2023年全國新高考n卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

I.在復(fù)平面內(nèi)，(1+31)(3一1)對應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

2.設(shè)集合4={0,-。},B={l,a-2,2a-2},若則。=().

2

A.2B.IC.-D.—1

3

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().

A髭種B.琮公種

cCE.C第種D.c%c品種

2r-|

4.若/(x)=(x+〃)In為偶函數(shù)，則。=()

A.-1B.0C.\D.1

5.已知橢圓C:土+9=1的左、右焦點(diǎn)分別為石，E,直線y=x+m與。交于人，B

3'

兩點(diǎn)，若△片面積是△5A8面積的2倍，則〃2=().

BaV2口2

AD.---cV.----U.

-1333

6.己知函數(shù)/(x)=ae'-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

1+5/5nhi?。z、

7.已知。為銳角，cosa=-----，則sin二=().

42

A3-岳R-1+5/5r3-6門

884

-1+/

8.記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若54=-5,56=21S2,則Sg=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,43為底面直徑，ZAPB=]20°,B4=2,點(diǎn)。

在底面圓周上，且二面角2一AC—O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46花

C.AC=2V2D.△P4C面積為G

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=—G（x—1）過拋物線C：y2=2px（p>（））的焦點(diǎn)，且與。

交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則（）.

Q

Ap=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.?OMN為等腰三角形

b

11.若函數(shù)/（x）=alnx+-+F（4H0）既有極大值也有極小值，則（）.

?XX

A.be>0B.cib>0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送（）時(shí)，收到1的概率為a（0<a〈l）,

收到0的概率為1-a；發(fā)送1時(shí),收到0的概率為夕（0<方<1）,收到1的概率為1-4考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是

指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號

即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,

則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-。）（1-尸尸

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到I,0,1的概率為夕（I-/?）?

2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為4(1-4)2+(1-〃)3

D.當(dāng)0＜。＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為。的概率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量〃，〃滿足卜一〃卜G卜+.=慳-〃|,則忖=.

14.底面邊長為4的正四梭錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

15.已知直線/：工一歿+1=0與OC:(x—iy+y2=4交于A,B兩點(diǎn)，寫出滿足“金。面

O

積為1”的〃?的一個(gè)值_____.

16.已知函數(shù)/(x)=sin(〃)x+0),如圖A,8是直線與曲線y=/(x)的兩個(gè)交點(diǎn),

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.記^ABC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為凡Ac,已知_ABC的面積為由，D為BC中點(diǎn),

且AO=1.

(1)若ZADC=—,求tanB；

3

(2)若/J?+/=8,求Ac.

a〃-6,〃為奇數(shù)

18.｛凡｝為等差數(shù)列,記S”，7；分別為數(shù)列｛4｝也｝的前〃

2q，〃為偶數(shù)

項(xiàng)和，§4=32,4=16.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

3

(2)證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)

過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

0.040.........................

0.036.........................

0.034.........................

0.012..................

0.01()----------------------------------

0.002二-0.002

^^95100105I0I5120125130<>^707585(JO95100105

患?。ノ椿嫉恼?/p>

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于

或等于。的人判定為陰性,此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為Me)；

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)

生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)：

⑵設(shè)函數(shù)/")=〃?+鼠c),當(dāng)c?95,105］時(shí),求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)

間［95,105］的最小值.

20.如圖，三棱錐A-8CQ中，DA=DB=DC,BD工CD,ZADB=ZADC=60?

E為BC餌點(diǎn).

(1)證明：BC上DA；

(2)點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角。一A8—/的正弦值.

4

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-26,0),離心率為逐.

(1)求。的方程；

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,過點(diǎn)(-4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點(diǎn),

M在第二象限，直線與N4交于點(diǎn)證明:點(diǎn)?在定直線上.

22.(1)證明：當(dāng)Ovxvl時(shí)，x—x2<sinx<x；

2

(2)已知函數(shù)/(x)=cosar-ln(l-A)>若x=。是“外的極大值點(diǎn)，求〃的取值范圍.

5

答案解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，（1+3I）（3T）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

［詳解】因?yàn)椋╨+3i）（3-i）=3+8i-W=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.

故選:A.

