專題22正多邊形與圓（5大類型精準練+過關(guān)檢測）

內(nèi)容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

練題型強知識：5大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

知識點1.正多邊形及有關(guān)概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點歸納：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的

各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，

這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊

數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

1

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似

比的平方．

5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點歸納：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓

的外切正多邊形.

知識點2.正多邊形的有關(guān)計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.

要點歸納：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點3.正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等

分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊

所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

2

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B

為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點歸納：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.

【類型1】有關(guān)正多邊形角的計算

1．（24-25九年級上·河南商丘·階段練習）正六邊形的中心角是（）

A．60B．120C．360D．720

【答案】A

【分析】此題考查了正多邊形的中心角．據(jù)正多邊形的中心角的定義，可得正六邊形的中心角是：

360案6=60，此題比較簡單，注意準確掌握定義是關(guān)鍵．

【詳解】解：正六邊形的中心角是：360案6=60．

故選：A．

2．（23-24九年級上·天津南開·期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，P為AB上一點，連接PA，PE，

則APE的度數(shù)為（）

A．18B．36C．54D．72

【答案】B

360

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．

n

【詳解】解：連接OA、OB，

3

∵ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，

360

∴AOE72，

5

11

∴APEAOE7236，

22

故選B．

3．（23-24九年級上·河南商丘·階段練習）如圖，點O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA,OE，則AOE

的度數(shù)為（）

A．72°B．54°C．60°D．36°

【答案】A

360

【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，進行求解即可．

n

360

【詳解】解：由題意，得：AOE的度數(shù)為72；

5

故選A．

4．（24-25九年級下·陜西寶雞·開學考試）如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，連接OC，OFCD于

點F，則COF的度數(shù)為．

【答案】36

【分析】本題考查了正多邊形和圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，正確的添加輔助線以及記熟正多邊形

的有關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，根據(jù)題意，可得OCOD，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，求出COD，根據(jù)三角形的內(nèi)

4

1

角和，求出OCDODC1807254，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和，即可．

2

【詳解】解：連接OD，

∴OCOD，

∴OCDODC，

∵點O是正五邊形ABCDE的中心，

1

∴COD36072，

5

1

∴OCDODC1807254，

2

∵OFCD，

∴OFC90，

∴COF36，

故答案為：36．

5．（2025·安徽滁州·三模）如圖，在O的圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，過點D作DF∥OA交AE于點F，

則EDF的度數(shù)為．

【答案】18/18度

【分析】本題考查圓內(nèi)接正多邊形，三角形內(nèi)角和，連接OE，OF，根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，得到

18052

DEAEAB108，DEAEAB，則DEAEAB，得到AOEAOB，根據(jù)等腰

5

1

三角形得到OAEOABEAB54，再由DF∥OA得到OAEEFD54，最后根據(jù)三角形內(nèi)

2

角和求解即可．

【詳解】解：連接OE，OF，

5

∵在O的圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，

18052

∴DEAEAB108，DEAEAB，

5

∴DEAEAB，

∴AOEAOB，

∵OAOEOB，

180AOE180AOB

∴OAEOEA，OABOBA，

22

∴OAEOABOEAOBA，

1

∴OAEOABEAB54，

2

∵DF∥OA，

∴OAEEFD54，

∴EDF180EFDDEF1801085418，

故答案為：18．

【類型2】求正多邊形的邊數(shù)

6．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是40，則該正多邊形邊

數(shù)是（）

A．6B．9C．10D．12

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形中心角的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．

根據(jù)正多邊形中心角的計算方法列方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)這個正多邊形為正n邊形，由題意得，

360

40，

n

解得n9，

經(jīng)檢驗，n9是原方程的解，

所以這個正多邊形是正九邊形，

故選：B．

7．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，點O為正多邊形的

6

中心，若ADB20，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A．9B．10C．18D．20

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理得到

AOB2ADB40，即可得到結(jié)論．

【詳解】解：A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，

點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，

ADB20，

AOB2ADB40，

360

這個正多邊形的邊數(shù)9，

40

故選：A．

8．（2025·江蘇徐州·模擬預測）如圖，是正多邊形的一部分，若ACB18，則該正多邊形的邊數(shù)為．

【答案】10

【分析】本題主要考查了正多邊形中心角問題、圓周角定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．連接OA，

