8．1直線的方程[課標(biāo)要求]1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)．【必備知識(shí)】1．直線的傾斜角(1)定義：平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸（正方向）按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l首次重合時(shí)所成的角，稱為直線l的傾斜角．．(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0°．(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．2．直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率．(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式①經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝y(tǒng)2②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，則向量P1P2＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量．若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k3．直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)y?不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式縱、橫截距xa+y不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面內(nèi)所有直線[提醒](1)求直線方程時(shí)，若不能判斷直線是否具有斜率，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論．(2)“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．【必記結(jié)論】1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論．”2．特殊位置的直線方程(1)與x軸重合的直線方程為y＝0；(2)與y軸重合的直線方程為x＝0；(3)過(guò)點(diǎn)(a，b)(b≠0)且平行與x軸的直線方程為y＝b；(4)過(guò)點(diǎn)(a，b)(a≠0)且平行與y軸的直線方程為x＝a.3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)只根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置．()(2)若直線的傾斜角為α，則斜率為tanα.()(3)直線的斜率越大，傾斜角就越大．()(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．若過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：選A.由題意得m?4?2?m＝1，解得m3．已知直線l的傾斜角為60°，且l在y軸上的截距為－1，則直線l的方程為()A．y＝－33x－1 B．y＝－33C．y＝3x－1 D．y＝3x＋1解析：選C.因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以直線l的斜率k＝tan60°＝3，又直線l在y軸上的截距為－1，所以直線l的方程為y＝3x－1.4．直線x－3y＋a＝0(a為常實(shí)數(shù))的傾斜角的大小是________．解析：設(shè)直線傾斜角為α，直線x－3y＋a＝0可化為y＝33x+33a，斜率為k＝33，則k＝tanα＝3答案：π5．過(guò)點(diǎn)(3，－2)且在x軸、y軸上截距相等的直線方程為_(kāi)________．解析：由題知，若在x軸、y軸上截距均為0，即直線過(guò)原點(diǎn)，又過(guò)點(diǎn)(3，－2)，則直線方程為y＝?若截距不為0，設(shè)在x軸、y軸上的截距為a，則直線方程為xa+ya＝1，又直線過(guò)點(diǎn)(3，－2)，則3a+?2答案：2x＋3y＝0或x＋y＝1題型一直線的傾斜角與斜率【例1】(1)直線2xcosα－y－3＝0α∈πA．π6，π3C．π4，π2解析：選B.直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因?yàn)棣痢师?，π3，所以12≤cosα≤32，因此設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈1，又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B0，3為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線解析：設(shè)直線PA與PB的傾斜角分別為α，β，直線PA的斜率是kPA＝1，直線PB的斜率是kPB＝－3，當(dāng)直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時(shí)，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為1，它的傾斜角由90°增至β，斜率的取值范圍是?∞答案：?∞[變式1]若本例(2)中P(1，0)改為P(－1，0)，其他條件不變，求直線l的斜率的取值范圍．解：如圖，∵kPA＝1?02??1＝13[變式2]若本例(2)中的B0，3改為B(2，－1)，其他條件不變，求直線解：如圖，∵kPA＝1?02?1＝1，kPB＝?1?02?1＝－1，∴直線思維升華(1)斜率的兩種求法①定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanα求斜率．②公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝y(tǒng)2?y1x2?(2)斜率取值范圍的兩種求法①數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定．②函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)已知直線l的一個(gè)方向向量為p＝(sinπ3，cosπ3)，則直線lA．π6B．π3C．2π解析：選A.由題意可得，直線l的斜率k＝cosπ3sinπ3＝33，又傾斜角的范圍是[0，π)，所以k＝33(2)(2024·廣州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線的斜率為23，則邊AC所在直線斜率的可能值為_(kāi)_______．解析：設(shè)直線AB的傾斜角為α，則kAB＝tanα＝23.設(shè)直線AC的傾斜角為θ，在等邊三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以當(dāng)θ＝α＋60°時(shí)，kAC＝tanθ＝tan(α＋60°)＝tanα當(dāng)θ＝α－60°時(shí)，kAC＝tanθ＝tan(α－60°)＝tanα綜上所述，kAC＝－335或kAC＝答案：－335題型二直線的方程【例2】(人教A版選擇性必修一P67)求滿足下列條件的直線的方程．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，2)，且與直線4x＋y－2＝0平行；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，－3)，且平行于過(guò)M(1，2)和N(－1，5)兩點(diǎn)的直線；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，0)，且與直線2x＋y－5＝0垂直．解：(1)與直線4x＋y－2＝0平行的直線斜率為－4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，2)，則直線為y＝－4(x－3)＋2＝－4x＋14.(2)過(guò)M(1，2)和N(－1，5)兩點(diǎn)的直線斜率為5?2?1?1則與MN平行且過(guò)點(diǎn)C(2，－3)的直線方程為y＝?32(x－2)－3＝－3(3)直線2x＋y－5＝0的斜率為－2，與之垂直的直線斜率為12則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，0)，且與直線2x＋y－5＝0垂直的直線方程為y＝12(x－3)＝1思維升華求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定直線方程的形式，直接寫(xiě)出直線方程．(2)待定系數(shù)法：第一步：設(shè)所求直線方程的某種形式；第二步：由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；第三步：解方程(組)求出參數(shù)；第四步：把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)過(guò)點(diǎn)P(1，4)在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條解析：選C.當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，將P(1，4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程為y＝4x；當(dāng)截距不為0時(shí)，①若截距相等，設(shè)方程為xa將P(1，4)代入，即1a+4故方程為x＋y＝5.②若截距互為相反數(shù)，設(shè)直線方程為xa?ya＝1，將P(1，4)代入，即故方程為x－y＋3＝0.一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條．(2)在△ABC中，若A(2，3)，B(－2，0)，C(2，0)，則∠BAC的角平分線所在直線l的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0D．3x－y－1＝0解析：選B.