第十一章應力狀態(tài)和強度計算第一節(jié)應力狀態(tài)的概念第二節(jié)平面應力狀態(tài)分析（應力圓）第三節(jié)三向應力圓及最大切應力第四節(jié)廣義的胡克定律第五節(jié)強度理論簡介第六節(jié)其他強度理論簡介第七節(jié)電測應力分析介紹第一節(jié)

應力狀態(tài)的概念一、點的應力狀態(tài)從前面幾章的討論可知，桿件受外力作用發(fā)生變形時，往往桿內同一截面上的內力元素不是單一的，而且各點的應力會隨該點在截面上的位置而變化，而且過桿上任一點沿不同方位的斜截面上的應力值又各不相同。例如，直桿受軸向拉伸（壓縮）時，過桿上任一點的任意斜截面上的應力值σα和τα，均為斜截面方位角α的函數(shù)。

二、點的應力狀態(tài)的研究方法要研究某點處的應力狀態(tài)，可以圍繞該點取一個邊長為無窮小的正六面體———單元體來分析。下面說明單元體的取法和分析過程。二、點的應力狀態(tài)的研究方法如圖所示受橫力彎曲的簡支梁，為了分析梁的下邊緣上Ｂ點的應力狀態(tài)，可圍繞Ｂ點以兩個橫截面、兩個縱向水平面和兩個縱向鉛垂面截取一個單元體，如圖所示。由于單元體的邊長為無窮小，可設以下兩點假定：１）單元體各個面上的應力是均勻分布的。２）單元體上任意兩個平行面上的應力，其大小和性質完全相同。分析Ｂ點的受力情況可知，該單元體只有左右兩個面上有正應力σ，且σ＝ＭＢ／Ｗｚ可用圖ｃ所示平面單元表示。用同樣的方法在梁的上邊緣Ａ點，中性層處的Ｃ點及任意Ｄ、Ｅ處截取單元體，分別得到這些點的應力狀態(tài)如圖ｄ、ｅ、ｆ、ｇ所示。這些單元體均稱為原始單元體。主平面：切應力為零的截面主應力：主面上的正應力一點處必定存在這樣的一個單元體,三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應力分別記為

1,

2,

3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即主單元體：各側面上切應力均為零的單元體三、主平面和主應力四、應力狀態(tài)的分類1.單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不等于零2.二向應力狀態(tài)：兩個主應力不等于零3.空間應力狀態(tài)：三個主應力均不等于零通常將單向和二向應力狀態(tài)稱為平面應力狀態(tài)，將二向和三向應力狀態(tài)稱為復雜應力狀態(tài)。

1

1

2

2

1

1

3

1

2

2

3

1第二節(jié)平面應力狀態(tài)分析x

xyz

y

x

y

x

y

x

y平面應力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有

x,x

和

y,y符號規(guī)定：正應力仍規(guī)定拉應力

為正切應力對單元體內任一點取矩,順時針轉

為正由x軸轉到外法線n,逆時針轉向時

為正一、斜截面上的應力假想地沿斜截面E-F將單元體截開,留下左邊部分EBF作為研究對象xya

x

x

y

xEFB

x

x

y

y

α

ααnα設斜截面的面積為dA,BE的面積為dAcos

,BF的面積為dAsin

efα對研究對象列n和t方向的平衡方程得efa

x

x

y

y

α

ααnα化簡以上兩個平衡方程最后得t(11-1)(11-2)二、應力圓

將斜截面應力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方,然后相加便可消去

,得1.應力圓的概念（a）（b）可以看出，在以和σ為縱橫坐標的平面坐標系內，式（ｂ）的圖像為圓，其圓心坐標為，圓的半徑而圓周上任一點的縱橫坐標值，則分別代表所研究單元體內某一斜截面上的切應力和正應力。這樣的圓稱為應力圓。應力圓上的點的縱橫坐標與單元體上的截面的正切應力有著一一對應的關系，這種關系簡稱為點面對應。2.應力圓的作法1）建立σＯ直角坐標系2）按選定的比例尺，在σＯ

