專題03不規(guī)則圖形面積的求法題型梳理題型梳理題型方法題型一和差法題型二等積轉(zhuǎn)化法題型三容斥原理法題型方法題型方法【題型一】和差法【答案】D故選：D．【詳解】解：如圖，連接，(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；【答案】(1)與相切，理由見解析【詳解】（1）解：與相切，理由如下：連接，如圖所示：∵是的半徑，∴與相切；【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、求不規(guī)則圖形面積、扇形面積的計算等知識，熟練掌握切線的判定定理、不規(guī)則圖形面積求法是解題的關(guān)鍵．(1)求證：是的切線；【答案】(1)詳見解析【分析】本題主要考查了切線的判定，扇形的面積，直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練掌握其性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，為的中點，∵為圓的半徑，∵為直徑，∵E為的中點，【題型二】等積轉(zhuǎn)化法【例2】（2122九年級上·江蘇泰州·期末）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C在OB上，點E在OA上，點D在弧AB上，四邊形OCDE是正方形，則圖中陰影部分的面積等于（）【答案】B【詳解】如圖，連接OD，交CE于點F．∵四邊形OCDE是正方形，故選B．【答案】【詳解】解：連接，，即點是的中點，點是的中點，故答案為：．【點睛】本題主要考查了扇形的面積，圓周角定理，中位線定理，平行線間的距離相等，等腰三角形的三線合一，不規(guī)則圖形的面積求法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形計算面積是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021九年級上·江蘇南通·期中）如圖，AB為⊙O的直徑，射線AD交⊙O于點F，點C為劣弧的中點，CE為⊙O的切線交AD于點E，連接AC．（1）求證：CE⊥AD；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）π【分析】（1）連接BF，OC，由題意易得∠AFB＝90°，即BF⊥AD，OC⊥CE，進(jìn)而可得BF∥CE，然后問題可求證；【詳解】解：（1）如圖1，連接BF，OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，∵CE是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，∴OC⊥CE，∵點C為劣弧的中點，∴OC⊥BF，∴BF∥CE，∴CE⊥AD；（2）如圖2，連接OF，CF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵點C為劣弧的中點，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF＝S△COF，∴陰影部分的面積＝S扇形COF，∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，即陰影部分的面積為：π．【點睛】本題主要考查切線定理及扇形面積，熟練掌握切線定理及扇形面積是解題的關(guān)鍵．（1）求證：CD是⊙O的切線；【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質(zhì)證出∠OAC=∠OCA，得出AB∥OC，證出DC⊥OC，即可得出結(jié)論；（2）將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積求解即可．【詳解】（1）證明：連接OC，又∵為的半徑，∴為的切線．（2）解：連接OC，∴四邊形OABC是平行四邊形，【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCB的面積．【題型三】容斥原理法【答案】A【分析】由圖可知，陰影部分的面積是兩個圓心角為90°，且半徑為a的扇形的面積與正方形的面積的差，可據(jù)此求出陰影部分的面積．故選：A．【點睛】本題利用了扇形的面積公式，正方形的面積公式求解，得出S陰影=2S扇形S正方形是解題關(guān)鍵．【答案】A【分析】根據(jù)圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，求出它們的面積，再用兩個扇形的面積的和正方形的面積=無陰影兩部分的面積之差來求解．【詳解】解：如圖：故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積計算公式及不規(guī)則圖形的面積計算方法．找出正方形內(nèi)四個圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．好題必刷好題必刷一、單選題1．（2021九年級上·江蘇徐州·期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，分別以正方形的三邊AB、AD、CD為直徑在正方形的內(nèi)部作半圓，則陰影部分的面積之和為（

）A．2 B．3 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)公式分別求出正方形的面積及半圓的面積，再計算圖形a的面積，即可求出陰影面積的和．故選：A．．【點睛】此題考查了正方形的面積公式，正方形的性質(zhì)，半圓面積公式，求不規(guī)則圖形的面積，正確理解圖形的構(gòu)成特點及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積計算等知識點，能求出陰影部分的面積=扇形BAD的面積是解此題的關(guān)鍵．

【答案】A【詳解】

∴垂直平分，∴弓形的面積=弓形的面積，故選：A．【點睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形的面積，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，故選：B．5．（2425九年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)明的“萊洛三角形”是：分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形(如圖)．已知一個“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為，則此“萊洛三角形”的面積為（

）【答案】D【詳解】解：由題知，因為“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為，過點作的垂線，垂足為，故選：．【點睛】本題考查的知識點是扇形面積的計算、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知扇形的面積公式及等邊三角形的性質(zhì)．二、填空題【答案】【詳解】解：如圖，連接，故答案為：．【答案】/故答案為：．【答案】【分析】本題考查了扇形的面積計算，弧長公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出陰影部分的面積等于扇形的面積是解題的關(guān)鍵．故答案為：．三、解答題(1)求證：是的切線；(2)求圖中陰影部分的面積;【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：連接；∴是的切線；故圖中陰影部分的面積為：【點睛】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積求法，正確得出BE的長是解題關(guān)鍵．【答案】(1)求證：是的切線；【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查了圓的切線的判定、角平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確作出輔助線成為解題的關(guān)鍵.∴是的切線．(1)請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用表示）．【答案】(1)與相切，證明見解析【分析】本題主要考查切線的判定及扇形面積的計算，掌握切線的兩種判定方法及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：DE與相切．理由如下：連接，，點為的中點，(1)求證：是的切線；【答案】(1)見解析∵與相切于點C，∵是的直徑，∵點E是的中點