如圖所示，設(shè)∠BAC的角平分線所在直線l與橫軸的交點(diǎn)為D(a，0)，由角平分線的性質(zhì)可知ABAC＝BDDC?2+22所以∠BAC的角平分線所在直線l的方程是y?30?3＝x?212(3)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，則中位線MN所在直線的方程為_(kāi)_______．解析：由題知M(2，4)，N(3，2)，故中位線MN所在直線的方程為y?42?4＝x?23?2，整理得2答案：2x＋y－8＝0題型三直線方程的綜合應(yīng)用【例3】已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．解：法一設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則A2?1k，0，B(0，1－2k)，S△AOB＝12＝124+當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－1k，即k＝－1故直線l的方程為y－1＝－12(x－2)，即x＋2y法二設(shè)直線l：xa+yb＝1，且因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，所以2a則1＝2a+1b≥2故S△AOB的最小值為12×當(dāng)且僅當(dāng)2a此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l的方程為x4+y2＝1，即[變式1]在本例條件下，當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．解：由本例法二知，2a+1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a+1當(dāng)且僅當(dāng)a＝2＋2，所以當(dāng)OA+[變式2]本例中，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．解：法一由本例法一知A2?1k，0，B(0，1－2k所以|MA|·|MB|＝1k2當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－1k，即k此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.法二由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a>0，b>0，2a所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.思維升華與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略策略1：先設(shè)出直線方程確定目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求最值；策略2：注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)(2024·貴州聯(lián)考)若直線l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0經(jīng)過(guò)第四象限，則a的取值范圍為()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，0)∪32，+∞解析：選C.若a＝0，則l的方程為x＝－32若a≠0，將l的方程轉(zhuǎn)化為y＝－a?2a因?yàn)閘經(jīng)過(guò)第四象限，所以－a?2a<0或解得a<0或a>32綜上，a的取值范圍為(－∞，0)∪3(2)已知直線kx－y＋2k－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均為正數(shù)，則2m＋2n的最小值為A．4B．4＋42C．8D．4－42解析：選C.由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.∴直線kx－y＋2k－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)(－2，－2)，即A(－2，－2)，∵點(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，∴2m+2n＝21m+1n當(dāng)且僅當(dāng)nm＝mn，即m＝∴2m[課下鞏固精練卷(六十三)]直線的方程_______________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．在x軸與y軸上截距分別為－2，2的直線的傾斜角為()A．45°B．135°C．90°D．180°解析：選A.由題意知直線過(guò)點(diǎn)(－2，0)，(0，2)，設(shè)直線斜率為k，傾斜角為α，則k＝tanα＝2?00??2＝1，故傾斜角2．若直線l的一個(gè)方向向量為?1，3，則它的傾斜角為A．30° B．60°C．120°D．150°解析：選C.依題意，?1，3是直線l的一個(gè)方向向量，所以直線l的斜率k＝－3，所以直線3．如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A．k1<k3<k2B．k3<k1<k2C．k1<k2<k3D．k3<k2<k1解析：選A.設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0，故k1<k3<k2.4．直線l的傾斜角是直線3x－y－1＝0的傾斜角的2倍，且過(guò)點(diǎn)3，?1，則直線l的方程為A．3x－y－4＝0B．23x－y－7＝0C．3x＋y－2＝0D．3x＋y－4＝0解析：選C.直線3x－y－1＝0可化為y＝3x－1，其斜率為3，∴其傾斜角為60°，∴直線l的傾斜角為120°，∴kl＝tan120°＝－3，∴直線l的方程為y＋1＝－3x?3，即3x＋5．(2024·南通聯(lián)考)已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過(guò)點(diǎn)A(4，3)，則過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程為()A．4x－3y＋1＝0B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0D．3x＋4y－1＝0解析：選C.因?yàn)橹本€a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過(guò)點(diǎn)A(4，3)，所以4a1＋3b1＋1＝0，4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)都在直線4x＋3y＋1＝0上，即過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程為4x＋3y＋1＝0.6．(2024·淮南聯(lián)考)已知直線l：y＝12x＋1與y軸交于點(diǎn)P，將l繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與x軸交于點(diǎn)Q，要使直線l平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則應(yīng)將直線l(A.向左平移16B．向右平移16C．向左平移53D．向右平移53解析：選D.設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝12旋轉(zhuǎn)后的直線斜率為tan(α＋45°)＝tanα又點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，1)，所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y＝3x＋1，Q?1因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(－2，0)，所以把直線l向右平移53個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q7．(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A．若直線斜率為33B．若A(1，－3)，B(1，3)，則直線AB的傾斜角為90°C．若直線過(guò)點(diǎn)(1，2)，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過(guò)點(diǎn)(3，4)D．若直線的斜率為34，則這條直線必過(guò)(1，1)與(解析：選ABC.對(duì)于A，設(shè)直線的傾斜角為α(0°≤α<180°)，則由題意得tanα＝33，所以α＝30°，故A對(duì)于B，因?yàn)锳(1，－3)，B(1，3)，所以直線AB與x軸垂直，則其斜率不存在，故其傾斜角為90°，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(1，2)，且斜率為tan45°＝1，所以直線的方程為y－2＝x－1，即y＝x＋1，易知4＝3＋1，故直線必過(guò)點(diǎn)(3，4)，故C正確；對(duì)于D，不妨取y＝34x，滿足直線的斜率為34，但顯然該直線y＝34x不過(guò)(1，1)與(5，4)兩點(diǎn)，8．(多選)已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是()A．若ab>0，則直線l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°C．直線l可能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D．若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°解析：選ABD.若ab>0，則直線l的斜率－ab<0，故A若b＝0，a≠0，則直線l的方程為x＝2a，其傾斜角為90°，故B將(0，0)代入ax＋by－2＝0中，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；若a＝0，b≠0，則直線l的方程為y＝2b，其傾斜角為0°，故D9．過(guò)點(diǎn)A(5，2)，且在x軸上的截距是y軸上截距的2倍的直線l的方程為_(kāi)________．