坐標系中定出Ｄ１（σｘ、

ｘ）點和Ｄ２（σｙ、－

ｙ）點，則Ｄ１、Ｄ２兩點分別代表單元體上法線為ｘ軸和ｙ軸的平面。３）連接Ｄ１和Ｄ２兩點，連線Ｄ１、Ｄ２與橫軸得交點Ｃ。以Ｃ點為圓心，ＣＤ１或（ＣＤ２）為半徑作圓，此圓即為圖ａ所示單元體的應力圓。下面證明上述作圓的正確性。由圖b說明Ｃ點即式（ｂ）所示應力圓的圓心，ＣＤ１即該圓的半徑。3.利用應力圓求斜截面上的應力同理可證＝

α。（證明過程從略）欲求單元體α斜截面上的應力（圖ａ），可將半徑ＣＤ１與單元體上α同轉向旋轉２α角，轉至ＣＥ處，則Ｅ點的橫坐標ＯＦ及縱坐標ＥＦ分別為該斜截面上的正應力σα和切應力

α之值。這種關系簡稱為轉角二倍。其證明如下：三、主應力和最大切應力的確定由圖ｂ可知，從Ｄ１點順時針轉２α０角即到Ａ１點。這意味著，在單元體上從ｘ軸順時針轉α０角，就可以得到主應力σ１所在主平面的外法線位置（如圖ｃ）。并且單元體兩個主平面的實際夾角為９０0。利用應力圓可以很方便地確定主應力的大小及主平面的方位。在圖ｂ中，Ａ１和Ａ２兩點分別代表了單元體內的兩個主平面，因此Ａ１和Ａ２點的橫坐標ＯＡ和ＯＡ即為單元體的主應力σ１和σ２（σ３＝０）。所以（11-3）（11-4）（11-5）（11-6）（11-7）例１１-１一單元體應力狀態(tài)如圖ａ所示。已知σｘ＝－２０ＭＰａ，σｙ＝４０ＭＰａ，τｘ＝２０ＭＰａ，τｙ＝－２０ＭＰａ。用應力圓求１）α＝３０°斜截面上的應力；２）主應力與主平面的位置；３）最大切應力。例１１-２根據(jù)應力狀態(tài)理論，分析塑性材料和脆性材料圓桿扭轉破壞現(xiàn)象。解圓軸扭轉時（圖ａ），最大切應力發(fā)生在圓桿表面處，表面上點Ｋ的單元體如圖ｂ所示。單元體上的切應力τｘ＝Ｍ／Ｗｎ，單元體上下及兩側表面上無正應力。對于塑性材料，如用低碳鋼等制成的圓桿，扭轉時沿橫截面破壞，因為橫截面上只有切應力，說明塑性材料的抗剪能力差（圖ｄ）。對于脆性材料，如用鑄鐵等制成的圓桿，扭轉時沿與軸線成４５°方向破壞，因４５°截面上只有拉應力，說明脆性材料的抗拉能力差（圖ｅ）。第三節(jié)三向應力狀態(tài)的最大應力若構件上某一點處于三向應力狀態(tài)，可圍繞該點沿三個主平面切出一個單元體，如圖ａ所示。下面討論如何確定該點的任意截面上應力的數(shù)值范圍以及最大切應力。首先用一個與主應力σ３平行的截面將單元體截開，取三棱柱體（圖ｂ）為研究對象。由于主應力σ３所在兩平面上的力自相平衡，斜截面上的應力僅與σ１和σ２有關，因而平行于σ３的各截面上的應力，可由σ１和σ２所確定的應力圓上相應點的坐標值表示（圖ｃ）。同理可知，以σ２和σ３所作應力圓上各點的坐標，代表了單元體內與σ１平行的各截面上的應力；以σ１和σ３所作應力圓上各點的坐標，代表了單元體內與σ２平行的各截面上的應力。上述三個應力圓都畫出圖ｃ上?？梢宰C明，對于與三個主應力均不平行的任意斜截面上的應力，其值均位于圖ｃ所示的三圓所圍成的陰影區(qū)域內。該三圓可稱為三向應力圓。由此可見，在三向應力狀態(tài)下，最大和最小正應力為(11-8)(11-9)而最大切應力為位于與σ１和σ３均成４５°的斜截面內。第四節(jié)廣義胡克定律現(xiàn)研究如圖所示主單元體沿三個主應力方向的線應變，這種線應變稱為主應變。