2.設(shè)集合A={0,—a},B=—2,2a—2},若4=8,則。=（）.

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2〃一2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)锳q3,則有：

若。一2=0,解得〃=2,此時(shí)A={0,-2},B={l,0,2},不符合題意；

若2。一2=0,解得〃=1,此時(shí)A={0,-l},B=符合題意：

綜上所述：a=l.

故選：B.

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，

擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有4（X）名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C：*?C盛種B.c：Mc藍(lán)種

北種D.竦。（北種

6

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x竺^=40人，高中部共抽取

600

“200”

60x---=20,

600

根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C北C舞種.

故選：D.

2r-|

4.若/(x)=(x+a)ln:滔工為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.OC.jD.I

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)?(幻為偶函數(shù)，則/(1)=/(一l)".(l+〃)lng=(-1+。)比3,解得。=0,

G[11

當(dāng)4=0時(shí)，/(x)=xln——,(2x-l)(2x+l)＞0,解得%＞萬或x＜一一,

2x-f"12

則其定義域?yàn)榛蜿P(guān)于原點(diǎn)對稱.

\2(一/2x+l/、(2x-lY'2x-l/、

故此時(shí)/(X)為偶函數(shù).

故選：B.

5.已知橢圓C:弓+)/=1的左、右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn);,直線y=x+〃[與。交于4B

兩點(diǎn)，若面積是△8A3面積的2倍，則，〃=().

A2R收「垃n2

A.-15.C.----------L).

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關(guān)于〃，方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線丁=1+〃2與橢圓聯(lián)立,消去丁可得4/+6〃氏+3〃『一3=0,

—+y2=l

13

因?yàn)橹本€與橢圓相交于AB點(diǎn)，則△=36，/-4x4(3，〃2—3)>0,解得一2Vm<2,

設(shè)下到AB距離4,每到A3距離F2,易知川―及,0儲(chǔ)(a,0),

\-y]2+m\|&+川

貝ija.=-----產(chǎn)——，a.=-----產(chǎn)一，

V2V2

|-A/2+m\

S/AB>/2I-42+mI6T6穴

—J—=-泠-----=—7=-----=2,解得"2=-二一或一3)2(舍去)，

SfAI回生II/+加|37

6.已知函數(shù)/(x)=ae'-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

2-1-2

A.eB.eC.eD,e

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/'(x)=oe'一,之。在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，r(%)=ae*—,20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe-L

xa

設(shè)g(x)=xeF?l,2),所以g)力=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故e2,，即。即。的最小值為e".

ae

故選：C.

8

7.已知。為銳角，cos0=1+',貝ijsin4=().

42

3->/5-1+逐「3-^5口

A.------o.--------L.------1J.

884

-1+4

—

【答案】D

【解析】

【分析［根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l-2sin2q=L：5,而。為銳角，

24

解得：sinq=B_］(6-1)_y/5-l.

故選：D.

8.記S“為等比數(shù)歹ij｛q｝的前〃項(xiàng)和，若Sq=-5,S6=21S2,則Sg=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)邑,§8的關(guān)系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,首項(xiàng)為％,

若4=1,則§6=6%=3x2q=3S?,與題意不符，所以qwl；

由S「5,邑=2電可得，"，)二一5,—)=2］「(~2)①,

1-q1—QI-q

由①可得，1+/+寸=21,解得：夕2=4,

所以Sx:40一夕)X(1+/)=_5X(1+16)=_85.

故選：C.

9

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4，

因?yàn)椤?二-5,S6=2152,所以夕工一1,否則，=0,

從而，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比數(shù)列,

2

所以有，(-5-S2)=S2(2IS2+5),解得：§2=-1或S2=(,

當(dāng)§2=-1時(shí),52,54—S2,56—54,58—56,即為一1,一4,一16,Sg+21,

易知，S8+21=-64,即a二一85；

當(dāng)s?時(shí)，$4=q+&+/+q=(《+a2)(]+q2)=(]+q2)s2＞。，

與§4二-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是

把握S4,§8的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,A8為底面直徑，ZAPB=120°,24=2,點(diǎn)C

在底面圓周上，且二面角。一4。一。為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=242D.△PAC的面積為G

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D

選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=\20°,PA=2,所以O(shè)P=1,04=08=6，

A選項(xiàng)，圓錐的體積為gx兀x(6『xl=7r,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀xGx2=2g兀，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接ODPO,

10

則AC1OD.AC1PD,所以NHX7是二面角P—AC—O的平面角，

則NPDO=45。，所以O(shè)P=QQ=1,

故AD=CD=y/^i=6,則AC=2及，C選項(xiàng)正確：

2

D選項(xiàng)，p[)=yj[+p=72?所以s=：*2及乂夜=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=—J5(x—1)過拋物線。：丁=2川(〃>0)的焦點(diǎn)，且與C

交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則().

