課下鞏固精練卷(八十二)二項式定理【基礎鞏固題】1．(人教A版選擇性必修三P34)(x＋1)n的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝()A．7B．6C．5D．4解析：選B.由二項展開式的通項公式得Cnn?2＝15，即Cn2＝15，所以n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5，因為n∈N2．(2024·湖南衡陽三模)8?7xA．2項B．3項C．4項D．5項解析：選D.因為8?7x9展開式的通項公式為Tr＋1＝C9r89-r?7r3．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4等于()A．49B．56C．59D．64解析：選C.令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.4．2x+1x5＋x?15A．30B．40C．70D．80解析：選C.2x+1x5展開式的通項Tk＋1＝C5k(2x)5-k1xk＝C5k·25-k·x5-2k(k＝0，1，…，5)，令5－2k＝1，即k＝2，此時T3＝Cx?15展開式的通項Tr＋1＝C5rx5-r(－1)r＝C5r?1rx5?r2(r＝0，1，…，5)，令5?r所以展開式中x的系數(shù)為80－10＝70.5．(2024·河北衡水中學模擬)x3+1x?1A．5B．－5C．15D．－15解析：選C.x3+1x?15可看作5個從5個式子中取2個式子提供x3，余下3個式子提供1x，則可得到C52x3從5個式子中取1個式子提供x3，另4個式子提供－1，則可得到C51x31·所以x3+1x?16．在x?12A．－152B．C．－52 D．解析：選A.原式＝xx?12x6＋3x?12x6①，而x?當6－2k＝－1時，k＝72?Z故①式中的前一項不會出現(xiàn)常數(shù)項；當6－2k＝0，即k＝3時，可得①式中的后一項滿足題意，此時原式常數(shù)項為3×?17．(多選)已知41xA．n＝9B．展開式中所有項的系數(shù)和為1024C．二項式系數(shù)最大的項為中間項D．含x3的項是第7項解析：選BCD.41x+3x2n的展開式的第三項為T3＝Cn241xn-23x展開式中共有11項，則二項式系數(shù)最大的項為中間項，故C正確；通項公式為Tk＋1＝C10k41x10-k3x2k＝C108．(多選)我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的．如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，….以下關于楊輝三角的猜想中正確的是()A．由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等”猜想CnmB．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和”猜想Cn+1r＝C．第9條斜線上各數(shù)之和為55D．在第n(n≥5)條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減小解析：選ABD.根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合楊輝三角即可得Cnm＝Cnn?第1條斜線上的數(shù)為C00，第2條斜線上的數(shù)為C10，第3條斜線上的數(shù)為C20，C11，第4條斜線上的數(shù)為由此，歸納得到，第2n(n∈N*)條斜線上的數(shù)依次為C2第(2n＋1)(n∈N)條斜線上的數(shù)依次為C2所以第9條斜線上各數(shù)為C80，C71，C62，在第n(n≥5)條斜線上，各數(shù)從左往右先增大后減小，故D正確．9．1－90C解析：由題意得：1－90C101+902C102?903C103+…+?1r答案：110．(人教A版選擇性必修三P38)在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n+2的展開式中，含x2項的系數(shù)為________．解析：因為(1＋x)n展開式的第r＋1為Tr＋1＝Cnrx所以(1＋x)3中含x2項的系數(shù)是C32，(1＋x)4中含x2項的系數(shù)是C42，…，(1＋x)n+2中含x所以(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n+2的展開式中含x2項的系數(shù)為C32＋C42＋…＋Cn+22＝(C33＋C32所以含x2項的系數(shù)是nn答案：n【綜合應用題】11．(2024·山東德州三模)若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，則()A．a(chǎn)0＝－1B．a(chǎn)0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝－312C．a(chǎn)1＋a2＋…＋a12＝－2D．a(chǎn)1解析：選D.由題意可知(2x－3)12＝[－1＋2(x－1)]12，故a0＝C120(－1)令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝312，B錯誤；令x＝2，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝(4－3)12＝1，故a1＋a2＋…＋a12＝1－a0＝1－1＝0，C錯誤；令x＝32，則2×32?312＝a0＋a112．(多選)(2024·保定模擬)如圖所示的三角數(shù)陣，其中第m行(從上到下)，第n列(從左到右)的數(shù)表示為amn，且am1＝1，當m≥n≥2時，有namn＝(m－n＋1)am(n－1)，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)43＝1B．a(chǎn)mn＝CC．a(chǎn)11a22＋a22a33＋a33a44＋…＋a(n－1)(n－1)ann<1(n≥2)D．a(chǎn)m1＋am2＋am3＋am4＋…＋amm＝1m(2m解析：選ACD.因為amnamn?1＝m?n+1n而amm＝1m，a(n－1)(n－1)ann＝1n?1n＝1n?1?1n，所以a11a22＋a22a33＋a33a44＋…＋a(am1＋am2＋am3＋am4＋…＋amm＝1m(Cm1＋Cm2＋…＋Cmm)＝1m(C13．寫出一個可以使得992025＋a被100整除的正整數(shù)a＝________．解析：由題意可知992025＋a＝(100－1)2025＋a，將(100－1)2025利用二項式定理展開得(100－1)2025＝C202501002025×(－1)0＋C202511002024×(－1)1＋…＋C20252024100顯然C202501002025×(－1)0＋C202511002024×(－1)1＋…＋C202520241001×(－1)2024能被100整除，所以只需C20252025100所以－1＋a＝100n(n∈Z)，得a＝100n＋1(n∈Z)，不妨取n＝0，得a＝1.答案：1(答案不唯一)14．在(3x－2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項；(3)系數(shù)最大的項．解：(1)由題意得二項式系數(shù)最大的項為第11項，即T11＝C2010(3x)10(－2y)10＝C2010·310·210x(2)設系數(shù)絕對值最大的項是第r＋1項，于是C化簡得3解得725≤r≤825，因為r∈N，所以r＝8，即T9＝C208(3)由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設第2r－1項的系數(shù)最大(r∈N*)，所以C化簡得10解得r＝5，即第9項系數(shù)最大，T9＝C208·312·28x12y【創(chuàng)新拓展題】15．(2023·上海卷)已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，當ak<0時，k的最大值為________．解析：xk的系數(shù)為ak＝C100k2023k＋C100k2023100-k且∴100－2k>0，即k<50，∴k的最大值為49.答案：4916．課本中，在形如(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an?1b+…Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn的展開式中，我們把Cnk(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數(shù)，類似地在(1＋x＋x2)n＝Dn0＋Dn1x＋Dn2x2＋…＋Dn2n?1x2n-1＋Dn2nx2解析：因為(1＋x＋x2)2024·(x－1)2024＝(D20240＋D20241x＋D20242x2＋…＋D2024kxk＋…＋D20244048?1x4048-1＋D20244048x4048)·(C20240其中x2024的系數(shù)為D20240C20