課下鞏固精練卷(四十五)數(shù)列的概念【基礎(chǔ)鞏固題】1．?dāng)?shù)列{an}的前幾項(xiàng)為12，A．a(chǎn)n＝5n?42B．a(chǎn)n＝C．a(chǎn)n＝6n?52D．a(chǎn)n＝解析：選A.數(shù)列為12，62，112，162，212．(2024·青島質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，則a10＝()A．36B．15C．46D．66解析：選C.由題意得an＋1－an＝n，則a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝9＋…＋2＋1＋1＝1+9×3．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an等于()A．2n－1 B．n2C．n+12n2解析：選D.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Tn4．九連環(huán)是一種流傳于我國(guó)民間的傳統(tǒng)智力玩具，有多種玩法．在某種玩法中：已知解下1個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)1次，解下2個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)2次，記an(3≤n≤9,n∈N*)為解下n個(gè)圓環(huán)需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)，且an＝an－2＋2n-1，則解下8個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)為()A．30 B．90C．170 D．341解析：選C.由題意，a8＝a6＋27，a6＝a4＋25，a4＝a2＋23＝2＋23，所以a8＝2＋23＋25＋27＝170.5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an?33an+1(nA．0 B．－3C．3 D．3解析：選B.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an?33an+1(n∈N＋)，所以a2＝a1?33a1+1＝?3，a3＝a2?33a2+16．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝nn2+90，則數(shù)列{A．310 B．19C．119 D．解析：選C.令f(x)＝x＋90x(x運(yùn)用基本不等式得f(x)≥610，當(dāng)且僅當(dāng)x＝310時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)閍n＝1n+90n≤16所以當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)，an取得最大值，為1197．(多選)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)·67A．?dāng)?shù)列{an}的最小項(xiàng)是a1B．?dāng)?shù)列{an}的最大項(xiàng)是a4C．?dāng)?shù)列{an}的最大項(xiàng)是a5D．當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{an}遞減解析：選BCD.假設(shè)第n項(xiàng)為{an}的最大項(xiàng)，則a即n+2所以n≤5，n≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項(xiàng)，且a4＝a5＝68．(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝anA．a(chǎn)2025>a2024B．4an+12－1＝4anC．1anD．a(chǎn)n≥1解析：選ABD.因?yàn)閍n＋1－an＝an+an2+12?an＝an2+1?an2>0，即an＋1>an，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，可得a2025>a2024，an≥a1＝1，故A、D正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閍n＋1＝an+an2+12，則2an9．(人教A版選擇性必修二P6)圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形．在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為______．解析：在圖(1)(2)(3)(4)中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次為1，3，9，27，即所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號(hào)減1.因此，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝3n-1.答案：an＝3n-110．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________，數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng)．解析：∵Sn＝n2－10n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－9也適合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線n＝114，但n∈N*∴當(dāng)n＝3時(shí)，f(n)取最小值，∴數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)．答案：2n－113【綜合應(yīng)用題】11．(多選)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝n?1245n，bn＝an＋1A．?dāng)?shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1B．?dāng)?shù)列{an}的最大項(xiàng)為a5C．?dāng)?shù)列{bn+1D．?dāng)?shù)列{bn+1解析：選BCD.an+1an＝n+124當(dāng)n≥5時(shí)，an+1an<1，則{又a4＝72×454，a5＝92×455＝185×454，bn+1當(dāng)n≤4時(shí)，{bn+1bn}各項(xiàng)為負(fù)且單調(diào)遞減，當(dāng)n≥5時(shí)，{bn+1bn}各項(xiàng)為正且單調(diào)遞減，所以數(shù)列{bn+1b12．(多選)(2024·山東泰安模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝92n?7(n∈N*)，前n項(xiàng)和為SnA．?dāng)?shù)列{an}有最大項(xiàng)a4B．使an∈Z的項(xiàng)共有4項(xiàng)C．滿足anan＋1an＋2<0的n值共有2個(gè)D．使Sn取得最小值的n值為4解析：選AC.對(duì)于A，因?yàn)閍n＝92n?7(n∈N*)，所以當(dāng)n≥4時(shí)，{an}各項(xiàng)為正且單調(diào)遞減；當(dāng)n≤3時(shí)，{an}各項(xiàng)為負(fù)且單調(diào)遞減，所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a4對(duì)于B，由an∈Z，則92n?7∈Z，又n∈N*，所以n＝2或n＝3或n＝4或n＝5或n＝8，所以使an∈Z對(duì)于C，要使anan＋1an＋2<0，又an≠0，所以an、an＋1、an＋2中有1個(gè)為負(fù)值或3個(gè)為負(fù)值，所以n＝1或n＝3，故滿足anan＋1an＋2<0的n的值共有2個(gè)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閚≤3時(shí)an<0，n≥4時(shí)，an>0，所以當(dāng)n＝3時(shí)，Sn取得最小值，故D不正確．13．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，an＋1＝2Sn(1)求a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn∴a2＝2S1(2)方法一由an＋1＝2Sn得Sn＋1－Sn＝2Sn故Sn＋1＝Sn+1∵an>0，∴Sn>0，∴Sn+1＝S則Sn?Sn?1由累加法可得Sn＝1＋(n－1)＝n∴Sn＝n2(n≥2)，又S1＝a1＝1，滿足上式，∴Sn＝n2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1適合上式，∴an＝2n－1.方法二由an＋1＝2Sn得(an＋1－1)2＝4Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，(an－1)2＝4Sn－1，∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an.∴an+12?an2－2a即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)．∵a2－a1＝2，∴{an}為等差數(shù)列，且公差為2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.14．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝3n－λan2，若數(shù)列{bn解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴an+1∴an∴an＝n(n∈N*)．(2)∵bn＝3n－λn2，∴bn＋1－bn＝3n+1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<2·3令cn＝2·3則cn+1∴{cn}為遞增數(shù)列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范圍為(－∞，2)．【創(chuàng)新拓展題】15．(多選)“斐波那契數(shù)列”{an}滿足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，記其前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A．S7＝33B．S2024＋S2023－S2022－S2021＝a2026C．S2024＋1＝a2026D．a(chǎn)12+a2解析：選ABC.A項(xiàng)，S7＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，A正確；B項(xiàng)，S2024＋S2023－S2022－S2021＝a2023＋a2024＋a2022＋a2023＝a2025＋a2024＝a2026，B正確；C項(xiàng)，因?yàn)閍2026＝a2024＋a2025＝a2024＋a2023＋a2024＝a2024＋a2023＋a2022＋a2023＝…＝a2024＋a2023＋a2022＋…＋a1＋1＝S2024＋1，所以S2024＋1＝a2026，C正確；D項(xiàng)，a12＝a2a1，a22＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，a32＝a3a4?16．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a13+a