第十章剛體的平面運動第一節(jié)剛體平面運動的基本概念一、剛體平面運動的定義剛體在運動過程中，其上任一點到某固定平面的距離保持不變，剛體的這種運動稱為平面運動。剛體的平面運動可簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動。二、平面圖形的運動方程其中，A

點稱為基點，可任意選擇。討論：1）若

=Const，2）若，則為平移；則為繞定軸

A

的轉(zhuǎn)動。三、平面運動的分解剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平移和繞基點的轉(zhuǎn)動。說明：1）平面運動的可分解性與基點的選擇無關(guān)；2）平移參量與基點的選擇有關(guān)；3）轉(zhuǎn)動參量與基點的選擇無關(guān)。第二節(jié)平面圖形上點的速度分析一、速度合成法（基點法）平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和，即為

B

點隨圖形繞基點

A

轉(zhuǎn)動的速度，其方向垂直于BA

，大小式中，為基點

A

的速度；二、速度投影法平面圖形上任兩點的速度在這兩點連線上的投影相等，即以等角速度

轉(zhuǎn)動。試求當(dāng)

=60°時，滑塊

B

的速度和連桿

AB

的角速度。[例1]圖示曲柄連桿滑塊機構(gòu)，已知AO=r

、，曲柄解：以連桿

AB

為研究對象，取速度已知的

A點為基點，由基點法，其中，點

B

的速度滑塊

B

的速度根據(jù)速度平行四邊形，解得所以，連桿

AB

的角速度[例2]如圖，車輪的半徑為

r

，沿水平軌道作純滾動。已知輪心C

的速度為

v0，試求輪緣上點

A

和點

B

的速度。以輪心

C

為基點，由基點法，得車輪角速度解：其中，1）求車輪角速度接觸點

P

的速度故有再以輪心

C

為基點，由基點法，輪緣上點

A

的速度其中，故得輪緣上點

A

的速度2）求輪緣上點

A

的速度類似，再以輪心

C

為基點，由基點法，輪緣上點

B

的速度其中，根據(jù)速度平行四邊形，即得3）求輪緣上點

B

的速度[例3]圖示四桿機構(gòu)，已知

BA=BC=CD=300

mm

；在圖示位置，BC∥AD

，桿

BA

的角速度

=5rad/s

。試求該瞬時桿BC

和

CD

的角速度。解：研究桿

BC

，取

B

點為基點，由基點法，C

點速度其中，解得所以，該瞬時桿

BC

和

CD

的角速度分別為解：1）研究桿

AC，A

為基點，由基點法，點C

的速度其中，有三個未知量，無法求解取點垂，桿

AC、BO2

水平，桿

CB

與鉛垂方向成

30°角。試求該瞬時角速度等于

2

；、BO2

=l；在圖示瞬時，桿

AO1

鉛點

C

的速度。[例4]圖示雙搖桿機構(gòu)，已知桿

AO1的角速度等于

1

，桿

BO2

的2）再研究桿

BC，其中，將上式兩邊向

x

軸投影，得聯(lián)立兩式，有取點

B

為基點，由基點法，又有點

C

的速度將上式兩邊分別向

x、y

軸投影，得所以，該瞬時點

C

的速度三、速度瞬心法1.速度瞬心引理每一瞬時，在平面圖形或其延拓部分上，都唯一存在著一個速度為零的點，稱這一速度為零的點為速度瞬心，記作

P

。注意：在不同瞬時，速度瞬心的位置是不同的。2.速度瞬心法平面圖形上任一點的速度就等于該點隨圖形繞速度瞬心

P

轉(zhuǎn)動的速度，即方向：垂直于

MP大?。簐M=

·

MP第二節(jié)平面圖形上點的速度分析3.速度瞬心位置的確定①平面圖形沿固定面作純滾動，②已知平面圖形上兩點的速度，則速度瞬心位置可定。4.瞬時平移在某一瞬時，平面圖形的速度瞬心位于無窮遠處，則稱剛體在該瞬時作瞬時平移。此時，其上各點的速度均相等。注意：瞬時平移和平移的區(qū)別接觸點即為速度瞬心。平面圖形的角速度為零；[例5]如圖，車輪的半徑為

r

，沿水平軌道純滾動。已知輪心

C

的速度為

v0，試求輪緣上點

A

和點

B

的速度。圓輪沿水平軌道純滾動，車輪角速度解：軌道的接觸點

P

即為其速度瞬心輪緣上點

A

的速度輪緣上點

B

的速度故圓輪與由速度瞬心法依次可得[例6]已知長為

l

的桿

AB，A

端始終靠在鉛垂墻面上，B

端鉸接在半徑為R

的圓盤中心，圓盤沿水平地面純滾動。若在圖示位置，桿A

端的速度為

v

，試求（1）AB

桿

B

端的速度、角速度和中點

C

的速度；（2）圓盤的角速度。解：1）研究桿

AB確定桿

AB

的速度瞬心

P根據(jù)速度瞬心法，依次得2）再研究圓盤圓盤沿水平地面純滾動，其速度瞬心為接觸點

P1。根據(jù)速度瞬心法，得圓盤的角速度解：研究連桿

AB[例7]圖示平面機構(gòu)，已知

AO=R、AB=R

，曲柄

AO

的角速度為

。試求

=60°、90°、0°時，滑塊

B

的速度和

AB

桿的角速度。1）當(dāng)

