第09講圓心角與圓周角（1大知識點+9大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）典型例題一圓心角概念辨析及簡單運算典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運算典型例題三求圓弧的度數(shù)典型例題四圓周角定理典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證典型例題七同弧或等弧所對的圓周角相等典型例題八半圓（直徑）所對的圓周角是直角典型例題九90度的圓周角所對的弦是直徑知識01圓周角1．頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等．3．一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角?！炯磿r訓(xùn)練】1．（2024九年級上·浙江溫州·專題練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角的定義．根據(jù)圓周角的定義（角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可．【詳解】解：A、圖中的角的頂點不在圓上，所以圖中的角不是圓周角，故本選項不符合題意；B、圖中的角的頂點不在圓上，所以圖中的角不是圓周角，故本選項不符合題意；C、圖中的角的頂點在圓上，兩邊與圓相交，所以圖中的角是圓周角，故本選項不符合題意；D、圖中的角的頂點在圓上，但兩邊不與圓相交，所以圖中的角不是圓周角，故本選項不符合題意．故選：C．【即時訓(xùn)練】2．（2324九年級上·浙江溫州·課后作業(yè)）如圖，所對的圓周角是，所對的圓周角是．

【分析】根據(jù)圓周角的定義即可解答．【詳解】解：如圖，【點睛】本題考查了圓周角，頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．【典型例題一圓心角概念辨析及簡單運算】【例1】（2425九年級上·浙江紹興·期末）下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；④長度相等的兩條弧是等弧．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)依次進行判斷即可得．【詳解】解：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧也相等；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；③圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線（或直徑所在的直線）都是圓的對稱軸；④在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧；綜上，①②④錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的性質(zhì)．【例2】（2025九年級·浙江溫州·專題練習(xí)）如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABCD的邊AD上，直徑經(jīng)過點C，則∠OCB的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥AD，即可根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC，∴∠DOC＝40°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠OCB＝∠DOC＝40°，故選：B．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的對邊平行是解題的關(guān)鍵．【答案】/60度【詳解】解：如圖，連接、，

直徑為，即弦所對的圓心角是．故答案為：．【答案】【詳解】解：根據(jù)弧度的定義，圓心角所對的弧長和半徑相等時，這個角就是1弧度角，記作，圓心角所對的弧長比半徑大，故答案是：．【點睛】本題考查了弧度的定義，解題的關(guān)鍵是：理解弧度的定義，從而利用定義來判斷．1．（2425九年級上·浙江溫州·期中）下列命題中，正確的是（）①頂點在圓心的角是圓心角；②相等的圓心角，所對的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對的弧也相等；④在等圓中，圓心角不等，所對的弦也不等．A．①和② B．①和③C．①和④ D．①、②、③、④【答案】C【分析】根據(jù)所學(xué)定理和推論可知．【詳解】解：①根據(jù)圓心角的定義知，頂點在圓心的角是圓心角；故①正確．②缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧才相等；故錯誤．③在圓中，一條弦對著兩條弧，所以兩條弦相等，它們所對的弧不一定相等；故錯誤．④根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，在等圓中，若圓心角相等，則弦相等，所以圓心角不等，弦也不等；故④正確．故選C．【點睛】本題考查了與圓有關(guān)的定理和推論，對于圓中的一些易混易錯定理和推論應(yīng)重點記憶和掌握．

【點睛】本題主要考查了角的度量、圓周角定理等知識點，掌握圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半是解答本題的關(guān)鍵．3．（2425九年級上·浙江衢州·期中）如圖是半徑為2的圓，（1）在其中畫兩個不重疊的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圓心角為120度，扇形BOC的圓心角為90度，（2）求第三個扇形AOC的面積．【答案】（1）作圖見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)扇形定義及題目要求畫出即可；【詳解】解：（1）如圖所示：【典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運算】【例1】（2324九年級上·浙江麗水·階段練習(xí)）下列四個命題中不正確的是（