解析：當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x2a+ya＝1，把點(diǎn)A(5，2)代入可得52a+2a＝1，解得當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx，把點(diǎn)A(5，2)代入可得k＝25，即2x－5y綜上可得，滿足條件的直線方程為2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.答案：2x－5y＝0或x＋2y－9＝010．(人教A版選擇性必修一P67)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求：(1)邊BC上的中線所在直線的方程；(2)邊BC上的高所在直線的方程；(3)邊BC的垂直平分線的方程．解：(1)BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為6+02，7+3則邊BC上的中線所在直線的方程為y＝53?4×(x－4)＝－5x(2)邊BC的斜率為7?36?0＝23，則其上的高的斜率為－3則邊BC上的高所在直線的方程為y＝－32(x－4)＝－32(3)由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5)，由(2)知高的斜率為－32則邊BC的垂直平分線的方程為y＝－32(x－3)＋5＝－3【綜合應(yīng)用題】11．(多選)已知直線xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，則下列命題正確的是()A．直線的傾斜角是π－αB．無(wú)論α如何變化，直線不過(guò)原點(diǎn)C．直線的斜率一定存在D．當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1解析：選BD.根據(jù)直線傾斜角的范圍為[0，π)，而π－α∈R，A不正確；當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直線必不過(guò)原點(diǎn)，B正確；當(dāng)α＝π2當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝12112．若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為_(kāi)_______．解析：根據(jù)A(a，0)，B(0，b)確定直線的方程為xa又因?yàn)镃(－2，－2)在該直線上，故?2a+?2b＝1，所以－2(a＋又因?yàn)閍b>0，故a<0，b<0.根據(jù)基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4ab，從而ab≥4，故ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時(shí)取等號(hào)，即ab的最小值為16.答案：1613．設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＋1＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－2m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|＋|PB|的最大值為_(kāi)_______．解析：由題意知，動(dòng)直線x＋my＋1＝0過(guò)定點(diǎn)A(－1，0)，動(dòng)直線mx－y－2m＋3＝0可化為(x－2)m＋3－y＝0，令x?2＝0，3?y＝0，又1×m＋m×(－1)＝0，所以兩動(dòng)直線互相垂直，且交點(diǎn)為P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因?yàn)镻A2所以|PA|＋|PB|≤2PA當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝3時(shí)取等號(hào)，即|PA|＋|PB|的最大值為6.答案：614．已知直線l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．(1)若直線l不經(jīng)過(guò)第一象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值和此時(shí)直線l的方程．解：(1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程x－ky＋2＋k＝0可化為x＝－2，不經(jīng)過(guò)第一象限；當(dāng)k≠0時(shí)，方程x－ky＋2＋k＝0可化為y＝1k要使直線不經(jīng)過(guò)第一象限，則1k≤0，綜上，k的取值范圍為[－2，0].(2)由題意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0，得y＝2+kk所以S＝12OAOB＝12·當(dāng)且僅當(dāng)k＝4k，即k此時(shí)Smin＝4，直線l的方程為x－2y＋4＝0.【創(chuàng)新拓展題】15．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓．當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)，這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就．現(xiàn)作出圓x2＋y2＝2的一個(gè)內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在的直線為()A．x＋2?1y－2B．1?2x－y＋2C．x－2+1y＋2D．2?1x－y＋2解析：選C.如圖所示，化A項(xiàng)中的直線方程為截距式得x2+y2+2＝1，化B項(xiàng)中的直線方程為截距式得x2+216．如圖，8個(gè)半徑為1的圓擺在坐標(biāo)平面的第一象限(每個(gè)圓與相鄰的圓或坐標(biāo)軸外切)，設(shè)L為八個(gè)圓形區(qū)域的并集，斜率為3的直線l將L劃分為面積相等的兩個(gè)區(qū)域，則直線l的方程為_(kāi)_______．解析：當(dāng)過(guò)A(2，1)的直線將圓1與圓2平分，過(guò)B(3，4)的直線將圓3與圓4平分時(shí)，L劃分為面積相等的兩個(gè)區(qū)域且kAB＝4?13?2∴直線AB的方程為y－1＝3(x－2)，即直線l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．答案：3x－y－5＝0(答案不唯一)8．2兩條直線的位置關(guān)系[課標(biāo)要求]1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．【必備知識(shí)】1．兩條直線的位置關(guān)系(1)斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(2)一般式方程：l3：A1x＋B1y＋C1＝0(法向量u＝(A1，B1))，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(法向量v＝(A2，B2))．位置關(guān)系l1與l2滿足的條件l3與l4滿足的條件平行k1＝k2且b1≠b2u∥vA1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)垂直k1·k2＝－1u⊥vA1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2u與v不共線A1B2－A2B1≠02.直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式(1)兩條直線的交點(diǎn)直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩直線方程組成的方程組A1①相交?方程組有唯一解；②平行?方程組無(wú)解；③重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．(2)三種距離公式類型條件距離公式兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|＝(點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0d＝A兩條平行線間的距離平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0d＝C[提醒]應(yīng)用兩條平行直線的距離公式時(shí)，直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等．【必記結(jié)論】1．五個(gè)關(guān)于對(duì)稱的結(jié)論(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．2．三種直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直線系方程為Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直線系方程為Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0A12+B12≠0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0A22+B22≠0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．()(4)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對(duì)稱，則直線AB的斜率等于－1k，且線段AB的中點(diǎn)在直線l答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．已知直線l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，則條件“a＝1”是“l(fā)1⊥l2”的()A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不必要也不充分條件解析：選B.若l1⊥l2，則(3－a)×?a2＝－1，解得a＝1或a＝2，故“a＝1”是“l(fā)1⊥l23．已知平行直線l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1與l2的距離是______．