OB，易知點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理得到

AOB2ACB36，再根據(jù)正多邊形中心角計算方法即可得到答案．

【詳解】解：連接OA，OB，如下圖，

∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，

7

∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，

∵ACB18

∴AOB2ACB36，

360

∴這個正多邊形的邊數(shù)10．

36

故答案為：10．

9．（2025·安徽合肥·二模）如圖，在正n邊形中，118，則n的值是．

【答案】20

【分析】本題考查正多邊形和圓，根據(jù)圓周角定理求出中心角的度數(shù)，求出n的值即可．

【詳解】解：如圖，點O為正n邊形的外接圓的圓心，連接OA,OB,OC，

則：AOC2136，AOBBOC，

∴AOB18，

360

∴n20；

18

故答案為：20．

【類型3】求正多邊形的半徑、周長、面積

10．（24-25九年級下·貴州貴陽·階段練習）若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2，則其外接圓半徑為（）

43233333

A．B．C．D．

3324

【答案】A

【分析】本題主要考查正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握內(nèi)切圓與外接圓的性質(zhì)

以及正多邊形的中心角，求出正六邊形的中心角的度數(shù)，進行求解即可．

【詳解】解：如圖，連接OA、OB，過O作OGAB，

8

OAOB，

又∵正六邊形中心角AOB60，

∴VAOB為正三角形，

AOGBOG30，

1

∴BGOB，

2

∴OG3BG2，

23

∴BG

3

43

∴OB．

3

故選：A．

11．（2025·安徽合肥·一模）如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF，已知這個正六邊形的半徑

是2，則它的面積是（）

A．63B．12C．123D．24

【答案】A

【分析】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意得出△AOB是等邊三角形是

解題關(guān)鍵．由正六邊形的性質(zhì)證出VAOB是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出ABOA，即可得出答

案．

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為O，連接AO，BO，過點O作OHAB于點H，如圖所示：

9

∵O是正六邊形ABCDEF的中心，

∴ABBCCDDEEFAF,AOB60,AOBO2，

∴VAOB是等邊三角形，

1

∴ABOA，AHBHAB1，

2

∴OHOA2AH23，

1

∴正六邊形ABCDEF的面積62363．

2

故選：A．

12．（24-25九年級上·山西呂梁·期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O．若AB4，則O的直徑為

（）

A．8B．10C．12D．14

【答案】A

【分析】本題考查正多邊形與圓，正確得出ABO是等邊三角形是解題關(guān)鍵．

直接利用等邊三角形的判定與性質(zhì)進而分析得出答案．

【詳解】解：連接AO,BO，

∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O

∴AOB60，

∴ABO是等邊三角形，

∵AB4，

∴OAOBAB4

∴O的直徑為8．

故選：A．

13．（22-23九年級上·黑龍江佳木斯·期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，若O的周長是6，則

正六邊形的邊長是．

10

【答案】3

【分析】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

連接OB、OC，根據(jù)O的周長等于6，可得O的半徑OBOC3，而六邊形ABCDEF是正六邊形，

360

即知BOC60，BOC是等邊三角形，即可得正六邊形的邊長．

6

【詳解】解：連接OB、OC，如圖：

O的周長等于6，

6

O的半徑OBOC3，

2

六邊形ABCDEF是正六邊形，

360

BOC60，

6

BOC是等邊三角形，

BCOBOC3，

即正六邊形的邊長為3，

故答案為：3．

14．（2025·陜西西安·模擬預測）若正方形的周長為12，則這個正方形的邊心距為．

3

【答案】/1.5

2

【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、正多邊形和圓、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點，正確地畫

出圖形并且添加相應的輔助線是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)正方形的周長為12，易得BC3，如圖∶作正方形ABCD的外接圓，圓心為點O，連接OB、OC，作

