專題11二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：X大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1、二次函數(shù)yax2bxc(a0)與ya(xh)2k(a0)之間的相互關(guān)系

1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式y(tǒng)a(xh)2k我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱ya(xh)2k

為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式y(tǒng)ax2bxc．

2.一般式化成頂點(diǎn)式

22

22b2bbb

yaxbxcaxxcaxxc

aa2a2a

2

b4acb2

ax．

2a4a

b4acb2

對照ya(xh)2k，可知h，k．

2a4a

bb4acb2

∴拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是,．

2a2a4a

方法歸納：

bb4acb2

1．拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x，頂點(diǎn)坐標(biāo)是,，可以當(dāng)作公式

2a2a4a

加以記憶和運(yùn)用．

2．求拋物線yax2bxc的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種

方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．

【課前熱身】

1．（24-25九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）求二次函數(shù)y2x28x6的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值．

【答案】對稱軸x2，頂點(diǎn)坐標(biāo)2,14，最小值為14

【分析】本題主要考查求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸、最值，將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，即可求

出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸、最值．

【詳解】解：y2x28x62(x2)214，

對稱軸為直線x2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,14，

又a20，

該二次函數(shù)有最小值，最小值為14．

2．（24-25九年級(jí)上·吉林·期中）已知二次函數(shù)yx24x3．

2

(1)用配方法將其化為yaxhk的形式；

(2)寫出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．

2

【答案】(1)yx21

(2)拋物線與x軸的交點(diǎn)是(1,0)，3,0，與y軸交點(diǎn)是(0,3)

【分析】本題主要考查了把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)：

（1）利用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式即可；

（2）根據(jù)y0和x0求出對應(yīng)的x、y值，即可得到與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．

【詳解】（1）解：yx24x3

x24x41

2

x21；

2

（2）解：當(dāng)y0時(shí)，x4x30，解得：x13，x21；

當(dāng)x0時(shí)，y3，

故拋物線與x軸的交點(diǎn)是(1,0)，3,0，與y軸交點(diǎn)是(0,3)

知識(shí)點(diǎn)2、二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的畫法

1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；

2.簡易畫法：五點(diǎn)定形法.

其步驟為：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸．

(2)求拋物線yax2bxc與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對稱

軸的對稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．

方法歸納：

當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可

粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B，然后順次用

平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象

【課前熱身】

1．（21-22九年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的解析式y(tǒng)x22x3，補(bǔ)充下表，并根據(jù)表中的

數(shù)據(jù)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，利用描點(diǎn)法畫出這個(gè)二次函數(shù)的示意圖．

x…－3－2－101…

yx22x3…0_________0…

【答案】3、4、3，圖象見解析．

【分析】將x2、1、0分別代入二次函數(shù)解析式中，求出對應(yīng)的y值，再利用描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖

象即可．

【詳解】解：填表如下：

x…－3－2－101…

yx22x3…0－3－4－30…

描點(diǎn)、連線，如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)

的圖象是解題關(guān)鍵．

2．（22-23九年級(jí)上·北京東城·期末）已知二次函數(shù)yax2bxc部分自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值如下

表所示：

x…21012…

y…50343…

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)3x2時(shí)，y的取值范圍是____________．

【答案】(1)yx22x3

(2)畫圖見詳解

(3)12y4

【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）根據(jù)函數(shù)解析式，用描點(diǎn)法即可求解；

（3）根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖示，即可確定函數(shù)值的取值范圍．

【詳解】（1）解：當(dāng)x2時(shí)，y5；當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x0時(shí)，y3，

4a2bc5a1

∴abc0，解方程得b2，

c3c3

∴二次函數(shù)解析式為yx22x3．

（2）解：二次函數(shù)解析式為yx22x3，圖像如圖所示，

函數(shù)與x軸的交點(diǎn)是(1,0)，(3,0)，與y軸的交點(diǎn)是(0,3)，對稱軸為x1，符合題意．

（3）解：當(dāng)3x2時(shí)，根據(jù)（2）中圖示可知，

當(dāng)x3時(shí)，y(3)22(3)312；當(dāng)當(dāng)x1時(shí)，y122134；當(dāng)x2時(shí)，y222233．