解析：利用兩平行線間的距離公式得d＝C1答案：24．已知點(diǎn)(a，2)到直線x－y＋3＝0的距離為1，則a＝________．解析：由題意得a?2+31+1＝1，解得a＝－1＋2或a＝－1－2答案：－1±25．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)，且平行于直線l：2x＋y－1＝0的直線的方程是___________.解析：依據(jù)條件，可知所求直線存在斜率，設(shè)所求直線的方程為y－3＝k(x－2)．依題意可知直線l：2x＋y－1＝0可化為y＝－2x＋1，因?yàn)樗笾本€平行于直線l，所以k＝－2，所以所求直線的方程為y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝0題型一兩條直線的位置關(guān)系【例1】(1)(2024·河南新鄉(xiāng)三模)已知直線l1：2x＋my－1＝0，l2：(m＋1)x＋3y＋1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C.當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，則l1∥l2，當(dāng)l1∥l2時(shí)，2m+1＝m3≠所以“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件．(2)(2024·安徽蕪湖檢測(cè))已知直線l1：mx－y－3＝0，l2：(m－2)x－y＋1＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析：選C.當(dāng)m＝1時(shí)，l1：x－y－3＝0，l2：－x－y＋1＝0，即l1：y＝x－3，l2：y＝－x＋1，則k1k2＝－1，即l1⊥l2；當(dāng)l1⊥l2時(shí)，m(m－2)＋(－1)×(－1)＝0，解得m＝1.所以“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充要條件．(3)(人教A版選擇性必修一P79)已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點(diǎn)P，且垂直于直線x＋y－2＝0，則直線l的方程為_(kāi)________________．解析：法一由2x?y?3＝0，4x?3y?5＝0即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，因?yàn)橹本€l與直線x＋y－2＝0垂直，所以直線l的斜率為1，由點(diǎn)斜式得l的方程為y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.法二由2x?y?3＝0，4x?3y?5＝0解得x＝2，因?yàn)橹本€l與直線x＋y－2＝0垂直，可設(shè)直線l的方程為x－y＋C＝0，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得2－1＋C＝0，解得C＝－1，故直線l的方程為x－y－1＝0.法三直線l的方程可設(shè)為2x－y－3＋λ(4x－3y－5)＝0(其中λ為常數(shù))，即(2＋4λ)x－(1＋3λ)y－5λ－3＝0，因?yàn)橹本€l與直線x＋y－2＝0垂直，所以2+4λ1+3λ·(－1)＝－1，解得λ＝－1，故直線l的方程為x－y答案：x－y－1＝0思維升華(1)解決兩直線平行與垂直求參數(shù)的問(wèn)題要“前思后想”(2)求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的兩種方法【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)(2024·襄陽(yáng)模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合解析：選B.由題意可知，直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分別為－sinA又在△ABC中，asin所以－sinA所以兩條直線垂直．(2)(2024·青島模擬)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直線l：ax＋(a2－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2 B．－1C．－1或3 D．3解析：選B.由△ABC的頂點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心為?3+3+33又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點(diǎn)?3+32，0+3所以可得△ABC的歐拉線方程為y?132?1＝x?1因?yàn)閍x＋(a2－3)y－9＝0與x＋2y－3＝0平行，所以a1＝a2?3題型二兩條直線的距離問(wèn)題【例2】(1)點(diǎn)(1，1)到x＋my＋1＝0的距離是2，則m＝________．解析：點(diǎn)(1，1)到x＋my＋1＝0的距離d＝1+m+11+m2＝2，即m2－4m－2＝0，解得m＝2＋6答案：2＋6或2－6(2)(2024·上饒統(tǒng)考)正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C，D分別在直線2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：設(shè)直線CD的方程為x＋y＋m＝0，聯(lián)立2x?y?1＝0，x+y+m＝0，得聯(lián)立4x+y?23＝0，x+y+m＝0，得∴由兩點(diǎn)間的距離公式可得|CD|＝22又直線AB與CD的距離為d＝m+42∴223m+11解得m＝－8或m＝－32，即|CD|＝22或142.即正方形的邊長(zhǎng)為22或142.答案：22或142(3)(人教A版選擇性必修一P80)?ABCD的四條邊所在直線的方程分別是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，求?ABCD的面積．解：由l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，聯(lián)立求得交點(diǎn)C(3，2)，由l1：x－4y＋5＝0，l4：2x＋y＋1＝0，聯(lián)立得交點(diǎn)B(－1，1)，由l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0聯(lián)立得交點(diǎn)D(2，4)，由點(diǎn)D到l1：x－4y＋5＝0的距離d＝2?4×|BC|＝3+12故S?ABCD＝|BC|×d＝17×思維升華距離問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題策略(1)求兩點(diǎn)間的距離關(guān)鍵是確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入公式求解，一般用來(lái)判斷三角形的形狀等．(2)解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定系數(shù)法，此時(shí)必須討論系數(shù)是否存在．(3)求兩條平行線間的距離要先將直線方程中x，y的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的形式，再利用距離公式求解，也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)若點(diǎn)(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為()A．3B．4C．2D．6解析：選B.由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(diǎn)(m，n)到點(diǎn)(1，0)距離的平方，則其最小值為點(diǎn)(1，0)到直線l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，即d2＝3+0?1332(2)已知兩條平行直線分別過(guò)點(diǎn)A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自繞點(diǎn)A，B旋轉(zhuǎn)，平行線之間的距離的最大值為_(kāi)_____，此時(shí)兩平行直線方程分別為_(kāi)_____．解析：當(dāng)AB與兩平行直線垂直時(shí)，兩平行線之間的距離最大，為|AB|＝6+32因?yàn)橹本€AB的斜率kAB＝2+16+3故這兩條平行直線的斜率為－3，則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.答案：3103x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0題型三對(duì)稱問(wèn)題角度1中心對(duì)稱問(wèn)題【例3】(1)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(－1，2)對(duì)稱的直線方程是()A．3x－2y－10＝0B．3x－2y－23＝0C．2x＋3y－4＝0D．2x＋3y－2＝0解析：選D.設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于點(diǎn)(－1，2)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2－x，4－y)，因?yàn)辄c(diǎn)(－2－x，4－y)在直線2x＋3y－6＝0上，所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0，即2x＋3y－2＝0.(2)過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_(kāi)___________．