13

OEBC于點E，則OBOC，BOC90，所以O(shè)EBC即可解答．

22

【詳解】解：如圖，正方形ABCD的周長為12，

11

∴ABBCCDAD，且ABBCCDAD12，

∴BC3，

如圖∶作正方形ABCD的外接圓，圓心為點O，連接OB、OC，作OEBC于點E，

1

∵OBOC，BOC36090，

4

13

∴OEBECEBC

22

3

∴正方形ABCD的邊心距為．

2

3

故答案為：．

2

15．（24-25九年級下·上海·階段練習）邊心距為2的正六邊形面積是．

【答案】83

【分析】本題考查正多邊形和圓，根據(jù)題意，求出正六邊形的邊長，根據(jù)正六邊形的面積為6個全等的等

邊三角形的面積之和，進行求解即可．

360

【詳解】解：如圖，連接OA,OB，作OHAB，由題意可知：OH2，AOB60，OAOB，

6

∴VAOB為等邊三角形，

∴OAOBAB，

∵OHAB，

11

∴AHABOA，

22

∴OH3AH2，

12

23

∴AH，

3

43

∴AB2AH，

3

143

∴正六邊形面積為：6283；

23

故答案為：83．

16．（24-25九年級上·山西呂梁·階段練習）如圖1，有一個亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該

地基的平面示意圖可以近似的看作是半徑為5m的圓內(nèi)接正六邊形，求這個正六邊形地基的周長．

【答案】30m

【分析】本題考查了圓內(nèi)接六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．

360

根據(jù)題意得到AOB60．ABBCCDDEEFAF，得到VAOB是等邊三角形，得出

6

ABOA5m，即可得到答案．

【詳解】解：六邊形ABCDEF是正六邊形，

360

AOB60．ABBCCDDEEFAF，

6

OAOB，

AOB是等邊三角形，

ABOA5m，

正六邊形ABCDEF的周長6530m．

17．（24-25九年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OB3，求這個正六邊

形的周長．

【答案】這個正六邊形的周長為18．

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)．連接OC，如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到

13

360

BOC60，則△OBC為等邊三角形，所以BCOB3，進而可求出正六邊形的周長．

6

【詳解】解：如圖，連接OC，

OBOC．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

360

BOC60，

6

OBC是等邊三角形，

BCOB3，

∴這個正六邊形的周長為6318．

18．（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，正VABC外接圓的半徑為R，求正VABC的邊長，邊心距，

周長和面積．

133

【答案】邊心距R，邊長為3R，周長是33R，面積是R2．

24

【分析】連接OB，OA，延長AO交BC于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出ADBC，

1

BDCDBC，OBD30，進而求得OD；再根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出BC，進而求得周長和

