課下鞏固精練卷(八十六)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布【基礎(chǔ)鞏固題】1．設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X＝0)＝49，則DYA．23B．C．49D．解析：選D.因?yàn)殡S機(jī)變量X～B(2，p)，所以P(X＝0)＝C20(1－p)2＝49，解得p＝13或p＝53(舍去)，所以Y～B4，2．(2024·長沙調(diào)研)已知隨機(jī)變量X，Y分別滿足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且EX＝EY，若P(Y≥3)＝12，則pA．14B．C．38D．解析：選C.由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝12得μ＝3，所以EX＝EY＝3，又X～B(8，p)，所以EX＝8p＝3，所以p＝33．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行檢測，記取到的正品數(shù)為ξ，則均值Eξ為()A．45B．C．1D．6解析：選D.ξ的所有可能取值為0，1，2，則P(ξ＝0)＝C22C52＝1P(ξ＝2)＝C3則Eξ＝0×1104．(2024·湖南長沙三模)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且P(X<2－k)＝P(X>2＋k)＝0.3，k>0，則P(2<X≤2＋k)()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解析：選A.根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，由P(X<2－k)＝P(X>2＋k)，得μ＝2?k+2+k2因?yàn)镻(X<2－k)＝P(X>2＋k)＝0.3，k>0，所以P(2<X≤2＋k)＝0.5－0.3＝0.2.5．32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋手進(jìn)行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲勝．已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為13，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為1A．24B．25C．26D．27解析：選A.設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X，選擇與乙進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為Y；設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為n，則選擇與乙進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32－n.X所有可能的取值為0，1，2，…，n，則X～Bn，13，EXY所有可能的取值為0，1，2，…，32－n，則Y～B32?n，14，EY所以獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的均值E(X＋Y)＝EX＋EY＝n3+32?n4＝6．(2024·赤峰模擬)某商場推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月(30天)下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有()A．1張B．2張C．3張D．4張解析：選B.設(shè)中獎(jiǎng)的概率為p，30天中獎(jiǎng)的天數(shù)為X，則X～B(30，p)．若盒子中的有獎(jiǎng)券有1張，則中獎(jiǎng)的概率p＝C91C102＝若盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，則中獎(jiǎng)的概率p＝C81C21+若盒子中的有獎(jiǎng)券有3張，則中獎(jiǎng)的概率p＝C71C31+若盒子中的有獎(jiǎng)券有4張，則中獎(jiǎng)的概率p＝C61C41+根據(jù)題意盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，更有可能30天中獎(jiǎng)11天．7．(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有()A．q＝0.1B．EX＝2，DX＝1.4C．EX＝2，DX＝1.8D．EY＝5，DY＝7.2解析：選ACD.因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因?yàn)閅＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2，故D正確．8．(多選)(2024·成都段測)袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號分別為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號分別為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是()A．取出的最大號碼X服從超幾何分布B．取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布C．取出2個(gè)白球的概率為1D．若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為1解析：選BD.