解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x4＋y＝1，即x＋4y答案：x＋4y－4＝0思維升華兩類中心對(duì)稱問(wèn)題及解法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于M(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足x(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩種求解方法方法1：在已知直線上取一點(diǎn)，求出它的對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行求得；方法2：在已知直線上取兩點(diǎn)，求出它們的對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)求得．角度2軸對(duì)稱問(wèn)題【例4】(1)(2024·四川遂寧模擬)已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(2，1)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A．(－1，4) B．(4，5)C．(－3，－4) D．(－4，－3)解析：選C.設(shè)A(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線x＋y＋2＝0上且直線AB與直線x＋y＋2＝0垂直，則x+22+y+12+2＝0(2)設(shè)直線l1：x－2y－2＝0與l2關(guān)于直線l：2x－y－4＝0對(duì)稱，則直線l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0解析：選A.聯(lián)立x?2y?2＝0，2x?y?4＝0取直線l1：x－2y－2＝0上一點(diǎn)(0，－1)，設(shè)點(diǎn)(0，－1)關(guān)于直線l：2x－y－4＝0的對(duì)稱點(diǎn)為(a，b)，則b+1a＝?所以直線l2的斜率k＝?115?0125?2＝?112，故直線l2的方程為y思維升華(1)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)的求法若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)對(duì)稱，則由方程組Ax1+x22+By1(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的兩種求解方法方法1：若直線與對(duì)稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，由點(diǎn)斜式求解；方法2：若直線與對(duì)稱軸相交，則先求交點(diǎn)，再取直線上一點(diǎn)，求出該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，最后求解．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l′的方程．解：(1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得y+2解得x＝?3313，y＝4(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則2×a+22?3×設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，由2x?3y+1＝0，3x?2y?6＝0，又m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4，3)，所以直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如P(1，1)，Q(4，3)，則P，Q關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，所以l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二因?yàn)閘∥l′，所以設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．因?yàn)辄c(diǎn)A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，所以由點(diǎn)到直線的距離公式，得?2+6+C22+所以l′的方程為2x－3y－9＝0.[課下鞏固精練卷(六十四)]兩條直線的位置關(guān)系__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·河南三模)已知直線Ax＋By＋C＝0與直線y＝2x－3垂直，則()A．A＝－2B≠0B．A＝2B≠0C．B＝－2A≠0D．B＝2A≠0解析：選D.直線y＝2x－3的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線Ax＋By＋C＝0的斜率為－12，即?AB＝?12且A≠0，2．(2024·黑龍江哈爾濱模擬)已知直線l1：ax＋3y－6＝0，直線l2：2x＋(a－1)y－4＝0，則“l(fā)1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.若直線l1：ax＋3y－6＝0和直線l2：2x＋(a－1)y－4＝0平行，則a×a?1＝2所以“l(fā)1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的充分不必要條件．3．平行直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－by＋5＝0之間的距離為()A．5 B．25C．35 D．55解析：選C.因?yàn)閘1∥l2，所以b≠0，21＝1?b≠?55，解得b＝－12，所以l2：2x＋4．四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，則四邊形ABCD為()A．矩形 B．菱形C．等腰梯形D．直角梯形解析：選D.由kBC＝7?44?0∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB與CD不平行，∴四邊形ABCD為梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四邊形ABCD為直角梯形．5．(2024·牡丹江模擬)直線y＝33x關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱直線為l，則直線lA．3x＋y－2＝0B．3x＋y＋2＝0C．x＋3y－2＝0D．x＋3y＋2＝0解析：選C.直線y＝33x與直線x＝1交于點(diǎn)A1所以直線l的斜率為－33且過(guò)點(diǎn)A1所以直線l的方程為y－33＝?3即x＋3y－2＝0.6．(2024·重慶三模)當(dāng)點(diǎn)P(－1，0)到直線l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值為()A．－1B．1C．－2D．2解析：選B.直線l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0，整理得λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0，由3x+y?4＝0，x+y?2＝0，可得x＝1當(dāng)AP與直線l垂直時(shí)，點(diǎn)P(－1，0)到A(1，1)的距離為dmax＝?1?12故kPA＝1?01+1直線l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的斜率k＝－3λ+1λ+1，故－3λ+1λ+1·7．(多選)已知在以C(2，3)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形ABC中，頂點(diǎn)A，B都在直線x－y＝1上，下列判斷中正確的是()A．斜邊AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(3，2)B．|AB|＝22C．△ABC的面積等于4D．點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，1)解析：選ABD.如圖，取AB的中點(diǎn)為P(x，y)，因?yàn)椤鰽BC為以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直線x－y＝1，則kCP＝y(tǒng)?3x?2＝－1，且x－y＝1，解得x＝3，y＝2，則AB的中點(diǎn)|CP|＝3?22+2?32＝2所以S△ABC＝12ABCP設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C1，則CC1的中點(diǎn)為點(diǎn)P，即xP＝xC+xC12＝3，所以xC1＝4，所以yC8．(人教A版選擇性必修一P80)已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6，3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為_(kāi)______．解析：∵點(diǎn)A(－3，－4)，B(6，3)到直線l的距離相等，∴?3a?4+1a2+1＝6a+3+1a2+1，于是3a+3＝|6a＋4|，∴27a2＋30答案：a＝－13或a＝－9．設(shè)點(diǎn)P(2，5)關(guān)于直線x＋y＝1的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_________，過(guò)點(diǎn)Q且與直線x＋y－3＝0垂直的直線方程為_(kāi)___________．解析：依題意，設(shè)Q(a，b)，則b?5a?2×即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－4，－1)，設(shè)與直線x＋y－3＝0垂直的直線方程為x－y＋c＝0，將Q(－4，－1)代入該式，得－4＋1＋c＝0，故c＝3，所以所求直線方程為x－y＋3＝0.答案：(－4，－1)x－y＋3＝010．點(diǎn)A(5，2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是________．