）A．直徑是弦 B．三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等C．頂點在圓周上的角是圓周角 D．半徑相等的兩個半圓是等弧【答案】C【分析】用弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A、直徑是圓內(nèi)最長的弦，正確；B、三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等，正確；C、頂點在圓周角上且兩邊都與圓相交的角是圓周角，故錯誤；D、半徑相等的兩個半圓是等弧，正確；故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解弦的定義、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角的定義及等圓的概念等知識．A．B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了圓周角定義．頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義．根據(jù)由圓周角的定義逐項判定即可．故選：D．【例3】（2425九年級·浙江溫州·課后作業(yè)）頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做．圓周角的特征：①頂點在上；②兩邊都和圓．【答案】圓周角圓相交【解析】略【答案】8【分析】根據(jù)圓周角的定義，圓周角的頂點必在圓周上，據(jù)此可把頂點分別為A、B、C、D的圓周角數(shù)出來，即可得到答案．故答案為8．【點睛】本題考查圓周角的定義和分類思想的應(yīng)用，根據(jù)圓周角的定義對圖中圓周角進行分類統(tǒng)計即可得到正確答案．A．4 B． C．2 D．0【答案】D【分析】分別求出A0A1，A0A2，A0A3，……的值，找出循環(huán)規(guī)律計算即可．【詳解】解：如圖，∵⊙O的半徑=2，由題意得，A0A1=4，A0A2=，A0A3=2，A0A4=，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，…∵2022÷6=337，∴按此規(guī)律運動到點A2022處，A2022與A0重合，∴A0A2022=0．故選：D【點睛】本題考查了圖形的變化類，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識；由題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【答案】40°、20°、100°【分析】點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段AO有三種位置關(guān)系，在線段上，點P在延長線上，點P在的延長線上．分這三種情況進行討論即可．【詳解】解：①根據(jù)題意，畫出圖1，②當(dāng)P在線段的延長線上，如圖2③當(dāng)P在線段的反向延長線上，如圖3，故答案為：40°、20°、100°．【點睛】本題主要考查了圓的認識及等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，畫出圖形，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測）把下面的語句還原成圖形：作圖區(qū)域：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）畫非直徑的弦，在優(yōu)弧上取點C，連接，，即可解答；作圖區(qū)域：

作圖區(qū)域：

【點睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解乘基本作圖，逐步操作即可．【典型例題三求圓弧的度數(shù)】【例1】（2425九年級上·浙江紹興·期末）如圖，圓心角∠AOB=25°，將弧AB旋轉(zhuǎn)n°得到弧CD，則∠COD等于（）A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°【答案】A【詳解】試題解析：∵將旋轉(zhuǎn)n°得到，∴=，∴∠DOC=∠AOB=25°故選A．【例2】（2425九年級上·浙江溫州·期中）如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB、CD所對的圓心角分別是∠AOB、∠COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD=4，則弦AB的長為（

）【答案】C【分析】如圖，延長AO交⊙O于T，連接BT．證明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，延長AO交⊙O于T，連接BT．∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，∴∠COD=∠BOT，∴CD=BT=4，∵AT是直徑，AT=6，∴∠ABT=90°，故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【答案】/30度【詳解】連接，∴的度數(shù)是．故答案為：【點睛】本題主要考查了弧的度數(shù)：圓中，弧的度數(shù)即弧所對的圓心角的度數(shù)，掌握這一點知識是解題的關(guān)鍵．【例4】（2324九年級上·浙江嘉興·階段練習(xí)）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則弧的度數(shù)是設(shè)圓的半徑為，1．（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設(shè)圖中兩圓周的交點為.且點在小量角器上對應(yīng)的刻度為,那么點在大量角器上對應(yīng)的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)大量角器的左端點為，小量角器的圓心為，連接、，在大量角器中弧所對的圓心角是，因而在大量角器上對應(yīng)的度數(shù)為.故選：A.【點睛】本題主要考查了直徑所對的圓心角是，能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵.2．（2425九年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，在以AB為直徑的半圓中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是．【詳解】解：連接OE，OD，∵=，∴∠DOC=∠EOF，∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠DCO=∠EFO=90°，又∵DO=EO，∴Rt△DOC≌Rt△EOF，∴CO=OF=，故答案為：x2x+1=0．【點睛】本題考查圓心角定理及其推論，全等三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系．此題屬于開放題，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由于圓被12等分，可得每小格為30°，則120°為4小格，據(jù)此畫圖即可；【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求．如圖所示，即為所求．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意確定旋轉(zhuǎn)角．【典型例題四圓周角定理】A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．故選：C．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理求解即可，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．故選：C．【答案】94【詳解】解：如圖所示，連接，∵的度數(shù)為，∴的度數(shù)為，故答案為：94．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，1．（2025·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦與弦互相垂直，則與的大小關(guān)系為（