3

1

2

2

3

1

1

1

2

2

3=++

3首先討論應變ε１的計算。根據(jù)單向應力狀態(tài)下的胡克定律可知，三個主應力σ１、σ２和σ３各自對ε１的影響分別為同理可求出ε２和ε３。由此得廣義胡克定律為式中，ε１、ε２和ε３均稱為主應變。式（１１-１０）中各應力和應變值的符號規(guī)定與前面各章節(jié)一致。對于非主單元體，在彈性范圍內，切應力對線應變沒有影響，故一般單元體的三向應變仍可按式（１１-１０）計算。(11-10)第五節(jié)強度理論簡介一、強度理論的概念通過前面的學習可知，當構件處于軸向拉伸（壓縮）時，其強度條件為式中的σ０是由實驗測得的。但是，工程中有許多構件的危險點是處于復雜應力狀態(tài)，其單元體中σ１、σ２和σ３的不同組合代表了不同的應力狀態(tài)。如果還是仿照拉（壓）桿的強度計算方式來解決問題，就需要將三個主應力按不同比例組合逐個進行實驗，這顯然是不現(xiàn)實的。因此，解決這類問題需要找出一個能夠根據(jù)軸向拉、壓實驗所求得的σｓ或σｂ值，來確定在復雜應力狀態(tài)下的強度條件的方法。這就需要考慮材料破壞的原因。據(jù)實驗和觀察，盡管材料的破壞從表面看是十分復雜的現(xiàn)象，但總不外乎是脆性斷裂或塑性屈服兩種現(xiàn)象或發(fā)生顯著的塑性變形，致使構件不能正常工作。同一類型的破壞可以認為是由某一個特定的因素所致，找出這個因素，即可通過簡單的拉、壓實驗結果來推測材料在復雜應力狀態(tài)下的破壞，從而建立相應的強度條件。所謂強度理論，也就是關于材料的某一類破壞是由什么因素引起的假說。二、四種常見的強度理論依據(jù)材料的破壞類型，相應地就有兩類強度理論：一類是以斷裂破壞為標志，主要有最大拉應力理論和最大拉應變理論；另一類是以塑性屈服為破壞標志，主要有最大切應力理論和形狀改變比能理論。１.最大拉應力理論（第一強度理論）此理論認為：不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大拉應力σｌ達到單向拉伸下發(fā)生脆性斷裂時的極限應力值σｂ，則材料就發(fā)生脆性斷裂破壞。據(jù)此，材料發(fā)生斷裂破壞的條件是引入安全因數(shù)后，其強度條件為（11-11）式中，σｘｄ１稱為第一強度理論的相當應力；［σ］為單向拉伸時的許用應力。實驗證明，脆性材料在二向或三向拉伸，以及存在壓應力而最大壓應力不超過最大拉應力值時，該理論較適用。２.最大伸長線應變理論（第二強度理論）這一理論認為，最大伸長線應變是使材料發(fā)生脆性斷裂的原因。也就是說：不論材料處于何種應力狀態(tài)，只要最大伸長線應變ε１達到了單向拉伸斷裂時的最大伸長線應變值ε１ｊｘ，材料就會發(fā)生斷裂破壞，因此斷裂破壞的條件為ε１＝ε１ｊｘ（11-11a)根據(jù)胡克定律，式（11-11a）可改寫成(11-12)引入安全因數(shù)后，第二強度理論的強度條件為式中，σｘｄ２為第二強度理論的相當應力。