高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.已知直線與垂直，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】若直線與垂直，則，解得.故選：B.4.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（）A. B. C.8 D.【答案】A【解析】由正弦定理可知：，為外接圓的半徑，所以.故選：A.5.在四棱錐中，為的中點(diǎn)，若，則().A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意知為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，由此可知?故選：B.6.已知正方體的內(nèi)切球半徑為，則該正方體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球半徑為，所以正方體的棱長為．設(shè)外接球的半徑為R，則，所以，故外接球的體積為．故選：B.7.已知空間向量以為基底時(shí)的坐標(biāo)為，則以為基底時(shí)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄恳詾榛讜r(shí)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)，由空間向量基本定理得，解得，所以以為基底時(shí)的坐標(biāo)為.故選：D.8.若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑，且圓心到直線的距離，由題意可知：，則，即，解得或，所以m的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，，則（）A. B.直線AB的一個(gè)方向向量為C.四點(diǎn)共面 D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【解析】，A正確；，B錯(cuò)誤；由題意得，則，所以四點(diǎn)共面，C正確；，，，則點(diǎn)到直線的距離為，D正確.故選：ACD.10.已知的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B.可能等于C. D.可能等于【答案】ACD【解析】因?yàn)榈慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，且，所以，，故A，C正確.因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，且，記的頂點(diǎn)的軌跡為，則下列說法正確的是（）A.軌跡的方程為B.面積的最大值為3C.邊上的高的最大值為D.若為直角三角形，則直線被軌跡截得的弦長的最大值為【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得．設(shè)，則，整理得，因?yàn)轫旤c(diǎn)不能與，重合，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為，且，故A錯(cuò)誤．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，所以B正確．當(dāng)與圓相切時(shí)，到的距離最大，如圖1，作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以邊上的高的最大值為，故C錯(cuò)誤．如圖2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線被圓截得的弦長為；當(dāng)時(shí)，由得，不妨設(shè)，顯然當(dāng)在處時(shí)，直線被圓截得的弦長更長，此時(shí)直線的方程為，圓心到直線的距離，所以弦長為．故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線被圓截得的弦長為________.【答案】8【解析】因?yàn)閳A，即，可知圓心為，半徑，且圓心到直線的距離，所以截得的弦長為.13.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】由于是定義在上的奇函數(shù)，因此可得：；又f-x=-fx因此可得：.14.已知M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，直線EF經(jīng)過圓柱的中心O，，圓柱的底面圓的半徑為5，則的最大值為________.【答案】144【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)镺為圓柱的中心，且M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)為底面圓周上時(shí)，等號(hào)成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)為過O且與底面平行的圓周上時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以最大值144.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線l過點(diǎn).（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；（2）若l與圓C相切，求l的方程.解：（1）若直線的截距相等且不為零，則假設(shè)直線方程為.由于直線過點(diǎn)，代入可得：，解得：，即得直線；若直線的截距相等且等于零，則假設(shè)直線方程為，由于直線過點(diǎn)，代入可得：，解得：，即得直線.（2）已知圓的圓心為，由于點(diǎn)在圓上，所以直線垂直于切線，易知直線的傾斜角為，故切線的斜率為，故切線方程為16.某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動(dòng)時(shí)長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)小組（所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動(dòng)心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.解：（1）由，解得.因?yàn)?，所以中位?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，得，即估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長的中位數(shù)為2.4h.（2）由題知，平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，內(nèi)的頻率分別為0.25，0.05，則應(yīng)從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時(shí)間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時(shí)間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個(gè)，所以這2人來自不同分組的概率為.17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面ABCD.（2）若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.（1）證明：因?yàn)?，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面ABCD，E為AD的中點(diǎn).（1）證明：平面PAB.（2）證明：.（3）試問在線段PE上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面PAB.（2）證明：作交于，因?yàn)?，所以，又，所以，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，即，所以，又E為AD的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，所以平面，平面，所以.（3）解：設(shè)存在，作交與，由（2）可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)直線CM與平面PBC所成角的為，則，解得，所以在線段PE上存在點(diǎn)，此時(shí).19.若圓與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，，且為線段PQ的中點(diǎn)，則稱是的m等距共軛圓.已知點(diǎn)，均在圓上，圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.（i）求的方程.（ii）已知點(diǎn)，直線l與曲線交于異于點(diǎn)H的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)，且點(diǎn)，均在圓上，則，可得，解得，即圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)