對于A，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故A錯(cuò)誤；對于B，取出的黑球個(gè)數(shù)Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故B正確；對于C，取出2個(gè)白球的概率為C6對于D，若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則取出四個(gè)黑球的總得分最大，總得分最大的概率為C69．(2024·唐山模擬)近年來，理財(cái)成為了一種趨勢，老黃在今年買進(jìn)某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品．設(shè)該產(chǎn)品每個(gè)季度的收益率為X，且各個(gè)季度的收益之間互不影響，根據(jù)該產(chǎn)品的歷史記錄，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黃準(zhǔn)備在持有該理財(cái)產(chǎn)品4個(gè)季度之后賣出．則至少有3個(gè)季度的收益為正值的概率為________．解析：因?yàn)镻(X>0)＝2P(X≤0)，所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1，所以P(X≤0)＝13，P(X>0)＝2則至少有3個(gè)季度的收益為正值的概率為C43×答案：1610．某公司有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品有兩個(gè)指標(biāo)．從兩條產(chǎn)品線上各隨機(jī)抽取一些產(chǎn)品，指標(biāo)數(shù)據(jù)如下表：甲生產(chǎn)線產(chǎn)品序號12345678910A指標(biāo)0.980.961.071.021.000.930.920.961.111.02B指標(biāo)2.011.971.962.031.971.981.951.992.072.02乙生產(chǎn)線產(chǎn)品序號12345678A指標(biāo)1.020.970.950.941.130.980.971.01B指標(biāo)2.012.032.151.932.012.022.192.04假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且兩條生產(chǎn)線相互獨(dú)立．(1)從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計(jì)其A指標(biāo)大于1且B指標(biāo)大于2的概率；(2)從甲、乙生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，設(shè)X表示B指標(biāo)大于2的產(chǎn)品數(shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；(3)已知產(chǎn)品A、B指標(biāo)之和與3的差的絕對值越小則產(chǎn)品越好，兩條生產(chǎn)線各生產(chǎn)一件產(chǎn)品，甲、乙哪條生產(chǎn)線產(chǎn)品更好的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)解：(1)記事件C為“從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其A指標(biāo)大于1且B指標(biāo)大于2”，由表知，甲生產(chǎn)線抽取的10件產(chǎn)品中，A指標(biāo)大于1且B指標(biāo)大于2的產(chǎn)品為4號、9號、10號，共3個(gè)，因此P(C)可估計(jì)為310(2)記事件D1為“從甲生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其B指標(biāo)大于2”，記事件D2為“從乙生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，其B指標(biāo)大于2”，由表知，甲生產(chǎn)線抽取的10件產(chǎn)品中，B指標(biāo)大于2的產(chǎn)品為1號、4號、9號、10號，共4個(gè)，因此P(D1)可估計(jì)為410乙生產(chǎn)線抽取的8件產(chǎn)品中，B指標(biāo)大于2的產(chǎn)品為1號、2號、3號、5號、6號、7號、8號，共7個(gè)，因此P(D2)可估計(jì)為78因此X的所有可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝PD1PD2＝1?2P(X＝1)＝P(D1)PD2＋PD1P(D2)＝25P(X＝2)＝P(D1)P(D2)＝25所以X的期望為EX＝0×340(3)甲生產(chǎn)線產(chǎn)品A、B指標(biāo)之和與3的差的絕對值依次為：0.01，0.07，0.03，0.05，0.03，0.09，0.13，0.05，0.18，0.04，其平均值為0.068；乙生產(chǎn)線產(chǎn)品A、B指標(biāo)之和與3的差的絕對值依次為：0.03，0，0.1，0.13，0.14，0，0.16，0.05，其平均值為0.07625，顯然0.068<0.07625，所以甲生產(chǎn)線產(chǎn)品更好的概率估計(jì)值最大．【綜合應(yīng)用題】11．(多選)(2024·武漢調(diào)研)已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.記X為奇數(shù)的概率為a，X為偶數(shù)的概率為b，則下列說法中正確的有()A．a(chǎn)＋b＝1B．當(dāng)p＝12時(shí)，a＝C．當(dāng)0<p<12時(shí)，a隨著nD．當(dāng)12<p<1時(shí)，a隨著n解析：選ABC.