實驗證明，這一理論能夠較好地解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時，沿橫向發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。它雖然考慮了σ２和σ３的作用，但并不能描述材料破壞的一般規(guī)律。３最大切應力理論（第三強度理論）這一理論認為，最大切應力是材料產生塑性屈服破壞的原因。也就是說：不論材料處于何種應力狀態(tài)；只要最大切應力τｍａｘ達到材料在單向拉伸下發(fā)生屈服破壞的最大切應力值τｓ，材料就會發(fā)生屈服破壞。因此，材料發(fā)生塑性屈服破壞的條件為(11-12a)(11-12b)據(jù)式（11-9）有將式（11-12ｂ）代入式（11-12ａ），得強度條件(11-13)式中，σｘｄ３是按第三強度理論計算的相當應力。實驗證明，這一理論可以較好地解釋塑性材料出現(xiàn)塑性變形的現(xiàn)象。但是，由于它沒有考慮σ２的影響，故按這一理論設計構件偏于安全。４形狀改變比能理論（第四強度理論）（１）形狀改變比能的概念在彈性體的變形過程中，外力相對于位移而做功，靜載時若忽略其他損失，可認為此功全部轉化為彈性體的變形能。通常將單元體的變形能分解為體積改變能和形狀改變能兩部分。對應于單元體的形狀改變而積蓄的那一部分變形能稱形狀改變能，單位體積內的形狀改變能稱為形狀改變比能，用Ｕ表示。在復雜應力狀態(tài)下，形狀改變比能為式（11-14）的推導過程從略。材料在單向拉伸屈服時（σ１＝σｓ，σ２＝σ３＝０）的形狀改變比能為(11-14)(11-14a)（２）第四強度理論這一理論認為，形狀改變比能是引起材料發(fā)生屈服破壞的原因。也就是說：不論材料處于何種應力狀態(tài)，只能形狀改變比能Ｕ達到材料在單向拉伸屈服時的形狀改變比能Ｕｘｓ，材料就會發(fā)生屈服破壞。由此得材料的屈服條件為(11-14b)(11-15)將式（11-14）和式（11-14a）代入式（11-14b）中，并考慮安全因數(shù)后，可得強度條件為式中，σｘｄ４是按第四強度理論計算的相當應力。實驗表明，第四強度理論比第三強度理論更符合實驗結果，因此在工程中得到廣泛的應用。5.四個強度理論的適用范圍１）在三向拉伸應力狀態(tài)下，不論是脆性材料還是塑性材料，都會發(fā)生斷裂破壞，應采用最大拉應力理論。２）在三向壓縮應力狀態(tài)下，不論是塑性材料還是脆性材料，都會發(fā)生屈服破壞，適于采用形狀改變比能理論或最大切應力理論。３）一般而言，對脆性材料宜用第一或第二強度理論，對塑性材料宜采用第三和第四強度理論。例１１-３轉軸邊緣上某點的應力狀態(tài)如圖所示。試用第三和第四強度理論建立其強度條件。例１１-４試校核圖所示焊接梁的強度。已知梁的材料為Ｑ２３５，其許用應力［σ］＝１７０ＭＰａ，［τ］＝１００ＭＰａ。其他條件如圖所注。３）梁的彎曲正應力強度校核。危險點在梁的跨中截面Ｅ的上、下邊緣處，應力狀態(tài)如圖ｅ所示，即計算結果尚在強度許可范圍內。４）梁的切應力強度校核。危險點在兩支座內側截面的中性軸上，應力狀態(tài)如圖所示５）梁的主應力強度校核。