=60°時確定連桿

AB

的速度瞬心

P，根據(jù)速度瞬心法AB

桿的角速度滑塊

B

的速度連桿

AB

的速度瞬心

P

位于無窮遠處，即連桿

AB

作瞬時平移，故有2）當(dāng)

=90°時連桿

AB

的角速度滑塊

B

的速度確定連桿

AB

的速度瞬心

P連桿

AB

的速度瞬心與點

B

重合，3）當(dāng)

=0°時滑塊

B

的速度連桿

AB

的角速度故有確定連桿

AB

的速度瞬心[例8]曲柄

AO

以角速度

=2

rad/s

繞軸

O

轉(zhuǎn)動。已知

BD

=

30

cm、OA

=

O1D

=

10

cm，在圖示位置時，曲柄

AO

處于水平位置，夾角

=45°。試求該瞬時連桿

AB、BD

和曲柄

DO1的角速度。解：1）研究連桿

AB連桿

AB

作瞬時平移故連桿

AB

的角速度滑塊

B

的速度確定連桿

AB

的速度瞬心2）研究連桿

BD確定連桿

BD

的速度瞬心

P根據(jù)速度瞬心法依次得連桿

BD

的角速度點

D

的速度3）研究曲柄

DO1曲柄

DO1

的角速度接；滑塊

E

以速度

v

沿鉛直滑道向上運動。在圖示位置，桿

AO

鉛直，并與桿

BE

成

45°夾角，試求該瞬時桿

AO

的角速度。[例9]圖示平面機構(gòu)，滑塊

B

可沿桿

AO

滑動，并與桿

BD

和

BE

鉸接；桿

BD

可沿水平軌道運動；桿

BE

長為，在

E

端與滑塊

E

鉸解：1）研究桿

BE該瞬時，桿

BE

的速度瞬心

P

與點

O

重合，故得桿

BE

的角速度以及點

B

的速度分別為

確定桿

BE

的速度瞬心

P2）選取滑塊上的

B

點為動點，動系固連于桿

AO

上其中，故得相對速度與牽連速度分別為所以，該瞬時桿

AO

的角速度根據(jù)點的速度合成定理

絕對速度基點法

——第三節(jié)平面圖形上點的加速度分析平面圖形上點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和，即其中，，方向垂直與

BA，方向沿

BA

指向基點

A注意：在加速度分析前一般需先進行速度分析[例10]如圖，滾輪沿水平直線軌道純滾動。已知滾輪半徑為

r，輪心

O

的速度為

v

、加速度為

a

。試求滾輪上速度瞬心

P

的加速度。解：將上式兩邊對時間求導(dǎo)，并注意到輪心

O

作直線運動，即得滾輪的角加速度接觸點

P

即為速度瞬心滾輪作純滾動，其上與軌道的由速度瞬心法，得滾輪的角速度以輪心

O

為基點，由基點法，得速度瞬心

P

的加速度其中，由加速度矢量圖得滾輪上速度瞬心

P

的加速度方向沿

PO

指向輪心

O注意到，速度瞬心

P

的加速度并不為零。[例11]圖示機構(gòu)，曲柄

AO

以等角速度

0繞定軸

O

轉(zhuǎn)動，通過連桿

AB

帶動半徑為

r

的滾輪沿水平固定面作純滾動。已知

AO=r

、AB

=2r

，試求當(dāng)曲柄

AO

在圖示豎直位置時，滾輪的角速度和角加速度。解：1）速度分析連桿

AB

作瞬時平移，故有滾輪沿水平固定面作純滾動，故滾輪的角速度研究連桿

AB2）加速度分析研究連桿

AB

，以

A

點為基點，由基點法，B

點加速度其中，將加速度矢量方程兩邊向沿

AB

方向的x

軸投影，解得

B

點加速度所以，滾輪的角加速度[例12]圖示平面機構(gòu)，曲柄

CO

以等角速度

繞定軸

O

轉(zhuǎn)動，滑塊

A

在搖桿

CO

的滑槽內(nèi)滑動，滑塊

B

以等速

v=l

沿水平導(dǎo)軌滑動。已知連桿

AB

長為

l

；在圖示瞬時，CO

鉛直，AB

與

BO

成30°夾角。試求該瞬時連桿

AB

的角速度和角加速度。解：1）速度分析首先研究連桿

AB，取點

B

為基點，由基點法，點

A

的速度含有三個未知量，不可解其中，再選取連桿

AB

上的點

A

為動點，動系固連于曲柄

CO上根據(jù)點的速度合成定理其中，聯(lián)立兩速度矢量方程，有僅含兩個未知量，可