Q

A.P=2B.=：

C.以MN為直徑的圓與/相切D._OMN為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得〃，根據(jù)弦長公式求得|MN|,根據(jù)圓與等腰三角形的

知識(shí)確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)：直線y=-Ji(x-l)過點(diǎn)(1,0),所以拋物線。：丁=2川(〃>°)的焦

點(diǎn)”(1,0),

所以_|=1,〃=2,2〃=4,則A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為)，2=4x.

B選項(xiàng)：設(shè)M(與，)[),%(七,力)，

,「一百('T)消去了并化簡得3f_10x+3=(x_3)(3x_l)=0,

由，

y~=4x

ii

解得X1=3,占=—，所以=%+9+p=3~i—F2=—,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

333

C選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A,M,N,A到直線/的距離分別為4,4/,

因?yàn)閐=：(4+4)=；(|M/|+|陰)=1MM，

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以AW為直徑的圓與直線/相切，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)：直線)，=-j3(x—1),即J3x+-V3=0,

叵，

。到直線6+y-拓=0的距離為〃=]

T，

所以三角形OMN的面積為_Lx嶼x立二4g

-----9

2323

，一可卜卜醇

由上述分析可知X=—6(3-1)=-26

_出2十儂1—姮

所以|。根=/2+卜26『=5,|0叫

一心尸13廠3

所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

y

V

片-V5(x-i)

bc/

11.若函數(shù)/(x)=〃lnx+—+工0)既有極大值也有極小值，則().

XX

A.bc>()B.ab>0c.b2+8戊>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

12

【分析】求出函數(shù)/*）的導(dǎo)數(shù)/’（龍），由已知可得/（力在（0,+8）上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)

化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

bc

【詳解】函數(shù)/（x）=alnx+—+F的定義域?yàn)椋?,+8）,求導(dǎo)得

ab2c_ax2-bx-2c

xx~x

因?yàn)楹瘮?shù)/*）既有極大值也有極小值,則函數(shù)/（x）在（0,+8）上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，而4。0,

因此方程度2-"-2c=0有兩個(gè)不等的正根百，七，

A=/?2+Sac>0

于是?X]=2>（）,即有〃2+8“。>0，ab>0,acvO,顯然a%c<0，即Z?c<0,

a

2c八

xix2=---->0

A錯(cuò)誤，BCD正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到I的概率為a（0<a〈l）,

收至。的概率為1一。；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為尸（0<〃<1）,收至IJ1的概率為1一夕.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是

指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號

即為譯碼：三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到I,0,1,

則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-。）（1-夕）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1概率為尸（1一尸尸

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為尸（1-尸尸+（1-四舊

D.當(dāng)0vav0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方

案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】

13

【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及G斥事件的概率

計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,I,則依次收到1,0,I的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送I接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為（1一萬）（1一。）（1-0=（1-。）（1一萬）2,人正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為（1一萬）/?（1一尸）="1一月）2,B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,1,1的事件和，

它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為C；"I—/?）?+（］一/）3=（1一/）2（］+24），C

錯(cuò)誤；

對于D,由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=（l-a）2（l+2a）,

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為。的概率〃=1一a,而Ova<0.5,

因此P—P'=（l—a）2（l+2a）—（l—a）=a（l—a）（l—2a）>0,即D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。，h滿足卜一〃=百，。+/?=2。一〃，則忖=.

【答案】G

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令1=￡—?，結(jié)

合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因?yàn)椴?*"一可，即,=（2〃-”,

則a+2ab+b=4a-4ab+bf整理得a-2a-/?=0?