∴當(dāng)3x2時(shí)，12y4．

【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)自變量求函

數(shù)取值范圍，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)3、二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象與性質(zhì)

2.二次函數(shù)yax2bxc(a0)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系

項(xiàng)目

字母的符號(hào)圖象的特征

字母

a＞0開口向上

a

a＜0開口向下

ab＞0(a，b同號(hào))對稱軸在y軸左側(cè)

b

ab＜0(a，b異號(hào))對稱軸在y軸右側(cè)

c=0圖象過原點(diǎn)

cc＞0與y軸正半軸相交

c＜0與y軸負(fù)半軸相交

b2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)

b2-4acb2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

b2-4ac＜0與x軸沒有交點(diǎn)

【課前熱身】

1．（2025·黑龍江佳木斯·二模）已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)0B．b0C．c0D．b24ac0

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握圖形開口，對稱軸直線，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的計(jì)算是關(guān)鍵．

根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口，對稱軸直線，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的知識(shí)判定即可．

【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下，

∴a0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

b

∵對稱軸直線為x0，

2a

∴b0，故B選項(xiàng)正確，符合題意；

∵二次函數(shù)圖象與y軸交于正半軸，

∴c0，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

∵二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴b24ac0，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B．

2．（24-25九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）若拋物線y2x24xc經(jīng)過點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(3,n)，試比較m與

n的大?。?/p>

【答案】mn

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出對稱軸為直線x1，再根據(jù)拋物線的開口向上，得出當(dāng)x1時(shí)，

y隨x的增大而增大，進(jìn)而可得出答案．

4

【詳解】解：拋物線y2x24xc的對稱軸為：直線x1，

22

又∵20，即拋物線的開口向上，

當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，

23，

mn．

3．（23-24九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線yx2mxn過點(diǎn)A與B2，0，與y軸交于

點(diǎn)C0，2．點(diǎn)D在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸l對稱．

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；

(2)求△BCD的面積．

1

【答案】(1)函數(shù)表達(dá)式為yx2x2，拋物線的對稱軸l為x

2

(2)1

【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函

數(shù)對稱軸的求解是解答本題的關(guān)鍵．

b

（1）將(2，0)，0，2代入yx2mxn，即可求得二次函數(shù)的解析式，再利用x即可求出對稱軸；

2a

（2）由拋物線的軸對稱性，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求得三角形的底邊和高，即可求出面積．

【詳解】（1）拋物線yx2mxn過點(diǎn)B2，0，C0，2，

042mn

將(2，0)，0，2代入，得，

n2

m1

解得，

n2

則該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2x2，

b11

，

2a212

1

即拋物線的對稱軸l為x；

2

（2）點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸l對稱，點(diǎn)C0，2，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，2，

CD1，且CD∥x軸．

1

S121．

BCD2

知識(shí)4、求二次函數(shù)yax2bxc(a0)的最大（?。┲档姆椒?/p>

b

如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最?。┲?，即當(dāng)x時(shí)，

2a

4acb2

y最值．

4a

要點(diǎn)歸納：

b

如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在

2a

b4acb2

此范圍內(nèi)，則當(dāng)x時(shí)，y最值，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的

2a4a

2

增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，y最大值ax2bx2c；當(dāng)x＝x1時(shí)，

2，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x時(shí)，2；當(dāng)

y最小值ax1bx1c1y最大值=ax1+bx1+c

2b

x＝x2時(shí)，y=ax+bx+c，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，x時(shí)y

最小值222a

值的情況．

【課前熱身】

1．（2025·遼寧撫順·二模）二次函數(shù)yx24x1的最小值是（）

A．3B．3C．5D．5

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，本題考查了將二次函數(shù)yx24x1寫成頂點(diǎn)式，即可得出答

案．

2

【詳解】解：yx24x1x23，

∴拋物線開口向上，

∴當(dāng)x2時(shí)，二次函數(shù)yx24x1有最小值是3，

故選：A．

2．（24-25九年級(jí)下·天津和平·開學(xué)考試）二次函數(shù)yx22x4的圖象開口向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，