）【答案】C【分析】本題考查了垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，等邊對等角，圓周角定理的運用，掌握圓周角定理的計算是關(guān)鍵．故選：C．【答案】60故答案為：60．(1)如圖1，若過圓心，求的度數(shù)；【答案】(1)(2)【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，（2）解：如圖，連接，，所以的半徑為．【典型例題五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】【答案】D故選：D．A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接，點是劣弧的中點，故選：C．【答案】【詳解】解：取的中點D，連接，，如圖所示：故答案為：．【例4】（2425九年級上·浙江麗水·期末）有學(xué)者研究表明，我國古代制作銅鏡背面花紋時，所采用的四等分圓周的一種方法是：如圖所示，先由圓心畫出圓的一條直徑，再用“矩”（一種直角曲尺，可以畫直角）過圓心垂直于第一條直徑畫出第二條直徑，則這兩條直徑的四個端點將圓周四等分．請用你學(xué)過的一個定理解釋這種四等分圓周的方法的道理：．【答案】在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等【分析】本題考查了圓心角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等．【詳解】解：采用的四等分圓周的一種方法，可以利用圓心角定理來解釋，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故答案為：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等．【答案】A【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，則點在上；連接、、，與的交于點，如圖：∵點關(guān)于的對稱點是點，故選：A．【答案】故答案為：．3．（2425九年級上·浙江杭州·期末）小濱和小江在研究與圓有關(guān)的問題時發(fā)現(xiàn)：“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各對量都相等．”進一步思考后，兩位同學(xué)提出了這樣的想法：這四對量中，如果有一對量存在倍數(shù)關(guān)系，其余三對量是否也會相應(yīng)的存在倍數(shù)關(guān)系？因此，在如圖所示的⊙O中，他們提出了如下猜想：請判斷小濱、小江所提的猜想是否正確，并說明理由．【答案】小濱的猜想是正確的，小江的猜想是錯誤的；理由見解析．【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系進行解答即可．【詳解】證明：小濱的猜想是正確的，小江的猜想是錯誤的；理由：即＝2；【點睛】本題考查垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，掌握垂徑定理，圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．【典型例題六利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】【答案】D∵不一定為的中點，故選D【例2】（2425九年級上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）結(jié)合各自對應(yīng)圖形，給出的相應(yīng)推理中，其中正確的是（

）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【答案】C【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可判斷．故選：C【點睛】本題考查弧、弦與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系進行判斷正誤．【例3】（2425九年級上·上海靜安·課后作業(yè)）120°的圓心角是360°的分之一，它所對的弧是相應(yīng)圓周長的分之一．【答案】三三【分析】根據(jù)題意可知由于圓周角為360°，則圓心角是120°的圓心角所對弧長是圓周長的120°÷360°=，所以所對的弧長是相應(yīng)的圓的周長的，據(jù)此解答即可．【詳解】解：120°÷360°=，它所對的弧是相應(yīng)圓周長的，答：120°的圓心角是360°的三分之一，它所對的弧是相應(yīng)圓周長的三分之一．故答案為：三；三．【點睛】本題考查圓的弧長和圓心角，注意掌握在同一個圓中，扇形的圓心角與360度的比等于弧長與圓的周長的比．【答案】①②③【分析】①根據(jù)圓周角定理，同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半，②根據(jù)直徑所對的圓周角是判斷，③同一個圓中，圓周角相等，弧相等，④根據(jù)等腰直角三角形的判斷方法判定.綜上，正確的結(jié)論是①②③．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、圓周角定理等，知識綜合性較強，是常見考點，難度一般，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理等知識，根據(jù)弦、弧的關(guān)系及圓周角定理判斷求解即可．故A、B正確，不符合題意；故C正確，不符合題意；故D不正確，符合題意；故選：D．【答案】故答案為：．3．（2425九年級上·河南鄭州·期末）在《圓的對稱性》一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等”．實際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．請直接運用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：(2)若角的頂點在圓上或圓內(nèi)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．【答案】(1)證明見解析(2)結(jié)論仍然成立，證明見解析【分析】該題考查了角平分線的性質(zhì)定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系．（2）解：結(jié)論仍然成立．【典型例題七同弧或等弧所對的圓周角相等】A． B． C． D．【答案】A故選：A

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵為半圓的直徑，故選D．【答案】55【詳解】解：如圖：連接，∵為的直徑，故答案為：55．【答案】75°/75度【分析】本題考查了圓周角定理，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，難度適中．【詳解】解：如圖，設(shè)圓與y軸負半軸交于點E，連接，故答案為：．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定性質(zhì)及圓周角定理．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．據(jù)此逐一判斷即可．∵是的直徑，故選：B．【詳解】解：連接，，，是的直徑，3．（2425九年級上·福建莆田·期中）規(guī)定：將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓，圖1是銳角三角形和鈍角三角形的最小覆蓋圓．如圖2，要在四個村莊，，，修建一個電視信號中轉(zhuǎn)站，為了使這四個村莊的居民都能接收到電視信號，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。堄贸咭?guī)在圖上作出中轉(zhuǎn)站所建位置，請簡要說明理由．【答案】作圖見解析【分析】分別作線段、的垂直平分線，兩垂直平分線交于點即可．理由：由圖（1）知：若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長邊（直角或鈍角所對的邊）為直徑的圓，設(shè)直線與交于點，，連接，【點睛】本題考查三角形外接圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要懂得何為最小覆蓋圓．知道若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長邊（直角或鈍角所對的邊）為直徑的圓是解題的關(guān)鍵．【典型例題八半圓（直徑）所對的圓周角是直角】【例1】（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）一張直徑為10的半圓形卡紙，過直徑的兩端點剪掉一個三角形，以下四種裁剪圖中，所標(biāo)數(shù)據(jù)長度合理的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，再利用勾股定理即可求解．本題考查了直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．∴點A在半圓內(nèi)，符合題意；∴點A在半圓上，不符合題意；∴點A在半圓外，不符合題意；∴點A在半圓外，不符合題意；故選：A．．【答案】B【詳解】解：連接，則是該圓形材料的直徑，故選：B．【答案】【分析】本題主要考查圓周角定理，根據(jù)直徑所對圓周角是直角可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，線段是的直徑，故答案為：．【答案】/度【詳解】解：∵是的直徑，故答案為：．1．（2425九年級上·云南玉溪·期中）下列說法正確的是（

