高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市五縣聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，則，則其虛部為，故選：A.2.已知向量，，若向量，則實數(shù)的值為（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】因為向量，，所以，由得，即，解得.故選：B3.在中，在上，，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，，.故選：C4.設(shè)矩形邊長分別為、，分別以、兩邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為和，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.、的大小不確定【答案】C【解析】以為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是底面半徑為，高為的圓柱，，以為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是底面半徑為，高為的圓柱，，因為，所以，所以.故選：.5.已知平面向量，是兩個單位向量，在上的投影向量為，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】已知在上的投影向量為.因為是單位向量，所以，則，故.可得.因為是單位向量，所以，可得.將，代入可得.故選：B.6.一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（）A. B.6 C. D.【答案】D【解析】設(shè)軸與交點為，因為軸，軸，所以，因為軸，所以四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合軸，得，故.所以四邊形面積為，因為四邊形面積是四邊形的面積的，所以四邊形的面積為.故選：D.7.已知正三棱臺上下底面邊長分別為、，高為1，則正三棱臺外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下圖，設(shè)正三棱臺的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺的幾何性質(zhì)可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設(shè)，若球心在線段上，則，，設(shè)球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，即，故該正三棱臺的外接球體積為.故選：C8.在中，角的對邊分別為，，若，則面積的最大值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以的面積，當且僅當，即時等號成立，故面積的最大值為.故選:D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分.9.下列命題中為真命題的是（）A.若與是共線向量，則點、、、共線B.若為非零向量，則與同向C.若，則D.若，，則【答案】BCD【解析】與是共線向量，則所在直線不一定重合，故點、、、不一定共線，故A錯誤；為非零向量，則與方向相同，故B正確；若，則成立，故C正確；若，，根據(jù)向量相等的定義知成立，故D正確.故選：BCD10.正方體的棱長為2，點、分別是、的中點，則下列說法正確的是（）A.直線、、相交于同一個點B.過點、、的截面面積為C.三棱錐的高是D.三棱錐外接球表面積為【答案】AC【解析】連接，因點、分別是、的中點，則，又為正方體，則，則，則四點共面，延長交于點，因平面，平面，則平面平面，則直線、、相交于同一個點，故A正確；過點作，交于，于，連接，分別交于點，連接，由A選項可知，，則過點、、的截面為五邊形，容易得，，則，又，則四邊形為平行四邊形，則，，又，則等腰梯形的高為，則等腰梯形的面積為，又，則等腰三角形底邊上的高為，則，則，故B錯誤；設(shè)三棱錐的高為，因，則，則，故C正確；設(shè)正方體的外接球半徑為，則，則外接球表面積為，故三棱錐外接球表面積為，故D錯誤.故選：AC11.在銳角中，角所對的邊分別為，，，已知，且，則下列說法中正確的是（）A.B.的取值范圍是C.點是所在平面內(nèi)任一點，若，則的取值范圍是D.點是所在平面內(nèi)任一點，，則與的面積比為【答案】ABD【解析】A選項，，由正弦定理得，故或，當時，因為，所以，但，故，所以不合要求，所以，A正確；B選項，由A知，，，其中，因為為銳角三角形，所以，即，解得，因為在上單調(diào)遞減，所以，B正確；C選項，點是所在平面內(nèi)任一點，，取的中點，連接，則且，則，由于點是所在平面內(nèi)任一點，則，所以，C錯誤；D選項，點是所在平面內(nèi)任一點，，在上取點，使得，取的中點，則，設(shè)直線交于點，設(shè)，所以，即，因為三點共線，所以，解得，所以，故與的面積之比為，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則向量與的夾角為______.【答案】【解析】因為，所以，即，又，所以，則，因為，所以.故答案為：13.在中，，，若滿足條件的三角形有且只有兩個，則邊的取值范圍為_____.【答案】【解析】在中利用正弦定理，得，因，且滿足條件的三角形有且只有兩個，則且，則，即，得，則邊的取值范圍為.故答案為：.14.祖暅，南北朝時代的偉大科學(xué)家.他于5世紀末提出下面的計算原理——祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學(xué)們用祖暅原理解決如下問題：如題圖，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時容器中水的深度為_____.【答案】3【解析】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，根據(jù)祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.下面證明如圖1中陰影截面面積相等：證明：設(shè)半球中陰影截面圓的半徑為，球體半徑為，則，截面圓面積；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積所以，又高度相等，所以球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.圖1如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺體積.記球體半徑為，為等邊三角形，，，根據(jù)祖暅原理，圖2，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺體積為圓臺，，設(shè)將球取出時容器中水的深度為，底面圓的半徑為，則，.，即，.因為，所以故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.復(fù)數(shù)滿足，且是實數(shù).（1）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限，求復(fù)數(shù)；（2）在（1）的條件下，記復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，若是直角三角形，求的值.解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，所以，，是實數(shù)，則，，又若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限，所以，則.（2）在（1）的條件下，，，若，則，又，，則，故.若，則，則，，所以，故.若，則，方程無解，不存在.綜上：或.16.如圖，四邊形中，，，，.（1）用，表示、；（2）求的值.解：（1）；；（2），.所以17.如圖，在中角所對的邊分別為、、.已知：，點在的延長線上，，.（1）求角；（2）若的面積，求線段的長.解：（1），由正弦定理得：，即，，，，.，；（2）設(shè)，中，由正弦定理得：.中，由正弦定理得：，，，，，，，，，，，即，又，，.18.某市公園綠道專為騎行而建，以綠道為線，串聯(lián)上百個生態(tài)公園，一路上樹木成蔭、鳥語花香.因為在處有一古塔，市政府為升級綠道沿途風(fēng)景，計劃在某段全長200米的直線綠道一側(cè)規(guī)劃一個三角形區(qū)域（古塔的底座忽略不計）做綠化，如圖，已知，為提升美觀度，設(shè)計師擬將綠化區(qū)設(shè)計為一個銳角三角形.（1）若在、處分別測得塔頂?shù)难鼋菫?、，求塔高；?）求綠化區(qū)域面積的取值范圍；（3）綠化完成后，某游客在綠道的另一側(cè)空地上尋找最佳拍照打卡點，該游客從到，再從到.已知，求游客所走路程的最大值.解：（1）設(shè)米，依題意可知，，又在、處分別測得塔頂?shù)难鼋菫?、即，，可知，，在中，，?jù)余弦定理得，即，解得：或（舍去）塔高為米.（2）設(shè)，則，則在中，據(jù)正弦定理得，故，又依題可知，為銳角三角形，則即，故，則，又，則.（3）在中，據(jù)余弦定理得，，，，當且僅當時取等號，故所走路程的最大值為米.19..在中，設(shè)角的對邊長分別為，已知：.（1）求角；（2），求邊上的中線的最小值；（3）已知銳角的面積為.點是的重心，點是的中點，，線段與線段交于點，若，求的取值范圍.解：（