專題06一元二次方程的應(yīng)用（8大類型精準(zhǔn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題

審→設(shè)→列→解→驗(yàn)→答.即：

(1)審：審清題目的各量之間的關(guān)系：

(2)設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，可直接設(shè)也可間接設(shè)：

(3)列：根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出方程；

(4)解：求出未知數(shù)的值：

(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解的正確性及是否符合實(shí)際情況；

(6)答：寫(xiě)出應(yīng)用題的答案

知識(shí)點(diǎn)2：常見(jiàn)相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示方法

1.傳播問(wèn)題

比賽問(wèn)題：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)．

傳播問(wèn)題：a(1x)nA，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A

表示最終的人數(shù)．

2.增長(zhǎng)率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的

次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：

平均增長(zhǎng)率公式為a(1x)nb(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問(wèn)題：

平均降低率公式為a(1x)nb(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

1

3.面積問(wèn)題

此類問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的

面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

4.數(shù)字問(wèn)題

(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，

它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、

9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單

位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上

數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

題型5：利潤(rùn)（銷售）問(wèn)題

利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題

利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

【課前熱身】

1．保障國(guó)家糧食安全是一個(gè)永恒的話題，任何時(shí)候這根弦都不能松，某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地，大力開(kāi)展種子實(shí)驗(yàn)，

讓農(nóng)民得到高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，該農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地兩年前有81種農(nóng)作物，經(jīng)過(guò)兩年不斷的努力培育新品種，

現(xiàn)在有100種農(nóng)作物種子，若這兩年培育新品種數(shù)量平均年增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意列出符合題意的方程是

()

A．100(1x)81B．100(12x)81C．81(1x)2100D．81(1x)2100

2．有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則

下列結(jié)論不正確的是()

A．第一輪后共有(x1)個(gè)人患了流感

B．第二輪后又增加x(x1)個(gè)人患流感

C．依題意可以列方程1xx(1x)121

D．按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有1000人患流感

2

3．如圖是一張長(zhǎng)8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的正方形，可制成底面積是18cm2

的一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么x滿足的方程是()

A．404x218B．(82x)(52x)18

C．402(8x5x)18D．(82x)(52x)9

4．參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽定了一份合同，所有公司共簽定了45份合同，共有多少家

公司參加商品交易會(huì)？

5．兩個(gè)正方形，小正方形的邊長(zhǎng)比大正方形邊長(zhǎng)的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形面積的2倍少

32cm2，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

6．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？

7．某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．若每件商品的售價(jià)為x元，則可賣出(35010x)件，但

物價(jià)局限定每件商品的售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的120%．若該商店計(jì)劃從這批商品中獲取400元利潤(rùn)（不計(jì)其他

成本），問(wèn)需要賣出多少件商品，此時(shí)的售價(jià)是多少？

【題型1】傳播問(wèn)題

1．（23-24九年級(jí)上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81人患了流感，那么每

輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為（）

A．8人B．9人C．10人D．11人

3

2．（23-24九年級(jí)上·湖北黃石·期中）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的分

支，主干，分支和小分支的總數(shù)是57，則每個(gè)支干長(zhǎng)出（）根小分支

A．5B．6C．7D．8

3．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）“埃博拉”病毒是一種能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生“出血熱”的烈性傳

染病毒，傳染性極強(qiáng)．一個(gè)美國(guó)人在非洲旅游時(shí)不慎感染了“埃博拉”病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有64人受

到感染．

(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？

4．（24-25九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）化學(xué)是一門(mén)以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，小華在化學(xué)老師的幫助下，學(xué)會(huì)了

用高錳酸鉀制取氧氣的實(shí)驗(yàn)，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的x名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，第

二節(jié)課小華因家中有事請(qǐng)假了，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了x名同學(xué)，這樣全班43名

同學(xué)恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了．求x的值．

【題型2】握手、循環(huán)比賽問(wèn)題

5．（21-22九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）學(xué)校要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)．根

據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)

x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為（）

11

A．xx128B．xx128C．xx128D．xx128

22

6．（24-25九年級(jí)上·貴州遵義·期中）一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都相互握一次手，有人統(tǒng)計(jì)一共握

手45次，則這次會(huì)議參加的人數(shù)是（）

A．7B．10C．12D．20

7．（24-25九年級(jí)上·廣東江門(mén)·期中）某航空公司有若干個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，每?jī)蓚€(gè)飛機(jī)場(chǎng)之間都開(kāi)辟一條航線，一

共開(kāi)辟了10條航線，求航空公司共有多少個(gè)飛機(jī)場(chǎng)？

4

8．（24-25九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）以下是我市熱點(diǎn)新聞，請(qǐng)你從中挖掘數(shù)學(xué)信息，解決相關(guān)問(wèn)題：

(1)熱點(diǎn)新聞1：2024年國(guó)慶期間，我市某景區(qū)接待游客約64.8萬(wàn)人次，接待游客量再創(chuàng)新高，繼續(xù)推動(dòng)我

市旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展．

數(shù)據(jù)顯示，2022年該景區(qū)接待游客約45萬(wàn)人次，若該景區(qū)每年接待游客人數(shù)的增長(zhǎng)率相同，則年平均增長(zhǎng)

率為多少？

(2)熱點(diǎn)新聞2：2024“望陶杯”江西省首屆“NBA”籃球選拔賽在景德鎮(zhèn)市成功舉辦，經(jīng)歷小組賽、淘汰賽的多

輪角逐，黑貓集團(tuán)代表隊(duì)奪得了本次比賽的冠軍．

小組賽賽制為單循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），已知小組賽共進(jìn)行比賽28場(chǎng)，則此次參賽一共有多少個(gè)球