2

面積．

【詳解】解：如圖：連接OB，OA，延長AO交BC于D，

∵正VABC外接圓是O，

14

111

∴ADBC，BDCDBC，OBDABC6030，

222

11

∴邊心距ODOBOBR，

22

3

由勾股定理得：BDOB2OD2R，

2

3

∴三角形邊長為BC2BD3R，ADAOODR，

2

∴VABC的周長是3BC33R33R；

11333

VABC的面積是BCAD3RRR2．

2224

【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識

點，正確作輔助線后求出BD的長是解題的關(guān)鍵．

【類型4】正多邊形的作圖問題

19．（2025·江西·模擬預測）如圖，多邊形ABCDE是正五邊形，請僅用無．刻．度．的．直．尺．按要求完成作圖（保留

作圖痕跡）．

(1)如圖1，作一個以BC為腰，頂角為36的等腰三角形；

(2)如圖2，作一個底角為54的等腰三角形．

【答案】(1)畫圖見解析

(2)畫圖見解析

【分析】（1）連接BD，CE，交于點K，則BCK即為所求作的三角形；

（2）連接BD，CE，交于點K，連接AK并延長交CD于M，則ABK或AEK即為所求；

【詳解】（1）解：如圖，連接BD，CE，交于點K，則BCK即為所求作的三角形；

理由：∵多邊形ABCDE是正五邊形，

360

∴CBCDDE，BCDCDE180108，

5

15

1

∴CBD18010836DCE，

2

∴BCK1083672，BKC180723672，

∴BCBK，

∴BCK即為所求作的三角形；

（2）解：如圖，連接BD，CE，交于點K，連接AK并延長交CD于M，則ABK或AEK即為所求；

理由：由（1）可得：BCCDDE，BCDCDE108，

∴CDB≌DCE，

∴BDCE，

同理：BCK≌EDK，

∴BKEK，CKDK，

∴AM是正五邊形ABCDE的對稱軸，

同理：BAEABC108，

∴BAKEAK54，

∵CBK36，

∴ABK1083672，

∴AKB180725454，

∴AKBBAK54，

∴BABK，

∴ABK即為所求作的等腰三角形，

同理可得：AEK即為所求作的等腰三角形．

【點睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，全等三

角形的判定與性質(zhì)，熟練的畫圖是解本題的關(guān)鍵．

20．（2025·上海嘉定·二模）已知正五邊形ABCDE，請僅．用．無．刻．度．的．直．尺．作圖，并完成相應的任務（保留作

圖痕跡，不寫作法）．

16

【初步感知】

（1）如圖1，請直接寫出ABE的度數(shù)；

【實踐探究】

（2）請在圖2中作出以BE為對角線的菱形ABME，并證明你的結(jié)論；

【拓展延伸】

（3）請在圖2正五邊形ABCDE的基礎(chǔ)上再設(shè)計一個新的正五邊形A1B1C1D1E1.（不需要證明）

【答案】（1）ABE36；（2）見解析；（3）見解析

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

（1）利用正五邊形與等腰三角形的性質(zhì)求解；

（2）連接BD，CE交于點M，四邊形ABME即為所求；

（3）各邊延長線的交組成的五邊形A1B1C1D1E1即為所求．

52180

【詳解】解：∵ABAE，A108，

5

1

∴ABEAEB18010836；

2

故答案為：36；

（2）如圖1所示，連接BD、CE相交于點M，菱形ABME為所求圖形，

證明：在正五邊形ABCDE中，每個內(nèi)角都相等且等于108，每條邊都相等，

可得ABE≌△CBD，從而ABECBD

∵AEAB，BAE108，

∴ABEAEB36，

∴CBD36，，

17

∴DBEABCABECBD108363636，

∴AEBDBE，

∴AEBD，

同理可證：AB∥CE.

∴四邊形ABME為平行四邊形，

又AEAB，

∴四邊形ABME為菱形.

（3）如圖，五邊形A1B1C1D1E1即為所求．

【類型5】正多邊形的實際應用

21．（23-24九年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，是中國人民銀行1992年發(fā)行的鋁鋅合金外圓內(nèi)凹九邊形立體

感極強的“菊花1角硬幣”．霖霖移動該硬幣（O）與直角三角形（DEF）形成如圖所示位置．其中，AB

是O內(nèi)接正九邊形的一條邊，DF經(jīng)過點B和圓心O，點C是DE與O的交點，AOCE90，

F50．

(1)求證：DE是O的切線；

(2)若EF切O于點G，且霖霖測得DE25mm，EF21mm，求該硬幣（O）的直徑為多長（精確到

0.1mm）．

【答案】(1)見解析

(2)該硬幣（O）的直徑為22.8mm

【分析】本題考查了正多邊形與圓，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識點是解題

的關(guān)鍵；

18

360

（1）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得中心角AOB40，進而得出BOCF得出CO∥EF則CODE，

9

即可得證；

（2）連接OG，證明四邊形OCEG是正方形，設(shè)O的半徑為r，證明DCO∽DEF，根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可求解．

【詳解】（1）解：∵AB是O內(nèi)接正九邊形的一條邊，

360

∴中心角AOB40，

9

∵AOCE90，

∴BOC50，EFDE，

∵F50，

∴BOCF，

∴CO∥EF，

∴CODE，

又∵CO是半徑，

∴DE是O的切線；

（2）解：連接OG，

∵EF切O于點G，

∴OGEF，

∴EOCEOGE90，

∴四邊形OCEG是矩形，

又∵OCOG，

∴四邊形OCEG是正方形，

設(shè)O的半徑為r，

∴CEOGr，

∵CO∥EF，

∴DCO∽DEF，

CODC

∴，

EFDE

19

r25r

∴，

2125

解得：r11.4，

∴該硬幣（O）的直徑為22.8mm．

22．（24-25九年級下·江蘇徐州·階段練習）今年假期，你有沒有和父母或者小伙伴一起走進影院去看一下

國漫電影《哪吒2》呀？影片中，玉虛宮的鎮(zhèn)宮之寶“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八邊

形”的宮殿，你想知道這座建筑有多大嗎？

問題一：要求出“正八邊形”的面積，我們可以把一個“正八邊形”均分成八個頂角為______度的等腰三角形；

問題二：VABC中，C90，A15，BC1，求VABC的面積和tan15的值分別是多少？（可以作AB

的中垂線DE交AC于D，交AB于E，則ADB為等腰三角形，BDC30）

問題三：若“正八邊形”的邊長AB為2a，求：正八邊形的面積．

32

【答案】問題一：45；問題二：1，23；問題三：882a．

2

【分析】本題考查正多邊形的有關(guān)運算，含30的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握含30的直角三角