14

又因?yàn)?一匕|二6,即（〃一人『二3,

貝叱-2/+^』2=3,所以M=3

rrrrrrrrr

法二：設(shè)\=「J,則卜|=6,。+〃=￡+2/?,2〃一/?=26+〃，

由題意可得:1+時(shí)傘+印則沫+4■+』=點(diǎn)+4」+，2,

整理得：1J2,即M=R=石.

故答案為：石.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,高為3

的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法

二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.

21

【詳解】方法一：由于二二不，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺(tái)的體積為32—4=28.

方法二：棱臺(tái)的體積為gx3x（16+4+Ji菽4）=28.

故答案為：28.

15

E

15.已知直線/：工一用），+1=（）與OC:（x-l『+y2=4交于人8兩點(diǎn)，寫出滿足“53。面

Q

積為g”的W的一個(gè)值_____.

【答案】2（2,-2,1,一《中任意一個(gè)皆可以）

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長|4同，以及點(diǎn)C到直線A8的距離，結(jié)合面

積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)。到直線A4的距離為d，由弦長公式得|C3|=2j4—/,

所以％A*=：xdx2j4_d2=§,解得：心正或d二正,

2555

11+11224622\/5

由d=I,,所以I_==----或}-----==----?解得：，九=±2或

J1+"J1+"+5V1+/7725

m=±—.

2

故答案為：2（2,-2，!，-1中任意一個(gè)皆可以）.

22

16.已知函數(shù)/（x）=sin（s+e）,如圖A,B是直線1y=；與曲線y=/（x）的兩個(gè)交點(diǎn),

乙

若|4切=g則/（兀）=.

6

16

【解析】

【分析】設(shè)A內(nèi),771X.,-，依題可得，9-內(nèi)=￡，結(jié)合sinx==的解可得，

V27k2762

27rC、

一X）=f'從而得到①的值,再根據(jù)/彳兀=。以及/（0）<。，即可得

3\,3）

(2)

f(x)=sin4x--7i,進(jìn)而求得了（兀）.

k)

1\、

【詳解】設(shè)A內(nèi),彳,Bx2,-,由=F可得

\2/\2766

Iji5兀

由sinx=—可知，x=—+2也或工=—+2E,keZ,由圖可知,

266

啰%+0-?X+0）=搟”已=:，即0（與一X）=g，「.0=4.

因?yàn)?|^J=sin（8兀）八87r8

廢+力0,所以——+0=4兀，即9=——71+kn,keZ.

33

<8.(2

所以/(x)=sin4x——n+kn=sin4x——兀+%兀

<3I3

2)(2)

所以〃x)=sin4X--K或〃X)=-sin4x——n.

\J，I3J

（2\o、％

又因?yàn)榱刷?lt;0,所以/（x）=sin4X--TC,.?.〃7i）=sin4兀一*兀=--.

13JI3J2

故答案為：-立.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/（工）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角

函數(shù)的右關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的二角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

17

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.記的內(nèi)角A氏C的對邊分別為凡4c,已知.ABC的面積為6，D為BC中點(diǎn)、,

且4)=1.

7T

(1)若Z.ADC=—,求tanB：

3

(2)若〃+c2=8，求也c.

【答案】(1)立；

5

(2)b=c=2.

【解析】

【分析】(】)方法1,利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利

用三角形面積公式求出。，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出〃，再利用三角形面積公式求出/AQC即可求解作答；方

法2,利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出。，再利用三角形面積公式求出NADC即可求解作答.

【小問1詳解】

71

方法1：在L48c中，因?yàn)?。?C中點(diǎn)，ZADC=-,AD=\,

x\x-ax—=—a=—S=—?解得a=4,

2282A"Ic{C2

在△A8D中，,由余弦定理得，=8。2+八。2一28〃-A〃COS44。打，

即C2=4+1-2X2X1X(-')=7,解得。=近，則COSBJ=T二里,

2277x214

sinB=Vl-cos2B=

14

18

所以tanB=%g=@

cos85

方法2：在金。中，因?yàn)椤锽C中點(diǎn)，ZADC=^~,AD=\,

3

則530=14。.0。$吊/4。。二,*1乂14乂立=且〃='5'180=立，解得〃二4,

八"L2222g2八DL2

在i.ACD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD?ADcosZADB，

即尸=4+l-2x2xlx4=3,解得力=道，有4。2+4。2=4=。。2,則/CAO=3，

7Cch5

。二一，過A作A￡_L3C于E，于是CE=ACcosC=±,AE=ACsinC=二，BE=二,

6222

言匚1“nAEA/S

所以tanB==?