危險點在Ｃ（或Ｄ）外側截面上的翼緣與腹板交界處，應力狀態(tài)如圖所示，即按第四強度理論校核。將主應力的表達式代入第四強度理論的強度條件中，可簡化為計算結果在強度允許限度之內。對于國家標準的型鋼（工字鋼、槽鋼）來說，并不需要對腹板與翼緣交界處的點用強度理論進行校核。因為型鋼截面在腹板與翼緣交界處有圓弧，而且工字鋼翼緣的內邊又有１∶６的斜度，因而增加了交界處的截面寬度，保證了在截面上下邊緣處的正應力和中性軸上的切應力都處于不超過允許應力的情況下，腹板與翼緣交界處附近各點一般不會發(fā)生強度不夠的問題。第六節(jié)其他強度理論簡介一、莫爾理論該理論既考慮了材料的正應力，也考慮了材料的壓應力，相對而言較為合理，其表達式為式中，［σｌ］為材料的許用拉應力；［σｙ］為材料的許用壓應力。不難看出，對于塑性材料，其表達式與第三強度理論表達式相同。二、雙切強度理論該理論由以我國俞茂宏教授為首的研究組研究提出，其單元體模型是正交八面體，考慮了單元體上的全部應力分量。它通過中間主切應力τ１,２或τ２,３而自然地引入中間主應力σ２，使得中間主應力效應，這幾十年來為人們所關心而沒有很好解決的難題，得到理論上的證明。其結果與一些新的實驗符合得更好。它的材料利用率與單切應力理論相比，可提高三分之一左右。該理論自２０世紀７０年代以來已在國際上產生了很大影響。雙切強度理論的定義是：當作用于單元體上的最大切應力和中間切應力函數(shù)到達某一極限時，材料即發(fā)生屈服。數(shù)學表達式為可見，以Ｂ為參數(shù)的包括無限多個一簇雙切屈服準則，可稱為“雙切統(tǒng)一屈服準則”。不難看出，當Ｂ＝２時，即與第三強度理論相吻合。三、平方主切應力屈服準則該理論是我國石寒副教授潛心研究的結果。其單元體模型是菱形十二面體，即由三組主切應力的作用面所組成的一種空間等分體。其屈服準則的定義是：當兩個較小的主切應力之平方和達到某極限值時，材料將開始屈服。數(shù)學表達式為式中，ｆ（σｍ）為平均應力的冪函數(shù)。將ｆ（σｍ）展開并取至二次，則有式中，Ａ、Ｂ、Ｃ為材料常數(shù)，可通過材料的剪切屈服試驗而確定。第七節(jié)電測應力分析介紹一、實驗應力分析概述對工程中的實際構件進行應力分析時，理論分析方法往往都作了某些簡化，與真實情況有一定的偏差，還需要通過實驗進行驗證；有些工程問題甚至難以進行理論分析，只能通過實驗方法對實際結構或模型進行應力測定，再輔以理論分析來解決。這種通過實驗來研究和分析構件應力大小及分布規(guī)律的方法，稱為實驗應力分析。常用的實驗應力分析方法有電測法、光測法、全息光彈性法、云紋法和涂層法等。由于電測法具有靈敏度高、傳感元件小和適應性強等優(yōu)點，在工程中應用廣泛，成為工程技術人員常用的一種實驗測量手段。二、電測法的基本原理電測法是通過貼在構件被測點處的電阻應變片，將被測點的應變值轉換為應變片的電阻變化，再用電阻應變儀測出應變片的電阻改變，并直接轉換輸出應變值，然后依據(jù)胡克定律計算出構件被測點的應力值大小。因此，電測法的主要設備包括電阻應變片和電阻應變儀兩部分。１.電阻應變片及其傳感原理電測法是以電阻應變片作為傳感元件，常用的應變片有金屬電阻應變片和半導體應變片兩類。