高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省蚌埠市A層高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第六次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選：A.2.已知等腰中，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，由正弦定理可得，可得，在上的投影為，所以在上的投影向量為，即在上的投影向量為.故選：A．3.已知直線，平面，，且，，，共面，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C.直線與內(nèi)的任意直線均異面 D.交于一點(diǎn)或互相平行【答案】D【解析】令共面，則，若，，，則，又，，所以，則；若，則，而，所以，所以交于一點(diǎn)，交于一點(diǎn)或互相平行.故選：D4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，所以，則，，，，對于A，若，代入得，故A錯(cuò)誤；對于B，若，代入得，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對于D，若，代入得，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，所以.故選：D.6.為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，某校成立“不忘初心”學(xué)習(xí)興趣小組.今欲測量學(xué)校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度，如圖所示，可以選取與該塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得“望淮塔”塔頂?shù)难鼋菫?0°，則“望淮塔”高（）A. B. C. D.60m【答案】C【解析】在中，，，可得，由正弦定理得：，則，可得：，再在直角中，，故選：C.7.下列命題不正確的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，在單位圓中，點(diǎn)，設(shè)，則，過點(diǎn)作直線垂直于軸，交所在直線于點(diǎn)，由，得，設(shè)扇形的面積為，由圖知，即，即，對于AC，由，得，AC正確；對于B，，得，則，B錯(cuò)誤；對于D，由，則，則，D正確.故選：B8.如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)，設(shè)，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】延長交于，連接，連接交于點(diǎn)，則由，，得是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是的重心，，即.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得部分分.9.設(shè)復(fù)數(shù)為，則下列命題正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，，又，所以，故A正確；對于B，，又，故B錯(cuò)誤；對于C，，又，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，又，故D正確.故選：AD.10.下列說法正確的是（）A.一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面B.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C.若平面內(nèi)任意直線和平面平行，則平面平面D.若直線平行于平面，則直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)：一個(gè)棱柱最少有5個(gè)面，且此棱柱為三棱柱，故A正確；對于B選項(xiàng)：直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是由兩個(gè)同底的兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)：若平面內(nèi)任意直線和平面平行，則平面內(nèi)任選兩條相交直線與平面平行，由面面平行判定定理可知平面，故C正確；對于D選項(xiàng)：若直線平行于平面，則在平面內(nèi)存在直線，使得，則在平面內(nèi)垂直于直線的直線都垂直于直線，故D正確.故選：ACD.11.已知向量，，其中，則下列說法正確的是（）A.若，則的值為 B.若，則與的夾角為銳角C.若，則的值為 D.若，則【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對于B，若與的夾角為銳角，則，且與不共線，所以，解得且，所以當(dāng)且時(shí)與的夾角為銳角，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，解得，故C正確；對于D，由題意得，.因?yàn)椋?，解得，?dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則與向量方向相同的單位向量為_____.【答案】【解析】依題意，，所以與向量方向相同的單位向量為.故答案為：13.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則______．【答案】38【解析】將代入方程得，所以，所以.故答案為：3814.如圖，多面體是用平面截底面邊長，側(cè)棱長的長方體剩下的一部分幾何體，其中，點(diǎn)E在線段上，平面交線段于點(diǎn)，則截面四邊形的周長的最小值為__________.【答案】10【解析】由題意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，則周長，沿將右面和后面相鄰兩面展開，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，所以截面四邊形的周長的最小值為10.故答案為：10.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為，在第二象限．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)榈臋M坐標(biāo)為，且圓為單位圓，所以的縱坐標(biāo)為，由三角函數(shù)定義，（2）16.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，的值域．解：（1）函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，記的周期為，則，又，，.函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則，.函數(shù)的解析式為；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，由（1）得，，函數(shù)的解析式為.當(dāng)時(shí)，，則.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?17.如圖，，是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交線段于，交線段于，，.（1）求證：為定值，并求這個(gè)值；（2）若，，且，，求，的值.解：（1）由，得，由是線段的中點(diǎn)，得，顯然，由，，得，，因此，而M，E，N三點(diǎn)共線，則，即所以為定值，此定值為6.（2）由，，得，由（1）知，，，因此，又，則，，由（1）知，解得，，所以，.18.在四棱錐中，底面為平行四邊形，為底面中心，，分別為，的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，且.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）若，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若平面平面，求實(shí)數(shù).解：（1）連接，則為中點(diǎn)，又點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由（1）得，異面直線與所成角即為與夾角，在等腰直角三角形中，設(shè)，則，，，在中，由余弦定理得，，所以異面直線與所成角的余弦值為.（3）連接，如圖所示，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，則，即，所以.19.我們在初中學(xué)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，知道了若己知三角形的三邊，這個(gè)三角形就被唯一的確定了；到了高中，進(jìn)一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三邊求得三角形的面積：記的面積為S，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則，這里.據(jù)說這個(gè)問題最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的，最早出現(xiàn)在海倫著于公元1世紀(jì)的《測地術(shù)》中.在13世紀(jì)，我國南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》中推出了等價(jià)的結(jié)論.根據(jù)以上信息，回答下列問題.（1）已知的面積為，且，求此三角形中大于60°的角所對的邊長；（2）三角形的面積有多種計(jì)算方法，利用面積進(jìn)行“算二次”是獲得等量關(guān)系的常見手段.若記的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，證明：；（3）試將三角形的面積公式推廣到四邊形，如圖，已知凸四邊形的四邊長分別，記.證明：此四邊形的面積，并求出何時(shí)取得最大值.解：（1）已知，設(shè)，，，，半周長