應(yīng)力應(yīng)變分析第1頁(yè)，共57頁(yè)?！?0應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§10.1應(yīng)力的概念一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1.內(nèi)力在變形體內(nèi)某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡(jiǎn)化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點(diǎn)，描述內(nèi)力的狀況。xyz第2頁(yè)，共57頁(yè)。

A

A在P點(diǎn)取面元

A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點(diǎn)處定義：m-m截面上P點(diǎn)的正應(yīng)力m-m截面上P點(diǎn)的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點(diǎn)的全應(yīng)力

應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa第3頁(yè)，共57頁(yè)。2.變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過(guò)物體內(nèi)部的某一點(diǎn)的一個(gè)截面有關(guān)過(guò)物體內(nèi)部某點(diǎn)p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述第4頁(yè)，共57頁(yè)。§10.2應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1.單元體的概念變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長(zhǎng)無(wú)限小的體積微元在直角坐標(biāo)系下，單元體為無(wú)限小正六面體xyzxyz單元體的三對(duì)表面：正面：外法向與坐標(biāo)軸同向負(fù)面：外法向與坐標(biāo)軸反向單元體是變形體的最基本模型第5頁(yè)，共57頁(yè)。2.應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的應(yīng)力矢量（全應(yīng)力），可分解為三個(gè)分量每對(duì)表面上的應(yīng)力矢量互為反作用力，共9個(gè)分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標(biāo)相同——正應(yīng)力兩腳標(biāo)不同——切應(yīng)力第6頁(yè)，共57頁(yè)。故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則第7頁(yè)，共57頁(yè)。3.單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過(guò)其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量9個(gè)分量中，只有6個(gè)獨(dú)立分量！第8頁(yè)，共57頁(yè)?！?0.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡(jiǎn)化為平面單元體：xy第9頁(yè)，共57頁(yè)。例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體第10頁(yè)，共57頁(yè)。1.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意外法線與為n的斜截面上的應(yīng)力分量。第11頁(yè)，共57頁(yè)。已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn

求該點(diǎn)外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開(kāi)取分離體，設(shè)斜面面積為dA

nt同理可得：第12頁(yè)，共57頁(yè)。斜面應(yīng)力公式（10.1）(10.2)xyn

第13頁(yè)，共57頁(yè)?！?0.4主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1.主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(10.2)0~2內(nèi)，得兩個(gè)值和，且（10.3）主方向公式即這兩個(gè)主平面相互垂直第14頁(yè)，共57頁(yè)。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式（10.1）令即（10.3）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值即主應(yīng)力分別對(duì)應(yīng)于

的極大值和極小值將

P1，

P2代入（10.1）得出主平面上的主應(yīng)力為：（10.4)主應(yīng)力公式第15頁(yè)，共57頁(yè)。以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒(méi)有切應(yīng)力對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個(gè)主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力：

按代數(shù)值大小排列為

1

2

3分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力，第16頁(yè)，共57頁(yè)。對(duì)任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零——該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力為零——該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有二個(gè)主應(yīng)力為零——該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為

1，極小值為

3第17頁(yè)，共57頁(yè)。單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)第18頁(yè)，共57頁(yè)。2.某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(10.2)上式的兩個(gè)解S1，

S2為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面

S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向?yàn)镾1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：

P

S45ox

Pi第19頁(yè)，共57頁(yè)。注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即（10.5）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面第20頁(yè)，共57頁(yè)。而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為

1，3兩方向的角平分線方向。

3

2

1

max思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？

=？第21頁(yè)，共57頁(yè)。已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫(huà)出主單元體。解：xy例題1§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：故三個(gè)主應(yīng)力分別為第22頁(yè)，共57頁(yè)。求主方向：例題1§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題第23頁(yè)，共57頁(yè)?！?0.5應(yīng)力圓一點(diǎn)處平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法。xy由斜面應(yīng)力公式可得(b)(a)上兩式兩邊平方后相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標(biāo)系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)第24頁(yè)，共57頁(yè)。圓心()圓的半徑：R應(yīng)力圓的畫(huà)法：xy已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標(biāo)Dx（）y面坐標(biāo)Dy（）兩點(diǎn)連線與軸的交點(diǎn)為圓心C以CDx為半徑畫(huà)出應(yīng)力圓第25頁(yè)，共57頁(yè)。應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力xy

角以逆時(shí)針為正R2

第26頁(yè)，共57頁(yè)。因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過(guò)角，對(duì)應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy

2

第27頁(yè)，共57頁(yè)。從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，主切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向：方向最大切應(yīng)力：第28頁(yè)，共57頁(yè)。yx單元體的主應(yīng)力、主方向、主切應(yīng)力第29頁(yè)，共57頁(yè)。（2）純剪切（純剪）TT

主單元體45o

-第30頁(yè)，共57頁(yè)。幾種工程上常見(jiàn)的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮

單拉-

單壓

第31頁(yè)，共57頁(yè)。某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫(huà)出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例題2§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題第32頁(yè)，共57頁(yè)。解：例題2§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題與

2對(duì)應(yīng)主應(yīng)力為：與

1對(duì)應(yīng)D

第33頁(yè)，共57頁(yè)。主單元體：例題2§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題第34頁(yè)，共57頁(yè)。已知應(yīng)力圓如圖，畫(huà)出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例題3§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題初始單元體xy半徑第35頁(yè)，共57頁(yè)。主單元體：例題3§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題xy112.5°第36頁(yè)，共57頁(yè)。xzy§11.5三向應(yīng)力狀態(tài)將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列因此根據(jù)每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個(gè)相互垂直的主應(yīng)力和3個(gè)正交的主方向xzy第37頁(yè)，共57頁(yè)。三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力K第38頁(yè)，共57頁(yè)。求，，，解：在，平面內(nèi)例題4§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題為一個(gè)主應(yīng)力第39頁(yè)，共57頁(yè)。一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§11.6應(yīng)變分析1.某點(diǎn)處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz正應(yīng)變——線段單位長(zhǎng)度的改變量，無(wú)量綱切應(yīng)變——直角的改變量，單位：弧度

某點(diǎn)處的應(yīng)變——二階對(duì)稱應(yīng)變張量第40頁(yè)，共57頁(yè)。在，坐標(biāo)下2.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的）單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的絕對(duì)變形量xyxyxy第41頁(yè)，共57頁(yè)。在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點(diǎn)各個(gè)方位應(yīng)變的情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)第42頁(yè)，共57頁(yè)。應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式（10.1）(10.2)第43頁(yè)，共57頁(yè)。類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向第44頁(yè)，共57頁(yè)。應(yīng)變花：可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的。可用于實(shí)驗(yàn)測(cè)定一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°第45頁(yè)，共57頁(yè)。胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比§11.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.單向應(yīng)力狀態(tài)橫向應(yīng)變

縱向應(yīng)變

1第46頁(yè)，共57頁(yè)。在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量

可證明2.純剪應(yīng)力狀態(tài)第47頁(yè)，共57頁(yè)。只有作用時(shí)3.廣義胡克定律只有作用時(shí)只有作用時(shí)只有作用時(shí)第48頁(yè)，共57頁(yè)。故某點(diǎn)為任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：第49頁(yè)，共57頁(yè)。對(duì)主單元體第50頁(yè)，共57頁(yè)。已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變：求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題第51頁(yè)，共57頁(yè)。解：則例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題設(shè)xy第52頁(yè)，共57頁(yè)。整理后例題5§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律第53頁(yè)，共57頁(yè)。某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點(diǎn)測(cè)得與x軸夾角為-45?方向上的正應(yīng)變是，已知，求解：

例題6§10

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

例題