當(dāng)3x2時(shí)y的取值范圍的是．

【答案】下1,511y5

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性和對稱性，確定出開口方向和頂點(diǎn)坐

標(biāo)從而判斷出取得最大值和最小值的情況是解題的關(guān)鍵．

首先配方成頂點(diǎn)式，然后得到開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,5，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可．

2

【詳解】解：∵yx22x4x15，

∵10，故開口向下；

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,5

∴3x2時(shí)，x1時(shí)取得最大值為5，

2

x3時(shí)取得最小值為y31511，

∴當(dāng)3x2時(shí)y的取值范圍的是11y5．

故答案為：下，1,5，11y5．

3．（24-25九年級(jí)上·河南平頂山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)

A(0,3),B(1,2),C(2,9)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若(5,n),(m,n)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，求m的值；

(3)當(dāng)3≤x≤3時(shí)，直接寫出y的取值范圍：．

【答案】(1)yx24x3

(2)m9

(3)18y7

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，求二次函數(shù)值，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，

對于（1），將這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式得出方程組，求出解即可；

對于（2），當(dāng)x5代入關(guān)系式求出y，再根據(jù)函數(shù)值相等求出x值即可；

對于（3），先求出對稱軸可得最大值，當(dāng)x3時(shí)，求出y值，進(jìn)而得出答案．

【詳解】（1）解：將點(diǎn)A(0,3),B(1,2),C(2,9)代入拋物線yax2bxc，得

c3

abc2，

4a2bc9

a1

解得b4，

c3

所以拋物線的關(guān)系式為yx24x3；

（2）解：當(dāng)x5時(shí)，n2520342，

當(dāng)n42時(shí)，42x24x3，

解得x19,x25，

∴m9；

（3）18y7．

解：拋物線的關(guān)系式為yx24x3(x24x)3(x2)27，

∴拋物線的開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有最大值7．

∵x2在3≤x≤3之間，

∴y的最大值為7，

∵3232，當(dāng)x3時(shí)，y18，

∴y的最小值為18，

∴y的取值范圍是18y7．

故答案為：18y7．

【類型1】把y=ax2+bx+c配成頂點(diǎn)式

111

1．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）二次函數(shù)yx2x的頂點(diǎn)在第________象限？

248

A．一B．二C．三D．四

【答案】A

【分析】本題考查拋物線的性質(zhì)，判斷點(diǎn)所在象限，熟練掌握頂點(diǎn)式二次函數(shù)的性質(zhì)是銀題的關(guān)鍵．

先將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)符號(hào)判斷其所在象限即可．

2

12111211115

【詳解】解：∵yxxxxx

2482282432

15

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,，

432

∴拋物線的頂點(diǎn)在第一象限．

故選：A．

2．（23-24九年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）用配方法求二次函數(shù)y2x28x7的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸．

【答案】二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2，1，對稱軸是直線x2

【分析】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：配方，得：y2x28x72x21，

所以，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2，1，對稱軸是直線x2．

3．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yx2k2xk（k為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

h,m．

(1)判斷點(diǎn)(1,-1)是否在該函數(shù)的圖象上，并說明理由．

1

(2)求證：hm．

4

【答案】(1)在，理由見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的圖象與性質(zhì)，配方法的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式和配方

法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

（1）求當(dāng)x1時(shí)，yx2k2xk的值，即可判斷；

（2）利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式求出h，m關(guān)于k的式子，再得出hm關(guān)于k的式子，再利用配方法求

最值即可．

【詳解】（1）解：點(diǎn)(1,-1)在該函數(shù)的圖象上，理由如下：

當(dāng)x1時(shí)，yx2k2xk1k2k1，

則點(diǎn)(1,-1)在該函數(shù)的圖象上；

（2）解：∵函數(shù)yx2k2xk（k為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是h,m，

2

k2k241kk2k24

∴h，m，

212414

2

k2k24k22kk11

∴hm，

2444

∵k為常數(shù)，

2

∴k10，

2

k111

∴hm．

44

【類型2】畫y=ax2+bx+c的圖象

4．（24-25九年級(jí)上·山西臨汾·期末）已知二次函數(shù)yx24x3．

(1)該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____________、_____________，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____________；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)yx24x3的大致圖象；