BE5

【小問2詳解】

方法I：在△A3。與.4。力中，由余弦定理得

c2=—a2+1-2X,QX1XCOS("N4QC)

b2=—a2+l-2x—6/xlxcosZADC

42

整理得;。2+2=/?2+02,而〃2+c、2=8，則。=26，

1C

又SA*=—xJ5xlxsinNA￡)C=^^,解得sinN4QC=1,而0<ZADC<TI,于是

ADC22

ZADC=-

2t

所以〃=2,

方法2：在金。中，因?yàn)镈為8C中點(diǎn)，則2AD=A8+AC，又C8=A8—AC，

于是4AC)2+C82=(A8+AC)2+(A8—AC)2=2S2+C2)=16，即4+/=16,解得

a=25

19

又sA"='xJixlxsinNAOC=@，解得sinNAOC=l,而0</4。€<兀，于是

A,K22

ZADC=~,

2

所以力=￡=>/心+5=2?

18.｛4｝為等差數(shù)列，2=?*，*偶數(shù)，記S“，1分別為數(shù)列｛%｝,也｝的前〃

項(xiàng)和，§4=32,4=16.

（1）求也｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn>Sn.

【答案】⑴%=2〃+3；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d，用表示S.及7；,即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，b”,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出7；,并與S“作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S”，bH,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式

求出「，并與S”作差比較作答.

【小問1詳解】

an-6,〃=2Z-1

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，而〃=<JGN4,

2?！?〃=2k

則bx=4-6也=2a2=2q+2d,&=/一°=4+2d-6,

⑸=4q+6d=32

于是…Sir?解得4=5,"=2，an=a,+(zz-l)t/=2/z+3,

[7j=4at+44-12=16

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是?！?2〃+3.

【小問2詳解】

20

/2(5+2/2+3)2〃-3,〃=2攵-1

方法I：由（1）知，S==iV+4〃，bn=*，&￡N,

n24〃+6,〃=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，btt_}+bn=2(77-1)-34-4/7+6=6/7+1,

?13+(6〃+1)n327

I=--------------=—n+—n,

“2222

37i

當(dāng)〃〉5時(shí)，4—S”=(3，/+3〃)—(〃“+4〃)=彳〃(〃—1)>0,因此[>S“，

3735

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn+]-bn+l=—(H+I)+—(/?+1)—1)+61=—n~+—n—5-

351

當(dāng)〃〉5時(shí)，7；-S”=(-/+_〃-5)-(/J+4〃)=一(〃+2)(〃-5)>(),因此7；〉S〃，

所以當(dāng)〃>5時(shí)，T“>S〃.

…LL,LC〃(5+2〃+3)、,2〃一3,〃=2Z—1，

方法2：由(1)知，Stl=-----------=n~+4〃GN,

24n+6,n=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

-1+2(/?-1)-3n14+4〃+6〃327

(=(仇+仇+…+〃1)+“2+2+…+2)=—=—n+一〃

~2~22222

37I

當(dāng)〃〉5時(shí),7；,-\=(-n2+-/?)-(/?2+4n)=-H(/?-l)>0,因此（>S”,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，若〃之3,則

—1+2〃一3n+114+4(〃-1)+6n—\

4=色+仇++2)+(4+"+'..+%)22~22~

3535

=_/+一〃-5,顯然工=a=-1滿足上式，因此當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，(=一〃2+一〃一5,

2222

35I

當(dāng)〃〉5時(shí)，7；,-\=(-?2+-//-5)-(/?2+4?)=-(H+2)(H-5)>0,因此7；>5”,

所以當(dāng)〃〉5時(shí)，T“>S〃.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)

過大后調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

21

ca

^x

au

o

o.o

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于

或等于C的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為Me）；

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為夕（C）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)

生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率〃（。=0.5%時(shí)，求臨界值c?和誤診率“（c）：

（2）設(shè)函數(shù)/?=〃?+q（