2021屆四校聯(lián)合第三次適應(yīng)性考試高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求．1．本試卷共6頁，包含選擇題（第1題～第12題，共12題）和非選擇題（第13題～第22題，共10題）兩部分．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題（第1題～第12題），必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題（第13題～第22題），必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．（命題：興化中學(xué)高三數(shù)學(xué)組徐州一中高三數(shù)學(xué)組審核：南京十三中高三數(shù)學(xué)組致遠(yuǎn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)組）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）1．設(shè)集合，，則A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，，則A．1 B．2 C．3 D．43．某班45名同學(xué)都參加了立定跳遠(yuǎn)和100米跑兩項(xiàng)體育學(xué)業(yè)水平測試，立定跳遠(yuǎn)和100米跑合格的人數(shù)分別為30和35，兩項(xiàng)都不合格的人數(shù)為5．現(xiàn)從這45名同學(xué)中按兩項(xiàng)測試分別是否合格分層抽出9人進(jìn)行復(fù)測，那么抽出來復(fù)測的同學(xué)中兩項(xiàng)都合格的有A．1人 B．2人 C．5人 D．6人4．如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時(shí)太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），為該地的緯度值．已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即．北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北緯，若某天的正午時(shí)刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為A．北緯 B．南緯C．北緯 D．南緯5．已知函數(shù)，則的大致圖象為A． B．C． D．6．已知，，，則A．n＞m＞p B．p＞n＞m C．m＞n＞p D．n＞p＞m7．已知、分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的上支交于點(diǎn)，若過原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，，，則雙曲線的漸近線方程為（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）A． B． C． D．8．新型冠狀病毒肺炎（COVID－19）疫情爆發(fā)以來，中國人民萬眾一心，取得了抗疫斗爭的初步勝利．面對(duì)秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險(xiǎn)，某地防疫防控部門決定進(jìn)行全面入戶排查，過程中排查到一戶5口之家被確認(rèn)為新冠肺炎密切接觸者，按要求進(jìn)一步對(duì)該5名成員逐一進(jìn)行核酸檢測．若任一成員出現(xiàn)陽性，則該家庭定義為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性相互獨(dú)立，且概率均為p(0＜p＜1)．該家庭至少檢測了4人才能確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，當(dāng)p＝p0時(shí)，f(p)最大，此時(shí)p0＝A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。9．在中，，，，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象11．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．若MN＝2，則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為πB．若N到直線BB1與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線C．若D1N與AB所成的角為60°，則N的軌跡為雙曲線D．若MN與平面ABCD所成的角為60°，則N的軌跡為橢圓12．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n(n∈N*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn，則下列結(jié)論正確的是A．p2＝eq\f(16,27)，q2＝eq\f(7,27)B．?dāng)?shù)列{2pn＋qn－1}是等比數(shù)列C．Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)＝(n∈N*)D．?dāng)?shù)列{pn}的通項(xiàng)公式為pn＝(n∈N*)（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)和拋物線C：，過C的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的方程為▲．14．已知四面體滿足：，，則四面體外接球的表面積為▲．15．楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合．如圖所示的楊輝三角中，從第3行開始，每一行除1以外，其他每一個(gè)數(shù)字都是其上一行的左、右兩個(gè)數(shù)字之和．若在楊輝三角中存在某一行，滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比為4∶5∶6，則這一行是第▲行．16．如圖，C60是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的碳原子簇，其結(jié)構(gòu)是以正五邊形和正六邊形組成的凸32面體，則C60結(jié)構(gòu)中正六邊形個(gè)數(shù)為▲．這60個(gè)C原子在空間進(jìn)行排列時(shí)，形成一個(gè)化學(xué)鍵最穩(wěn)定的空間排列位置，恰好與足球表面格的排列一致，因此也被稱為足球烯．根據(jù)雜化軌道的正交歸一條件，兩個(gè)等性雜化軌道的最大值之間的夾角(0＜≤180°)滿足式中α，β，γ，δ分別為雜化軌道中s，p，d，f軌道所占的百分?jǐn)?shù)．已知C60中的雜化軌道為等性雜化軌道，且無d，f軌道參與雜化，碳原子雜化軌道理論計(jì)算值為sp2.28，它表示參與雜化的s，p軌道數(shù)之比為1∶2.28，由此可計(jì)算得C60中兩個(gè)等性雜化軌道的最大值之間的夾角的正弦值為▲．（本題第一空2分，第二空3分．）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在①B＝2C，②sinA＝sinB·sinC，③csinB＝3這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的面積為S，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b＝5，8S＝(a＋b)2－c2，__________？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）18．（本小題滿分12分）紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和溫度x（℃）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖．現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：252.8964616842268848.4870308表中；；；；（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程（計(jì)算過程中四舍五入保留兩位小數(shù)），并求溫度為34℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值．參考數(shù)據(jù)：，，．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足(n∈N*)，且．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使成立的最小正整數(shù)n的值．20．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，，，，，，，．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．22．（本小題滿分12分）已知橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)．經(jīng)過點(diǎn)F1且傾斜角為的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），△ABF2的周長為8．（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）折疊后折疊前折疊后折疊前（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面AF1F2）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面BF1F2）互相垂直．①若，求異面直線AF1和BF2所成角的余弦值；②是否存在，使得折疊后△ABF2的周長為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．徐州一中興化中學(xué)致遠(yuǎn)中學(xué)南京十三中2021屆四校聯(lián)合第三次適應(yīng)性考試高三數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A8．D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。9．BCD 10．BD 11．BC 12．BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分（第16題第一空2分，第二空3分），共20分。13．x－y－1＝0 14． 15．98 16．20四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）選條件①，存在這樣的三角形，；選條件②，存在這樣的三角形，；選條件③，不存在這樣的三角形．18．（本小題滿分12分）（1）應(yīng)該選擇模型①．由于模型①殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會(huì)越高，故選模型①比較合適．（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）（2）令，z與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，則.，所以，則z關(guān)于x的線性回歸方程為.于是有，所以產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為當(dāng)時(shí)，（個(gè)）所以，在氣溫在34℃時(shí)，一個(gè)紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)的預(yù)報(bào)值為245個(gè)．（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）19．（本小題滿分12分）（1）由①可得，當(dāng)時(shí)，②，①－②得，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，所以為等差數(shù)列．又，所以，又，所以，所以．（2）由（1）可得，，所以．要使，只需，解得，又，所以n的最小值為8．20．（本小題滿分12分）（1）在四棱錐中，連接交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∴.又，則，∴，又平面，且平面，∴平面.（2）點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為.由得，又，，得平面，則，由得，由（1），得，由得，由（1），得，，則，又，，得平面，則.∵，，，∴底面，是三棱錐的高.（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）∵，，，，則，∴，∵，∴，，由，得，解得.21．（本小題滿分12分）（1），令，，則.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，，為增函數(shù)，故，即的最小值為1.（2）令，，則本題即證當(dāng)時(shí)，恒成立.①當(dāng)時(shí)，若，則由（1）可知，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即恒成立；若，則，在上為增函數(shù)，又，，故存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù).又，，故存在唯一使得.（命題人：江蘇省徐州市第一中學(xué)趙嘉鈺江蘇省興化中學(xué)姚楷）故時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù).又，，所以時(shí)，，為增函數(shù)，故，即恒成立；②當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得.則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，此時(shí)，與恒成立矛盾.綜上所述，a的取值范圍為.22．（本小題滿分12分）（1）因?yàn)榈闹荛L為8，所以.由題意得所以橢圓的方程為.（2）①由直線與聯(lián)立求得，（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以