解析：直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化為(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，由x+2y?1＝0，?x?y+5＝0所以直線過(guò)定點(diǎn)P(9，－4)，當(dāng)AP與直線垂直時(shí)，點(diǎn)A(5，2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最大值為d＝5?92當(dāng)點(diǎn)A在直線上時(shí)，點(diǎn)A(5，2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最小值為0，故點(diǎn)A(5，2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是0，答案：0【綜合應(yīng)用題】11．(多選)已知平面上一點(diǎn)M(5，0)，若直線上存在點(diǎn)P使|PM|＝4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是()A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝43x D．y＝2x解析：選BC.由題意知，當(dāng)點(diǎn)M到直線的距離不超過(guò)4時(shí)，符合要求．對(duì)于A，點(diǎn)M(5，0)到直線y＝x＋1的距離為62對(duì)于B，點(diǎn)M(5，0)到直線y＝2的距離為2－0＝2<4，故符合；對(duì)于C，點(diǎn)M(5，0)到直線y＝43x的距離為4對(duì)于D，點(diǎn)M(5，0)到直線y＝2x＋1的距離為2×12．若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是_____________．解析：為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)．①若l1∥l2，則由a×a－1×1＝0，得a＝±1；②若l2∥l3，則由1×1－a×1＝0，得a＝1；③若l1∥l3，則由a×1－1×1＝0，得a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，l1，l2與l3三線重合，當(dāng)a＝－1時(shí)，l1，l2平行．④若三條直線交于一點(diǎn)，由x+ay+1＝0，x+y+a＝0將l2，l3的交點(diǎn)(－a－1，1)的坐標(biāo)代入l1的方程，解得a＝1(舍去)，或a＝－2，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠－2.答案：a≠±1且a≠－213．(1)已知點(diǎn)A(a，6)到直線3x－4y＝2的距離d＝4，求a的值；(2)在直線x＋3y＝0上求一點(diǎn)P，使它到原點(diǎn)O的距離與到直線x＋3y－2＝0的距離相等．解：(1)由題意，得3a?24?232+?42＝4，|3a－26|＝20，解得a(2)設(shè)點(diǎn)P(－3b，b)，由題意，得|OP|＝9b點(diǎn)P到直線x＋3y－2＝0的距離為?3b+3b?210所以10b2＝105即點(diǎn)P的坐標(biāo)為35，?【創(chuàng)新拓展題】14．(2024·南通統(tǒng)考)如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光線從AB邊上的中點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(反射點(diǎn)分別為Q，R)，則光線經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)|PQ|＋|QR|＋|RP|＝________．解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，則lBC：x＋y－2＝0，點(diǎn)P(1，0)，所以點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1(－1，0)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線lBC：x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P2(x0，y0)，則y0x0?1＝1且x0+12+y02－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2，1)，則|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|P2Q|＋|QR答案：1015．已知點(diǎn)A(4，－1)，B(8，2)和直線l：x－y－1＝0，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l上，則|PA|＋|PB|的最小值為_(kāi)__________．解析：設(shè)點(diǎn)A1與A關(guān)于直線l對(duì)稱，P0為A1B與直線l的交點(diǎn)，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P0時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A1(x1，y1)，則由對(duì)稱的充要條件知y解得x1＝0，y∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝82答案：658．3圓的方程[課標(biāo)要求]1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．【必備知識(shí)】1．圓的定義與方程2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)．【必記結(jié)論】1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)?D2，?E2；當(dāng)D22．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.3．圓的三個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．(2)圓心在任一弦的垂直平分線上．(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線．【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)過(guò)不共線的三點(diǎn)一定有唯一的一個(gè)圓．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x02+y02＋Dx0答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．圓心為點(diǎn)C(8，－3)，且過(guò)點(diǎn)A(5，1)的圓的一般方程是______________．解析：圓的半徑r＝|CA|＝8?52所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－8)2＋(y＋3)2＝25，化為一般式，得x2＋y2－16x＋6y＋48＝0.答案：x2＋y2－16x＋6y＋48＝03．已知圓x2＋y2＋2x－ay－4＝0的半徑為3，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．解析：圓的方程用配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋1)2＋y?a22＝5+a24，所以r答案：±44．若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．解析：∵原點(diǎn)(0，0)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m<2.答案：?5．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是_______________．解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，且M是線段AB的中點(diǎn)，所以x＝x0于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3①，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程，即(x0＋1)2＋y0把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理得x?322＋y?322＝1，這就是點(diǎn)答案：x?322＋y?題型一圓的方程【例1】已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為_(kāi)____________________.解析：法一(幾何法)∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．又所求圓被直線x－y＝0相切，∴半徑r＝2a又所求圓被直線x－y－3＝0截得的弦長(zhǎng)為6，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝2a?32∴d2＋622＝r2，即2a?322+32∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝a?b?32∴r2＝a?b?322+32，即2r2＝(a由于所求圓與直線x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2②.又圓心在直線x＋y＝0上，∴a＋b＝0③.聯(lián)立①②③，解得a＝1，b＝?1，r2＝2，故圓C的方程為(x法三(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為?D2，?E2∵圓心在直線x＋y＝0上，∴－D2?E2＝0，即又圓C與直線x－y＝0相切，∴?D2+E22＝12D2+E2?4F∴D2＋E2＋2DE－8F＝0②.又知圓心?D2，?E2到直線x－y－3＝0的距離d＝?D2+E∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)③.聯(lián)立①②③，解得D＝?2，E＝2，F(xiàn)＝0，故圓C的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2思維升華求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓的圓心或半徑，則設(shè)圓的一般方程．