(3)當(dāng)1x4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍_____________．

【答案】(1)1,0；3,0；2,1

(2)見解析

(3)1y3

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象．

（1）把一般式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別令x0,y0求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）先確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象；

（3）結(jié)合二次函數(shù)圖象，寫出當(dāng)1x4時(shí)對應(yīng)的y的取值范圍．

【詳解】（1）解：令y0，則x24x30，

解得：x11,x23，

∴二次函數(shù)yx24x3圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是1,0，3,0，

2

∵yx24x3x21，

∴該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,1；

（2）解：列表：

x01234

y30103

描點(diǎn)，連線，如圖：

（3）解：由圖象可知，當(dāng)1x4時(shí)，1y3．

5．（24-25九年級(jí)上·北京·期中）已知二次函數(shù)yax2bxca0的圖象過點(diǎn)A0,3，B2,3，C1,0．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)補(bǔ)全表格，畫出二次函數(shù)的圖象；

x……

y……

(3)關(guān)于該二次函數(shù)，下列說法正確的有______．

①圖象開口朝下，頂點(diǎn)為1,4；

②當(dāng)x1時(shí)，y隨x增大而減??；

③當(dāng)0x3時(shí)，y的取值范圍為0y4；

④圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所形成的三角形面積為6．

【答案】(1)yx22x3

(2)見解答

(3)①④

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)圖象的畫法及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確

理解題意、準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式；

（2）取點(diǎn)描點(diǎn)連線繪制函數(shù)圖象即可；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)逐次求解即可．

【詳解】（1）解：由題意得：

c3

4a2bc3，

abc0

a1

解得：b2，

c3

則拋物線的表達(dá)式為：yx22x3；

（2）解：取點(diǎn)補(bǔ)全表格為：

x…10123…

y…03430…

如圖，

（3）解：①a1，則圖象開口朝下，由表格數(shù)據(jù)知，頂點(diǎn)為1,4，故①正確，符合題意；

②拋物線的對稱軸為直線x1，則當(dāng)x1時(shí)，y隨x增大而增大，故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③從圖象看，當(dāng)0x3時(shí)，y的取值范圍為0y4，故③錯(cuò)誤，不符合題意；

1

④圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所形成的三角形面積3136，故④正確，符合題意；

2

故答案為：①④．

【類型3】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象問題

6．（2025·陜西·一模）關(guān)于x的二次函數(shù)yax22axa1（其中a1）的圖象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)法圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)

開口方向，對稱軸，與x軸交點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】解：在yax22axa1a1中：

∵a1，

∴函數(shù)圖象開口向下．

2a

∵對稱軸為x1，

2a

∴函數(shù)對稱軸在y軸右側(cè)，C選項(xiàng)不正確，

令y0代入二次函數(shù)得ax22axa10，

則(2a)24a(a1)4a24a24a4a．

∵a1，

∴0，

∴方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即二次函數(shù)yax22axa1的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

2

設(shè)二次函數(shù)yax2axa1的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，

又∵a1，則a10,a0，

a1

∴xx20,xx0

1212a

∴二次函數(shù)yax22axa1的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸的右側(cè)，

∴只有D選項(xiàng)符合題意，

故選：D．

7．（2025·安徽六安·三模）如圖，拋物線yx22x2m（m為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸負(fù)半

軸交于點(diǎn)C，若當(dāng)xn時(shí)，y0，那么關(guān)于x的一次函數(shù)ymxn2的圖象可能是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意分析出m的正負(fù)，然后根據(jù)當(dāng)xn時(shí)，y0，求出n2的正負(fù)，即可得出答案．

2

【詳解】解：由二次函數(shù)圖像可知a0，c2m0，對稱軸x1，

2(1)

∴m0，

∵拋物線yx22x2m（m為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于-1，小于0；

∵點(diǎn)A，B關(guān)于x1對稱，

∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大于-2，小于-1．

∵當(dāng)xn時(shí)，y0，

∴2n1．

即n20．

∴一次函數(shù)ymxn2圖像經(jīng)過一、二、四象限．

∴C符合題意．．

故選C．

8．（24-25九年級(jí)上·陜西渭南·期中）如圖，已知拋物線yax2bxa0經(jīng)過A3,0，B4,4兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