金屬電阻應變片有高電阻合金材料制成絲式、箔式和薄膜式，目前以箔式應變片應用較多，其結構形式如圖ａ所示，它是用厚度為０.００３～０.０１ｍｍ的康銅或鎳鉻箔片借光刻腐蝕制成柵狀。半導體材料制成的電阻應變片一般分為體型、薄膜型和擴散型等形式，如圖ｂ所示。相對金屬電阻應變片而言，半導體應變片具有應變靈敏度高、電阻值高且可微型化等優(yōu)點，但是存在溫度系數(shù)大、穩(wěn)定性差及變換非線性較大等缺點。半導體應變片有時不接應變儀就能得到一定的輸出值，從而降低測量儀器的成本，但是在精密測量中仍大多采用金屬電阻應變片。測量時，用特種膠水將應變片粘貼在構件的欲測部位上，使應變片的電阻絲隨構件一起變形。如以ΔＬ表示電阻絲長度的改變量，以ΔＲ表示電阻絲電阻值的改變量，由實驗得知，電阻應變片相對長度的變化（即應變）在一定范圍內與其相對電阻的變化成線性關系，即(11-18)式中，Ｋ稱為電阻應變片的靈敏系數(shù)。Ｋ值愈大，表示應變片對變形的敏感性愈高。由此可見，只要測得電阻的改變率ΔＲ／Ｒ，就可按式（11-18）求得構件所測部位的應變ε的大小。由于實際構件的變形往往很小，要保證所測應變的精度就必須保證相應電阻改變量ΔＲ的測量精度。采用一般的電表不能做到這一點，必須使用特別的電阻應變儀。２.電阻應變儀的測量原理電阻應變儀測定電阻應變片的電阻變化是以惠斯頓電橋原理為基礎的，常用的測量電橋有平衡電橋（此時稱零讀數(shù)法）和不平衡電橋（此時稱偏轉法）兩種。（１）平衡電橋若用應變片代替電阻Ｒ１，應變片的阻值可用零讀數(shù)法讀出，即電橋平衡時Ｉｇ＝０，電橋平衡條件為Ｒ１Ｒ４＝Ｒ２Ｒ３，Ｒ１＝Ｒ３Ｒ２／Ｒ４。當應變片電阻變化ΔＲ１時，設Ｒ３和Ｒ４為定值，調Ｒ２至Ｒ２＋ΔＲ２，使電橋達到平衡，應變片電阻值的變化為圖11-12ａ是直流平衡電橋，Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３和Ｒ４為電橋的四個臂，１、２端接檢流計，內阻為Ｒｇ，３、４端間加上電源Ｕ后，在檢流計中流過的電流為Ｉｇ。（11-19）將調節(jié)臂電阻Ｒ２的值刻度為被測應變值，就能讀出ΔＲ１值。此法僅適合于靜態(tài)應變的測量。對電阻變化較快的動態(tài)應變測量，則來不及使電橋平衡，因而不能采用零讀數(shù)法，而使用偏轉法，即不平衡電橋法。（２）不平衡電橋不平衡法是指應變片阻值的變化可以用流過檢流計中的電流Ｉｇ來表示。如圖ｂ所示的電橋，設Ｒ１＝Ｒ２＝Ｒ３＝Ｒ４＝Ｒ，各電阻的改變量分別為ΔＲ１、ΔＲ２、ΔＲ３、ΔＲ４，此時電橋不平衡，據(jù)式（１１-１８），通過檢流計中的電流Ｉｇ可導出（11-20）（３）溫度補償原理根據(jù)電工學知識，當被測構建的溫度變化時，必須考慮溫度的變化對應變片電阻率的影響，以及應變片和構件因材料線膨脹系數(shù)不同而造成的影響。為了消除上述影響，可以選一個與Ｒ１相同的應變片，貼在與被測構件相同的材料上，并放置在溫度變化相同的環(huán)境中，作為電橋的另一臂Ｒ２，如圖所示，從而消除了溫度變化對電橋平衡的影響。三、電測法的