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(人教A版選擇性必修一P84)已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(2，－2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：解法1：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)閳A心C在直線l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0①.因?yàn)锳，B是圓上兩點(diǎn)，所以|CA|＝|CB|，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有a?12即a－3b－3＝0②.由①②可得a＝－3，b＝－2，所以圓心C的坐標(biāo)是(－3，－2)，圓的半徑r＝|AC|＝1+32所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.解法2：如圖，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D.由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1)，(2，－2)，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為32，?12，直線AB因此，線段AB的垂直平分線l′的方程是y＋12＝13x?由垂徑定理可知，圓心C也在線段AB的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組x?3y?3＝0，解這個(gè)方程組，得x＝?3所以圓心C的坐標(biāo)是(－3，－2)．圓的半徑r＝|AC|＝1+32所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.題型二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例2】(1)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點(diǎn)A的軌跡方程是()A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4x解析：選B.因?yàn)閳AC：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C(1，1)，半徑r＝1，因?yàn)辄c(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以|MC|＝1，又AM與圓相切，且|AM|＝2，則|AC|＝MC2設(shè)A(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以點(diǎn)A的軌跡方程為x2＋y2－2x－2y－3＝0.(2)已知A(－2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MB|，則點(diǎn)M的軌跡方程是____________．解析：設(shè)M(x，y)，則|MA|＝x+22因?yàn)閨MA|＝2|MB|，所以x+22整理可得3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－203x所以點(diǎn)M的軌跡是圓，方程為x2＋y2－203x答案：x2＋y2－203x(3)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．解：設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，∵四邊形MONP為平行四邊形，則OP＝即(x，y)＝(－3，4)＋(x0，y0)，即x＝?3+x0又N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，∴x02+y02＝4，故(x＋3)易知直線OM的方程為y＝－43x聯(lián)立y＝?解得x＝?95∴點(diǎn)P的軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去點(diǎn)?95，思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法；(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件列方程；(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程；(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0，－2)，若動(dòng)點(diǎn)M滿足MAMO＝2A．x2＋(y＋2)2＝22B．x2＋(y－2)2＝22C．x2＋(y＋2)2＝8D．x2＋(y－2)2＝8解析：選D.設(shè)M(x，y)，因?yàn)镸AMO＝2所以x2所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，所以x2＋(y－2)2＝8為點(diǎn)M的軌跡方程．(2)(人教A版選擇性必修一P89)長(zhǎng)為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀．解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)P(x，y)，若A、B不與原點(diǎn)重合時(shí)，則△AOB是直角三角形，且∠AOB為直角，則OP＝12AB，而AB＝2a∴OP＝a，即P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓，方程為x2＋y2＝a2(a＞0)；若A、B有一個(gè)是原點(diǎn)，同樣滿足x2＋y2＝a2(a＞0)．故線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝a2(a＞0)，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓．圓的參數(shù)方程(人教A版選擇性必修一P89習(xí)題10)在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝a+rcosθ，y＝b+rsinθ，其中θ為參數(shù)．證明：點(diǎn)P證明：由x＝a+rcosθ，y＝b+rsinθ可得x?ar＝cosθ，y?br＝sinθ，又因?yàn)閏os2θ＋sin2θ＝1，所以x?ar2＋y?br2＝1，即(x－a)結(jié)論：圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的參數(shù)方程為x＝a+rcos【典例】1.(2023·全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是()A．1＋322C．1＋32 D．7解析：選C.法一令x－y＝k，則x＝k＋y，代入原式化簡(jiǎn)得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y，則Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化簡(jiǎn)得k2－2k－17≤0，解得1－32≤故x－y的最大值是32＋1.法二x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，則x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝32cosθ+π∵θ∈[0，2π]，所以θ＋π4∈π4，9π4，則θ＋π4＝2π，即θ＝7法三由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，設(shè)x－y＝k，則圓心到直線x－y＝k的距離d＝2?1?k2≤3，解得1－32故x－y的最大值為32＋1.2．(2024·廣東廣州三模)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線l：2x＋y－5＝0，點(diǎn)A，B為圓x2＋y2＝1上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AOB＝2π3，則A，B到直線A．25?23 B．2C．25?3 D．2解析：選D.設(shè)A(cosθ，sinθ)，B(cosθ+2π3點(diǎn)A到直線l：2x＋y－5＝0的距離dA＝2cos同理可得點(diǎn)B到直線l：2x＋y－5＝0的距離dB＝|2cos所以點(diǎn)A，B到直線l的距離之和為dB＋dA＝2＝1＝1＝15(10?2cosθ?sinθ+＝15[10?1+32cos其中cosφ＝3?125，sin故當(dāng)sin(θ－φ)＝－1時(shí)，此時(shí)dA＋dB取最小值1510?5題型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題角度1圓上的點(diǎn)到直線的最值問(wèn)題【例3】(2024·天津四校聯(lián)考)圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離是()A．36B．82C．18D．62解析：選B.因?yàn)閳Ax2＋y2－4x－4y－10＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以圓心坐標(biāo)為(2，2)，半徑r＝32，因?yàn)閳A心到直線x＋y－14＝0的距離d＝2+2?1412+所以直線x＋y－14＝0與圓(x－2)2＋(y－2)2＝18相離，所以圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離為d＋r＝52思維升華設(shè)r為圓C的半徑，d為圓心C到直線l的距離．如圖(1)，當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，圓C上的點(diǎn)到直線l的最小距離為0，最大距離為AD＝r＋d；如圖(2)，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，圓C上的點(diǎn)到直線l的最小距離為0，最大距離為AD＝2r；如圖(3)，當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，圓C上的點(diǎn)到直線l的最小距離為BD＝d－r，最大距離為AD＝r＋d.