2

(2)點(diǎn)C在拋物線yaxbxa0上，且在對稱軸右側(cè)，若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離．

【答案】(1)yx23x

(2)2

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式即可；

（2）把y2代入（1）中解析式求出x的值，然后求出拋物線的對稱軸，最后結(jié)合已知寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)

即可．

【詳解】（1）解：∵拋物線yax2bxa0經(jīng)過A3,0，B4,4兩點(diǎn)，

9a3b0

∴，

16a4b4

a1

解得，

b3

∴拋物線的解析式為yx23x；

（2）解：∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C在拋物線yx23x上，

∴2x23x，

解得x11，x22，

2

239

∵yx3xx，

24

3

∴對稱軸為直線x，

2

∵點(diǎn)C在對稱軸右側(cè)，

∴C2,2

∴點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離2．．

【類型4】關(guān)于y=ax2+bx+c性質(zhì)的敘述

9．（2025·廣東梅州·二模）對于二次函數(shù)yx22x4，下列說法正確的是()

A．當(dāng)x0，

y隨x的增大而減小B．當(dāng)x1時(shí)，y有最大值3

C．圖像的頂點(diǎn)1,3D．圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；把二次函數(shù)化為

2

頂點(diǎn)式y(tǒng)x13，根據(jù)頂點(diǎn)式即可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

2

【詳解】解：yx22x4x13，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,3，開口向下，對稱軸為x1，當(dāng)x1時(shí)y隨x的增大而減小，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤

當(dāng)x1時(shí)，y有最大值3，與x軸沒有交點(diǎn)，故C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，

故選：B．

1

10．（2025·陜西商洛·三模）已知二次函數(shù)yax22x（a為常數(shù)，且a0），下列結(jié)論中正確的是（）

2

A．對稱軸在y軸左側(cè)B．當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大

C．圖象一定不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn)．圖象與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)

【答案】C

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，確定二次函數(shù)的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．

由a的正負(fù)可確定出拋物線的開口方向，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．

21

【詳解】解：二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x，

2aa

∵a0，

1

∴x0，即對稱軸在y軸右側(cè)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

a

∵a0，

∴拋物線開口向上，

∴在對稱軸的右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側(cè)時(shí)，y隨x的增大而減小，

1

即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

a

1

當(dāng)x0時(shí)，y，

2

1

∴拋物線與y軸交于點(diǎn)0,，位于y軸正半軸，

2

∴圖象一定不經(jīng)過第三象限，故C選項(xiàng)正確，符合題意；

21

∵24a42a，

2

∵a0，

∴無法確定42a的正負(fù)，

即無法確定圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C

2x,y

11．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）已知拋物線yaxbx3a0經(jīng)過點(diǎn)4,3，點(diǎn)11，x2,y2在此

拋物線上，當(dāng)3x12，1x20時(shí)，y1y20恒成立，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．拋物線的對稱軸是直線x2

B．拋物線經(jīng)過點(diǎn)0,3

C．拋物線開口向上

3

D．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,

2

【答案】D

【分析】本題考查了把yax2bxc化成頂點(diǎn)式，二次函數(shù)yax2bxc的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求出

對稱軸．

先將點(diǎn)4,3代入拋物線解析式中，求得a與b的關(guān)系式，求出對稱軸，可判斷A；

利用對稱性可求出點(diǎn)4,3的對稱點(diǎn)，從而可判斷B；利用對稱性可求出點(diǎn)x2,y2的對稱點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)

3x12，1x20時(shí)，y1y20恒成立，分兩種情況畫出草圖，可判斷C；根據(jù)上述解析，得出當(dāng)x3

時(shí)，y0，求出a的值，可判斷D．

【詳解】解：∵拋物線yax2bx3a0經(jīng)過點(diǎn)4,3，

∴16a4b33，解得：b4a，

b4a

∴拋物線yax2bx3a0的對稱軸為x2，

2a2a

故A正確；

點(diǎn)4,3關(guān)于對稱軸x2的對稱點(diǎn)為0,3，故B正確；

∵拋物線的對稱軸為x2，點(diǎn)x2,y2在此拋物線上，且1x20，

∴點(diǎn)x2,y2關(guān)于對稱軸x2的對稱點(diǎn)為4x2,y2，且44x23，

當(dāng)y10，y20時(shí)，由題意描點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)x2,y2關(guān)于對稱軸x2的對稱點(diǎn)可知拋物線開口向上，