對于A，由概率的基本性質(zhì)可知a＋b＝1，故A正確；對于B，當(dāng)p＝12時(shí)，離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn則P(X＝k)＝Cnk12k1?1所以a＝12n(Cn1＋b＝12n(Cn0＋所以a＝b，故B正確；對于C，D，a＝Cn1p1(1－p)n-1＋Cn3p3(1－p)n-3＋當(dāng)0<p<12時(shí)，a＝1?1?2pn2為正項(xiàng)，且當(dāng)12<p<1時(shí)，(1－2p)n12．(多選)(2024·鄭州調(diào)研)下列命題中正確的是()A．已知隨機(jī)變量X～B6，13，則D(3XB．已知隨機(jī)變量Y～N(μ，σ2)，且P(Y≤4)＝P(Y≥0)，則μ＝2C．已知一組數(shù)據(jù)：7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是8D．抽取高三年級50名男生、50名女生的二模數(shù)學(xué)成績，男生平均分為123分，方差為60；女生平均分為128分，方差為40，則抽取的100名學(xué)生二模數(shù)學(xué)成績的方差為80解析：選AB.對于A，隨機(jī)變量X～B6，13，則DX＝6×13×23對于B，隨機(jī)變量Y～N(μ，σ2)，且P(Y≤4)＝P(Y≥0)，則根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知μ＝4+02對于C，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為5，6，7，7，8，8，8，9，因?yàn)?×30%＝2.4，所以第30百分位數(shù)是7，故C錯(cuò)誤．對于D，設(shè)50名男生的二模數(shù)學(xué)成績?yōu)閤1，x2，…，x50，50名女生的二模數(shù)學(xué)成績?yōu)閥1，y2，…，y50，則150i＝150xi2?1232＝60，又這100名學(xué)生的二模數(shù)學(xué)成績平均分x＝1100所以這100名學(xué)生二模數(shù)學(xué)成績的方差s2＝1100i＝150xi2+i＝150yi213．(2024·銀川模擬)已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，則1x+9a?x(0<解析：隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4，由0<x<4，可得0<4－x<4，則1x+9a?x＝1x+9當(dāng)且僅當(dāng)4?xx＝9x所以1x+9a?x(0<答案：414．對某地區(qū)過去20年的年降水量(單位：毫米)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：887 939 643 996 715 8381082923 901 1182 1035 863772 943 10351022 855 1118768 809將年降水量處于799毫米及以下、800至999毫米、1000毫米及以上分別指定為降水量偏少、適中、偏多三個(gè)等級．(1)將年降水量處于各等級的頻率作為概率，分別計(jì)算該地區(qū)年降水量偏少、適中、偏多的概率；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，種植甲、乙、丙三種農(nóng)作物在年降水量偏少、適中、偏多的情況下可產(chǎn)出的年利潤(單位：千元/畝)如下表所示．你認(rèn)為這三種作物中，哪一種最適合在該地區(qū)推廣種植？請說明理由．年降水量作物種類偏少適中偏多甲8128乙12107丙71012解：(1)將20年的年降水量按照降水量等級分類，可知：降水量偏少的年份有4年，概率可估計(jì)為420降水量適中的年份有10年，概率可估計(jì)為1020降水量偏多的年份有6年，概率可估計(jì)為620于是該地區(qū)年降水量偏少、適中、偏多的概率分別為0.2，0.5，0.3.(2)設(shè)種植農(nóng)作物甲、乙、丙一年后每畝地獲得利潤分別是隨機(jī)變量X，Y，Z，X的分布列為：X812P0.50.5故種植甲則每畝地獲利的期望EX＝8×0.5＋12×0.5＝10千元，Y的分布列為：Y12107P0.20.50.3故種植乙則每畝地獲利的期望EY＝12×0.2＋10×0.5＋7×0.3＝9.5千元，Z的分布列為：Z71012P0.20.50.3故種植丙則每畝地獲利的期望EZ＝7×0.2＋10×0.5＋12×0.3＝10千元，所以EY<EX＝EZ，即種植甲、丙的獲利的期望值比乙更高，不考慮推廣乙，又DX＝0.5×(8－10)2＋0.5×(12－10)2＝4，DZ＝0.2×(7－10)2＋0.5×(10－10)2＋0.3×(12－10)2＝3，DX>DZ，故種植丙時(shí)獲利的穩(wěn)定性更好，因此，作物丙最適合在該地區(qū)推廣種植．15．某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎(jiǎng)競賽，競賽類獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在[70，80)內(nèi)的學(xué)生獲得三等獎(jiǎng)，得分在[80，90)內(nèi)的學(xué)生獲得二等獎(jiǎng)，得分在[90，100]內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，該市隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示．若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：(1)若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù))；(2)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值μ＝35×0.006×10＋45×0.012×10＋55×0.018×