1．解：(1)∵在等腰梯形ABCD′中，∠ABC＝120°，∴∠BAD′＝120°，∠AD′E＝∠BCD′＝60°，又E為D′C的中點(diǎn)，∴△AED′，△BEC及△AEB均為正三角形，而AB＝BC＝2，∴CD′＝4，∵F為AE的中點(diǎn)，∴B，F(xiàn)，D′三點(diǎn)共線，BD′⊥AE，又G為BC的中點(diǎn)，∴BF∥EG，連接CF交EG于M，連HM，易得M為CF的中點(diǎn)，∴HM為△CDF的中位線，∴DF∥HM.又∵HM?平面EGH，DF?平面EGH，故DF∥平面EGH.(2)∵平面DAE⊥平面ABC，AE為交線，DF⊥AE，DF?平面DAE.∴DF⊥平面ABC.以FB，F(xiàn)A，F(xiàn)D所在射線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有B0，3，0，C?2，3，0，D0，所以EH＝0，32設(shè)平面HGE的法向量為m＝(x，y，z)，則有32y+32z＝0易知平面DAE的法向量為n＝(0，1，0)，設(shè)平面DAE與平面HGE的夾角為θ，則有cosθ＝m·故平面DAE與平面HGE夾角的余弦值為0.2．解：(1)連接C1A，由于四邊形ACC1A1為菱形，故C1A⊥CA1，由于側(cè)面ACC1A1與平面A1BC垂直，且兩平面的交線是CA1，AC1?側(cè)面ACC1A1，故AC1⊥平面A1BC，BC?平面A1BC，故AC1又BC⊥AC，AC1∩AC＝A，AC1，AC?平面ACC1A1，故BC⊥平面ACC1A1.(2)由(1)知BC⊥平面ACC1A1，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACC1A1，且交線為AC，由于AA1＝A1C＝AC＝4，故△AA1C為等邊三角形，取AC中點(diǎn)為O，則A1O⊥AC，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面ABC，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中y軸與BC平行，則A(2，0，0)，C(－2，0，0)，A10，0，23，B所以AB＝(－4，2，0)，AA1＝?2，設(shè)平面ABB1A1的法向量為m＝(x，y，z)，則AB·m＝?4x+2y＝0，AA1設(shè)CD＝λCC1＝?2λ，0，A1D＝故cos〈m，A1化簡得(2λ－1)2＝0，解得λ＝12，故故存在D，且D在CC1的中點(diǎn)．3．解：(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AO＝OC，AC⊥BD，又因?yàn)锳E＝CE，所以AC⊥OE，因?yàn)锽D，OE?平面DBEF，且BD∩OE＝O，所以AC⊥平面DBEF，又因?yàn)锳C?平面ABCD，所以平面DBEF⊥平面ABCD.(2)由BE＝2，OB＝1，∠EBD＝60°，在△OBE中，可得OE＝OB所以BE2＝OB2＋OE2，故OE⊥BD，又由(1)知平面DBEF⊥平面ABCD，平面DBEF∩平面ABCD＝BD，且OE?平面DBEF，所以O(shè)E⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，設(shè)OA＝a，則A(a，0，0)，C(－a，0，0)，E0，0，3可得EA＝a，0，?3，EC＝設(shè)平面AEF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則m取z1＝3，可得x1＝3a，y1＝1，故m＝3設(shè)平面CEF的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則n取z2＝3，可得x2＝－3a，y1＝1，故n＝?因?yàn)槠矫鍭EF與平面CEF垂直，故m·n＝－9a解得a＝32，此時(shí)AB＝a故存在邊長為132的菱形ABCD，使平面AEF與平面CEF4．解：(1)若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ACD，∴AB⊥平面ACD，∵AC?平面ACD，∴AB⊥AC，∴AB2＋AC2＝BC2，即2＋m2＝4，∴m＝2；若AD⊥BC，∵AD⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，∴AD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴AD⊥AC，∴AD2＋AC2＝CD2，即4＋m2＝2，∴m2＝－2，無解，故AD⊥BC不成立．綜上，不存在m，使得AB⊥CD，AD⊥BC同時(shí)成立．(2)因?yàn)椤鰾CD的面積為定值，要使四面體A-BCD的體積最大，所以只需讓三棱錐A-BCD的高最大即可，此時(shí)平面ADB⊥平面BCD，過點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)易得AO⊥平面BCD，在平面BCD中作垂直于BD的直線，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以在平面BCD中垂直于BD的直線、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A0，0，233，顯然平面BCD的法向量為OA＝0，設(shè)平