角度2斜率型、截距型、距離型最值問(wèn)題【例4】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，3為半徑的圓．(1)yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yx＝k，即y＝當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)2k?0k2+1＝3所以yx的最大值為3，最小值為－3(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)2?0+b2＝3，解得b＝－2±所以y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6.(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2＋y2的最大值是2+32＝7＋43，x2＋y2的最小值是2?32＝7－4思維升華與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法角度3用對(duì)稱性求最值【例5】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，點(diǎn)M，點(diǎn)N分別是圓C1，圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．52－4B．17－1C．6－22D．17解析：選A.由題可知圓心C1(2，3)，圓心C2(3，4)．因?yàn)辄c(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，所以|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，所以|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4，作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′1(2，－3)(圖略)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝52，即PM+PN思維升華求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2，6] B．[4，8]C．2，32解析：選A.圓心(2，0)到直線的距離d＝2+0+22所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈2，根據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面積S＝12AB·d1＝2d因?yàn)閐1∈2，32，所以S(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足x2＋y2－|x|－|y|＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PO|的最大值是________．解析：如圖，方程x2＋y2－|x|－|y|＝0可以轉(zhuǎn)化為x?122＋y?122＝12，所以動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡為原點(diǎn)和四段圓?。捎趯?duì)稱性，僅考慮圓弧x?122＋y?122＝12(x≥0，答案：2(3)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則PA·解析：由題意，得PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，PA·PB的值最大，最大值為6答案：12[課下鞏固精練卷(六十五)]圓的方程__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·吉林長(zhǎng)春三模)經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：選C.設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由題意可得1+1+D+E+F＝0，1+1?D+E+F＝0，0+4+2E+F＝0，解得D＝0，E＝?2，F(xiàn)＝0所以經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－2y＝0，即為x2＋(y－1)2＝1.2．(2024·北京三模)已知A(－1，0)，B(1，0)，若點(diǎn)P滿足PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線l：mx?3＋n(yA．1B．2C．3D．4解析：選C.由PA⊥PB可得點(diǎn)P的軌跡為以線段AB為直徑的圓，圓心為(0，0)，半徑為1，又直線l：mx?3＋n(y－1)＝0，其過(guò)定點(diǎn)3，13．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x＋4)2＋(y－2)2＝4解析：選A.設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則x＝x1+42，y＝y(tǒng)1?22，可得x1＝2x?4，y1＝2y+2，代入x2＋y4．(2024·河北滄州二模)若點(diǎn)A(2，1)在圓x2＋y2－2mx－2y＋5＝0(m為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)解析：選C.由題意知22＋12－4m－2＋5>0，故m<2，又由圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可得D2＋E2－4F>0，即(－2m)2＋(－2)2－4×5>0，即m<－2或m>2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<－2.5．(2024·北京延慶一模)在等邊△ABC中，AB＝2，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PA＝1，Q為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)度的最大值是()A．3－1B．3＋1C．3＋2D．3解析：選D.根據(jù)題意可知，點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上，如圖，Q為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ取最大值時(shí)，|PQ|＝|AQ|＋|AP|＝|AQ|＋1，而當(dāng)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，|AQ|最大，且最大值為2，此時(shí)線段PQ長(zhǎng)度的最大值為2＋1＝3.6．若點(diǎn)M(x，y)是圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝9上的一點(diǎn)，則x2＋2x＋y2＋4y的最小值為()A．8 B．3C．－1 D．－3解析：選C.x2＋2x＋y2＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5，只需求圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)(－1，－2)的最小距離即可，又圓心(3，1)到(－1，－2)的距離d＝42+32＝5，而圓∴d－r＝2≤x+12+y+22≤故原式的最小值為(d－r)2－5＝22－5＝－1.7．(多選)圓M與y軸相切，且經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(2，1)兩點(diǎn)，則圓M可能是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝4B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9解析：選BC.設(shè)圓M的圓心為M(a，b)，則半徑r＝|a|.又點(diǎn)A(1，0)，B(2，1)在圓上，所以有|MA|＝|MB|，即a?12整理可得a＋b＝2.又|MA|＝r＝a，即a?12整理可得b2－2a＋1＝0.聯(lián)立a+b＝2，b2?2a+1＝0所以圓心坐標(biāo)為(1，1)或(5，－3)．當(dāng)圓心坐標(biāo)為(1，1)時(shí)，r＝1，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1；當(dāng)圓心坐標(biāo)為(5，－3)時(shí)，r＝5，圓M的方程為(x－5)2＋(y＋3)2＝25.綜上所述，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.8．(多選)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，則下列說(shuō)法正確的是()A．yx的最大值為B．yxC．x2＋y2的最大值為5＋1D．x＋y的最大值為3＋2解析：選ABD.由實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其圖象，如圖所示．因?yàn)閥x表示點(diǎn)(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程為y＝kx則2k?1k2+1＝1，解得k＝0或k∴yx∈0，43，∴yxx2＋y2表示圓上的點(diǎn)(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，圓上的點(diǎn)(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為|OC|＋1，所以x2＋y2最大值為(|OC|＋1)2，又|OC|＝22+12＝5，所以x2因?yàn)閤2＋y2－4x－2y＋4＝0可化為(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可設(shè)x＝2＋cosθ，y＝1＋sinθ，所以x＋y＝2＋cosθ＋1＋sinθ＝3＋2sinθ+π所以當(dāng)θ＝π4，即x＝2＋22，y＝1+22時(shí)，9．寫(xiě)出一個(gè)過(guò)原點(diǎn)，且半徑為22的圓的方程___