利用半角公式求值[例1]已知cosα=13,α為第四象限角,求sinα2,cosα2,聽課記錄:|思|維|建|模|利用半角公式求值的思路(1)觀察角:若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍,則求解時常常借助半角公式求解.(2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號問題,因此求解時務必依據(jù)角的范圍,求出相應半角的范圍.(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其優(yōu)點是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時,常先利用sin2α2=(4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.[針對訓練]1.(2023·新課標Ⅱ卷)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2=(A.3-58 BC.3-54 D2.已知α為銳角,cosα=35,則tanπ4+α2A.13 B.1C.2 D.3題型(二)三角函數(shù)式的化簡[例2]化簡:(1-sinα-cosα)sinα2聽課記錄:|思|維|建|模|探究三角函數(shù)式化簡的要求、思路和方法(1)化簡的要求:①能求出值的應求出值;②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少;③盡量使項數(shù)最少;④盡量使分母不含三角函數(shù);⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).(2)化簡的思路:對于和式,基本思路是降次、消項和逆用公式;對于三角分式,基本思路是分子與分母約分或逆用公式;對于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,還可以用切化弦、變量代換、角度歸一等方法.[針對訓練]3.設α∈3π2,2π,化簡:題型(三)三角恒等式的證明[例3]求證:1+sinθ-cosθ1+sinθ聽課記錄:|思|維|建|模|三角恒等式證明的5種常用方法執(zhí)因索果法證明的形式一般化繁為簡左右歸一法證明左右兩邊都等于同一個式子拼湊法針對題設和結(jié)論之間的差異,有針對性地變形,以消除它們之間的差異,簡言之,即化異求同比較法設法證明“左邊-右邊=0”或“左邊/右邊=1”分析法從被證明的等式出發(fā),逐步探求使等式成立的條件,一直到已知條件或明顯的事實為止,就可以斷定原等式成立[針對訓練]4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosA=acosB-ba-b第2課時半角公式?課前預知教材±1-cosα2±1+cosα2[基礎落實訓練]1.(1)×(2)×(3)×2.選C因為cos2α2=1+cosα2,180°<α<360°,所以90°<α2<180°.所以cos3.選B由tanα2=sinα1+cosα,得tan15°=sin30°?課堂題點研究[例1]解:∵α為第四象限角,∴α2為第二、四象限角當α2為第二象限角時,sinα2=1-cosα2=33,cosα2=-1+cosα2=-63,sinα2=-1-cosα2=-33,cosα2=1+cosα2=[針對訓練]1.選D因為α為銳角,所以sinα2>0,sinα2=2.選D∵α為銳角,cosα=35∴sinα=45∴tanα2=sinα1+cos∴tanπ4+α2=tan[例2]解:原式=2si=2=sinα2si因為-π<α<0,所以-π2<α2所以sinα2<0所以原式=-sinα2cosα[針對訓練]3.解:∵α∈3π2,2π,∴cosα>0,cosα2<0.故原式=12+12cos2α=1[例3]證明:法一左邊=2sin2cos2θ2=1cosθ2sinθ2=法二左邊=(1+=2(1+sinθ)2+2cos