當(dāng)y10，y20時(shí)，由題意描點(diǎn)，不符合二次函數(shù)圖象，此種情況不存在，

則拋物線開口向上，故C正確；

∵當(dāng)4x3時(shí)，y0，當(dāng)3x2時(shí)，y0，

∴當(dāng)x3時(shí)，y0，

∴yax24ax39a12a30，

解得：a1，

2

∴yx24x3x21，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，故D錯(cuò)誤，

故選：D．

【類型5】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱性

12．（24-25九年級(jí)上·福建廈門·期中）二次函數(shù)yax2bxc的圖象上有兩點(diǎn)(3,4)和(5,4)，則此拋物

線的對稱軸是直線（）

A．x1B．x1C．x2D．x3

【答案】A

35

【分析】本題考查了已知拋物線上對稱的兩點(diǎn)求對稱軸，此拋物線的對稱軸是直線x1，即可求解；

2

【詳解】解：∵點(diǎn)(3,4)和(5,4)是拋物線上對稱的兩點(diǎn)，

35

∴此拋物線的對稱軸是直線x1，

2

故選：A

13．（2025·山東濱州·二模）已知拋物線yax2bxc上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：

x10123

y301m3

①拋物線開口向上；②拋物線的對稱軸為直線x1；③m的值為1；④圖象經(jīng)過一、二、四象限；⑤拋物

線在y軸左側(cè)的部分是上升的．上述結(jié)論中正確的是（）

A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握拋物線與系數(shù)的關(guān)系，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，對稱性，

增減性，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-1)，有最小值，判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸是直線

13

x1，判斷②；根據(jù)x0與x2對稱，判斷③；根據(jù)圖象過原點(diǎn)，對稱軸在原點(diǎn)右則，判斷④；

2

拋物線在直線x1右側(cè)的部分是上升的．判斷⑤．

【詳解】解：由表格可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-1)，有最小值，

∴拋物線yax2bxc的開口向上，

故①符合題意；

13

拋物線的對稱軸是直線x1，

2

故②符合題意；

當(dāng)x0或x2時(shí)，y0，

故m的值為0，

故③不符合題意；

∵圖象過原點(diǎn)，對稱軸為直線x1，拋物線的開口向上

∴圖象不過第三象限，圖象經(jīng)過一、二、四象限；

故④符合題意；

∵拋物線的開口向上，對稱軸為直線x1，

∴拋物線在直線x1右側(cè)的部分是上升的．

故⑤不符合題意．

∴符合題意的有①②④

故選：A．

14．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)yax2bxc自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列

數(shù)量關(guān)系：則代數(shù)式abc的值等于．

x…0123…

y…3139…

【答案】9

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，通過拋物線上點(diǎn)的

坐標(biāo)的特征求解．由表格可得拋物線對稱軸為直線x1，然后根據(jù)對稱性可求x1時(shí)y的值，進(jìn)而求解．

【詳解】解：由題可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)0,3，2,3，

02

∴拋物線對稱軸為直線x1

2

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)3,9，

∴x1時(shí)y9，

即abc9．

故答案為：9．

【類型6】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

15．（24-25九年級(jí)上·云南紅河·期中）求下列拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)(1,-1)；

(2)過點(diǎn)1,3，1,3，2,6；

(3)過點(diǎn)1,0，3,0，1,5；

(4)當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)值y取得最小值為1，且此函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)0,3．

【答案】(1)yx2

(2)yx22

5515

(3)yx2x

424

1

(4)yx22x3

4

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題

目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

（1）設(shè)拋物線解析式為yax2，再然后把1,1代入求出a即可；

（2）設(shè)拋物線解析式為yax2bxc，然后把1,3，1,3，2,6代入得三元一次方程組，解方程組即

可；

（3）設(shè)拋物線解析式為yax1x3，然后把1,5代入求出a即可；

2

（4）設(shè)拋物線解析式為yax41，然后把0,3代入求出a即可．

【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)在原點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線解析式為yax2，