形性質(zhì)和利用正方形的面積解決正八邊形的面積是解決本題的關(guān)鍵．

問題一：根據(jù)正八邊形分成的八個等腰三角形的頂角組成360，可得等腰三角形每個頂角的度數(shù)；

1

問題二：根據(jù)BDC30及BC的長可得CD和BD的長度，進而可得AD的長度，VABC的面積BCAC，

2

BC

tan15，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可；

AC

問題三：延長正八邊形的四條邊相交成正方形CDEF，則補充的四個小三角形為等腰直角三角形，求得正

方形的邊長后，正八邊形的面積正方形的面積4個等腰直角三角形的面積，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．

【詳解】解：問題一：八個等腰三角形的頂角組成360，

360

每個頂角的度數(shù)為：45，

8

故答案為：45；

問題二：作AB的中垂線DE交AC于D，交AB于E，

20

ADBD，

ABDA15，

BDCABDA30，

BC1，

BD2，CDBD2BC23，

AD2，

ACCDAD32，

113

S△BCAC1（32）1，

ABC222

1

tan1523；

23

問題三：如圖，延長正八邊形的四條邊相交成正方形CDEF，則補充的四個小三角形為全等的等腰直角三

角形，

正八邊形的邊長為2a，

∴BC2CG2BG2，

BC2a，

正方形CDEF的邊長為2a22a，

212

正八邊形的面積2a22a42a1282a24a2882a2．

2

23．（24-25九年級下·福建福州·期中）在綠化公園時，需要安裝一定數(shù)量的自動噴灑裝置，定時噴水養(yǎng)護

草坪．某公司準備在一塊邊長為20m的正方形草坪（圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又

盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計合適的安裝方案．

k

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為rm的圓面，噴灑覆蓋率，s為待噴灑區(qū)域面積，k為待

s

21

噴灑區(qū)域中的實際噴灑面積．

這個問題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學問題．

(1)如圖2，在該草坪中心位置設(shè)計安裝1個噴灑半徑為10m的自動噴灑裝置，該方案的實際噴灑面積

k___________，實際噴灑覆蓋率___________．

(2)如圖3，在該草坪內(nèi)設(shè)計安裝4個噴灑半徑均為5m的自動噴灑裝置；如圖4，設(shè)計安裝9個噴灑半徑均

1010

為m的自動噴灑裝置．．．以此類推，如圖5，設(shè)計安裝n2個噴灑半徑均為m的自動噴灑裝置，與（1）

3n

中的方案相比，采用這種增加裝置個數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出理由．

(3)如圖6，該公司設(shè)計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率1．已知

，2

正方形ABCD各邊上依次取點F，G，H，E，使得AEBFCGDH，設(shè)AExmO1的面積為ym，

求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求當y取得最小值時r的值．

【答案】(1)k100，

4

(2)不能提高噴灑覆蓋率，理由見解析

2

(3)yx1050，r52

2

【分析】（1）根據(jù)定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

（3）根據(jù)勾股定理求得x,r的關(guān)系，進而根據(jù)圓的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可

求解．

【詳解】（1）解：（1）當噴灑半徑為10m時，噴灑的圓面積sπr2π102100πm2．

∴k100；

正方形草坪的面積Sa2202400m2．

k100ππ

故噴灑覆蓋率．

s4004

22

2

（）解：對于任意的n，噴灑面積2102，而草坪面積始終為2．

2knnπ100πm400m

n

π

因此，無論n取何值，噴灑覆蓋率始終為．

4

這說明增加裝置個數(shù)同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用．

（3）如圖所示，連接EF，

k

要使噴灑覆蓋率1，即要求1，其中s為草坪面積，k為噴灑面積．

s

∴O1,O2,O3,O4都經(jīng)過正方形的中心點O，

在RtAEF中，EF2r，AEx，

∵AEBFCGDH

∴AF20x，

在RtAEF中，AE2AF2EF2

2

∴4r2x220x

2

x220x

∴yπr2π

4

π2

x1050

2

∴當x10時，y取得最小值，此時4r2102102

解得：r52．

【點睛】本題考查了正方形與圓，二次函數(shù)的應用，解決此類問題的關(guān)鍵在于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，