）A．直徑是弦，反之弦也是直徑 B．長度相等的弧是等弧C．直徑所對的圓周角等于 D．過圓心的線段是直徑【答案】C【分析】本題考查了圓的有關(guān)概念，判斷命題的真假，根據(jù)圓的有關(guān)概念進行排除即可．【詳解】解：A、直徑是弦，但是弦不一定是直徑，原選項說法錯誤，不符合題意；B、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，長度相等的弧不一定能夠重合，原選項說法錯誤，不符合題意；C、直徑所對的圓周角等于，原選項說法正確，符合題意；D、過圓心的弦才是直徑，不是所有過圓心的線段都是直徑，原選項說法錯誤，不符合題意．故選：C．【答案】80【分析】本題主要考查圓周角定理及推論．熟練掌握圓周角定理及推論，三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解:∵是的直徑，故答案為：80．(1)求證：為的中點．(2)若＝，＝，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理以及等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．為的中點；由（）可知，為的中點，即的長為．【典型例題九90度的圓周角所對的弦是直徑】【答案】C【分析】本題考查三角形的外接圓，圓周角定理，根據(jù)90度角所對的弦是直徑，得到斜邊是的直徑，即可得出結(jié)果．∴斜邊是的直徑，故選C．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角的定理，掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．∴點在以點為圓心的圓上，故選：B．【答案】【詳解】解：如圖所示，連接，故答案為：．

【答案】13【詳解】解：連接，

∴是圓形鏡面的直徑，故答案為：13．1．（2425九年級上·河北唐山·期末）下列圖形中的線段是圓的直徑的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理推論“90度的圓周角所對的弦是直徑”，解題的關(guān)鍵是熟練掌握90度的圓周角所對的弦是直徑．根據(jù)90度的圓周角所對的弦是直徑求解即可得．故選：C．【答案】41故答案為：4，1．3．（2324九年級上·江西贛州·期末）下面是證明定理的兩種方法，請完成證明過程．（兩種都要寫）證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．方法1：利用矩形判定和性質(zhì)證明．方法2：利用圓的性質(zhì)證明．【答案】見解析【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，90度的圓周角所對的弦是直徑：方法二：如圖所示，是斜邊上的中線，即點是斜邊上的中點，以為圓心，以為半徑畫圓，∴為圓的直徑，1．（2324九年級上·浙江溫州·課后作業(yè)）如圖，在圖中標(biāo)出的4個角中，圓周角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了圓周角的定義，頂點在圓周上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角，由此即可得出答案，熟練掌握圓周角的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可得：和符合圓周角的定義，頂點不在圓周上，的一邊和圓不想交，故圖中的圓周角有和，共個，故選：B．2．（2425九年級上·浙江麗水·期末）如圖，在⊙O中，點A、B、C、D分別在圓上，則圖中弧的條數(shù)是（

）A．12條 B．11條 C．9條 D．8條【答案】A【分析】以每個點為始發(fā)點，順時針方向找弧，都能找到三條，共12條弧.【詳解】4+4+4=12（條）故選A.【點睛】本題考查認識平面圖形，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.【答案】C∵是直徑，故選：CA． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)和三角形的外接圓的知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵；【詳解】解：∵為的直徑，故選：DA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C∴①②③正確，④錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了作一個角等于已知角的基本作圖，圓心角與弧，弦的關(guān)系，平行線的判定，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握作圖和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】即弦所對的圓心角的度數(shù)是，故答案為：．7．（2425九年級上·湖北咸寧·期末）如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠AOC=∠B，則∠B=度．【答案】120【分析】連結(jié)OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四邊形內(nèi)角和360゜，可求∠B．【詳解】如圖，連結(jié)OB，∵OA=OB=OC，∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC∵∠A+∠ABC+∠C+∠AOC=360゜∴3∠ABC=360゜∴∠ABC=120゜即∠B=120゜．故答案為：120．【點睛】本題考查圓周角度數(shù)問題，要抓住半徑相等構(gòu)造兩個等腰三角形，把問題轉(zhuǎn)化為解∠B的方程是關(guān)鍵．【答案】3根據(jù)在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等解答即可．故答案