把1,1代入得a1，

∴拋物線解析式為yx2；

（2）解：設(shè)拋物線解析式為yax2bxc，

∵拋物線過點(diǎn)1,3，1,3，2,6，

abc3

∴abc3，

4a2bc6

解得：a1，b0，c2，

∴拋物線解析式為yx22；

（3）解：∵拋物線過過點(diǎn)1,0，3,0，

∴設(shè)拋物線解析式為yax1x3，

把1,5代入得4a5，

5

解得a，

4

55515

∴拋物線解析式為yx1x3x2x；

4424

（4）解：∵當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)值y取得最小值為1，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為4,1，

2

∴設(shè)拋物線解析式為yax41，

把0,3代入得16a13，

1

解得a，

4

121

∴拋物線解析式為yx41x22x3．

44

2

16．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y1axbxa（a，b是常數(shù)，a0）．

(1)已知函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,2和2,1，求函數(shù)y1的表達(dá)式．

(2)若函數(shù)y1圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y22ax的圖象上，求證：b2a．

2

【答案】(1)y1x2x1

(2)見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．理解點(diǎn)在函數(shù)圖象上的含義是求解本題的關(guān)鍵．（1）將1,2和

b4a2b2

2,1代入函數(shù)表達(dá)式，解方程組即可；（2）先得出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo),，代入y22ax化簡，

2a4a

即可得出結(jié)論．

2

【詳解】（1）∵函數(shù)y1axbxa圖象經(jīng)過點(diǎn)1,2和2,1，

aba2

∴，

4a2ba1

a1

解得，

b2

2

∴y1x2x1；

222

（）∵2b4ab，

2y1axbxaax

2a4a

b4a2b2

∴頂點(diǎn),，

2a4a

∵y1圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y22ax的圖象上，

4a2b2b

∴2a，

4a2a

∴4a2b24ab，

2

∴2ab0，

∴b2a．

17．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c均為常數(shù)且a0）．

(1)若該函數(shù)圖象過點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(3,0)和點(diǎn)C(0,3)，求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若b2a1，c2，且無論a取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)yx22x3

(2)0,2，2,0

【分析】本題考查了二次函數(shù)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，無關(guān)型問題．

（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)，設(shè)二次函數(shù)在解析式為yax1x3，把C(0,3)代入

求解即可；

（2）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為yxx2ax2，根據(jù)定點(diǎn)與a的值無關(guān)，得到x0，x20，求出x值，代

入解析式，求出對應(yīng)的y值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．

【詳解】（1）∵二次函數(shù)圖象過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)，

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax1x3，

把C(0,3)代入，

得33a，

∴a1，

∴yx1x3x22x3

（2）若b2a1，c2，

則yax2bxcax22a1x2xx2ax2，

∴當(dāng)x0時(shí)，y2，當(dāng)x2時(shí)，y0，

∴若b2a1，c2，且無論a取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)0,2，2,0．

【類型7】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的平移問題

18．（23-24九年級(jí)上·山東淄博·期中）已知二次函數(shù)yx2mxn．

(1)請利用配方法推導(dǎo)出它的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如果將該二次函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，平移后的函數(shù)的對稱軸為y軸，求m的值．

mmm2

【答案】(1)二次函數(shù)的對稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,n

224

(2)m2

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是

熟知二次函數(shù)的性質(zhì)；

（1）通過配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而求解；

2

mm2

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得出新拋物線的解析式為yx1n2，然后由平移后的函數(shù)的對稱

24

m

軸為y軸得到10，最后求解即可．

2

【詳解】（1）解：配方：yx2mxnx2mxn

2222

2mmmm

xmxnxn，

2224

mmm2

所以二次函數(shù)的對稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,n；

224

2

mm2

（2）由題意得：平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為yx1n2，

24

m

所以對稱軸為x1，

2

因?yàn)槠揭坪蟮亩魏瘮?shù)對稱軸是y軸，

m

所以10，

2

解