即如何將噴灑覆蓋率的計算問題轉(zhuǎn)化為面積計算和函數(shù)求解問題．同時，在解決具體問題時，需要靈活運

用已知的數(shù)學知識，如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數(shù)解析式求解等．最后，還需要注意將數(shù)

學計算結(jié)果還原為實際問題的解決方案．

23

一、單選題

1．（24-25九年級上·黑龍江綏化·期末）已知正多邊形的中心角是30度，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A．12B．10C．8D．6

【答案】A

【分析】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)

360

正多邊形的中心角的計算公式計算即可，中心角等于（n為邊數(shù)）．

n

360

【詳解】解：由題意得，這個正多邊形的邊數(shù)是12，

30

故選：A．

2．（23-24九年級上·青海果洛·期末）正六邊形的中心角為（）

A．120B．90C．60D．30

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形中心角定義．根據(jù)題意正多邊形中心角即為360除以正多邊形邊數(shù)即可選出

本題答案．

【詳解】解：∵是正六邊形，

360

∴中心角為：60，

6

故選：C．

3．（22-23九年級上·廣西河池·期末）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，則AOB的度數(shù)是（）

24

A．45B．60C．72D．90

【答案】C

360

【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的計算公式（n為正整數(shù)，n3）解答即可．

n

【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于O，

360

∴正五邊形ABCDE的中心角AOB72．

5

故選：C．

360

【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正n邊形的中心角的計算公式（n為正整數(shù)，n3）是解題的

n

關(guān)鍵．

4．（2025·廣西南寧·模擬預測）青秀山的龍象塔是南寧市的地標建筑之一，始建于明代萬歷年間．該塔為

八角九層，重檐磚結(jié)構(gòu)．如圖所示的正八邊形是龍象塔其中一層的平面示意圖，點O為正八邊形的中心，

則AOB的度數(shù)為（）

A．60B．54C．45D．30

【答案】C

【分析】本題考查求正多邊形中心角度數(shù)，掌握正n邊形中心角的計算公式360n是解題的關(guān)鍵．

用360除以正多邊形的邊數(shù)，計算即可．

【詳解】解：AOB360845

故選：C．

5．（2025·安徽合肥·三模）如圖，VABC是O的內(nèi)接正三角形，五邊形ADEFG是O的內(nèi)接正五邊形，

若線段BE恰好是O的一個內(nèi)接正n邊形的一條邊，則n的值為（）

25

A．15B．16C．17D．18

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，連接OB、OE、OF、OC，由題意可得EBCF，BOC120，

EOF72，由圓周角定理計算得出BOECOF24，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是

解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖：連接OB、OE、OF、OC，

由題意可得：EBCF，BOC3603120，EOF360572，

BOCEOF

∴BOECOF24，

2

∴若線段BE恰好是O的一個內(nèi)接正n邊形的一條邊，則n的值為3602415，

故選：A．

6．（2025·廣東惠州·模擬預測）如圖，O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點M，N，F(xiàn)分別是邊AE,AB,CD

與O的切點，則MFN的度數(shù)為（）

A．25B．36C．35D．40

【答案】B

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角，圓周角定理，連接OM,ON，求出A的度數(shù)，根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和為360度求出MON的度數(shù)，圓周角定理求出MFN的度數(shù)即可．

26

【詳解】解：∵正五邊形ABCDE，

52180

∴A108，

5

連接OM,ON，

由題意，得：ONAOMA90，

∴MON360909010872，

1

∴MFNMON36；

2

故選B．

7．（24-25九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）一個正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為3，則這個正六邊形的外接圓的半徑

為（）

A．23B．4C．33D．6

【答案】A

【分析】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形；設(shè)正六邊形的中心是O，一邊是AB，過O作OGAB于

G，在直角△OAG中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得邊長AB，從而求出周長．

【詳解】解：如圖，

360

作OGAB于G，由題意可得OAOB,AOB60,

6

AOG30，

在Rt△AOG中，OG3，AOG30，

OG3

OA23

cos303；

2

27

故選：A．

8．（24-25九年級下·福建漳州·階段練習）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的

花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，AB所在圓的圓心

C恰好是ABO的內(nèi)心，若AB23，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）為（）

168

A．πB．πC．16πD．8π

3