隊(duì)？

【題型3】增長(zhǎng)率問(wèn)題

9．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）11月28日起江蘇省正式上線購(gòu)買手機(jī)最高補(bǔ)貼15%的優(yōu)惠活動(dòng)，

某品牌手機(jī)店為響應(yīng)政府優(yōu)惠政策，進(jìn)行了兩次降價(jià)，由3999元降為3399元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)

平均每次降價(jià)的百分率為x，可列方程得（）

A．3999(12x)3399B．3999(12x)3399

C．3999(1x)23399D．3999(1x)23399

10．（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）目前，新能源汽車在中國(guó)市場(chǎng)已進(jìn)入快速普及階段，某企業(yè)2024年

的電動(dòng)汽車銷量是20萬(wàn)輛，計(jì)劃在兩年內(nèi)使電動(dòng)汽車的年銷量達(dá)到40萬(wàn)輛，設(shè)在這兩年中銷量的年平均

增長(zhǎng)率為x，則可列方程．

11．（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）某種商品原價(jià)為100元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，發(fā)現(xiàn)第二次降價(jià)后

的價(jià)格為81元．若兩次降價(jià)的百分率相同，求降價(jià)的百分率．

12．（24-25九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）為豐富學(xué)生課后活動(dòng)，學(xué)校成立了“課外閱讀社團(tuán)”，并且不斷

完善藏書(shū)數(shù)量，今年3月份課外閱讀社團(tuán)有藏書(shū)500冊(cè)，到今年5月份藏書(shū)數(shù)量增長(zhǎng)到720冊(cè)．

(1)求課外閱讀社團(tuán)這兩個(gè)月藏書(shū)的平均增長(zhǎng)率．

(2)按照這樣的增長(zhǎng)方式，今年6月份課外閱讀社團(tuán)的藏書(shū)量是多少冊(cè)？

5

【題型4】面積問(wèn)題

13．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)70m，寬40m的長(zhǎng)方形花園中，欲修寬度相等的觀

賞路（如陰影部分所示），要使空白部分面積是2450m2，若設(shè)路寬為xm，則x應(yīng)滿足的方程是（）

A．40x70x350B．402x703x2450

C．402x703x350D．40x70x2150

14．（24-25九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)用28米長(zhǎng)的籬笆圍成的矩形菜園ABCD，一邊靠墻

（墻長(zhǎng)15米），并在BC邊上開(kāi)一道2米寬的門(mén)（門(mén)不使用籬笆），若設(shè)AB為x米．

(1)BC的長(zhǎng)為米（用含x的代數(shù)式表示）

(2)當(dāng)菜園的面積為112m2時(shí)，求AB的長(zhǎng)

(3)菜園的面積能為120m2嗎？若能，求出AB的長(zhǎng)，若不能，說(shuō)明理由．

15．（24-25九年級(jí)上·貴州黔東南·期中）現(xiàn)有可建造60m圍墻的材料，準(zhǔn)備依靠原有舊墻圍成如圖所示的

倉(cāng)庫(kù)，墻長(zhǎng)為am．

(1)若a50，能否圍成總面積為225m2的倉(cāng)庫(kù)？若能，AD和AB的長(zhǎng)分別為多少米？

(2)能否圍成總面積為400m2的倉(cāng)庫(kù)？說(shuō)說(shuō)你的理由．

6

16．（24-25九年級(jí)上·吉林·期中）如圖，在矩形空地ABCD上，修建兩條平行于AB邊、一條平行于BC邊

的小路，3條路等寬，其余部分鋪草坪．已知AB的長(zhǎng)為20m，AD的長(zhǎng)為32m，鋪草坪的單價(jià)是100元/m2，

鋪草坪的總價(jià)為57000元，求每條小路的寬度.

【題型5】銷售問(wèn)題

17．（2025·山西呂梁·二模）太原的名優(yōu)特產(chǎn)老陳醋醋香四溢，具有軟化血管等功效．一位經(jīng)銷商在直播平

臺(tái)經(jīng)營(yíng)某種老陳醋禮盒，其進(jìn)價(jià)為每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20盒．若該經(jīng)銷商想要平均每天獲利2240元，每盒老

陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)多少元？若設(shè)每盒老陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

xx

A．70x50100202240B．70x50100202240

22

xx

C．70x50100202240D．70x50100202240

22

18．（23-24九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元/個(gè)的臺(tái)燈以40元/個(gè)的價(jià)格銷售，每月能

售出600個(gè)，調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的銷售單價(jià)每上漲1元，其月銷售量就會(huì)減少10個(gè)．規(guī)定該臺(tái)燈的銷售

單價(jià)不得低于40元且不得超過(guò)60元．為了實(shí)現(xiàn)這種臺(tái)燈的月銷售利潤(rùn)為10000元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多

少元？

19．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)．某商店

以每件25元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件40元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，

6月份的銷售量為400件．

(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；

(2)從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該件吉祥物每降價(jià)1元，月銷售量

就會(huì)在6月的銷量基礎(chǔ)上增加5件．當(dāng)該件吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)4250元．

7

20．（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）重慶2023年馬拉松于3月19日在南濱路開(kāi)賽，為了重慶馬拉松的

順利進(jìn)行，組委會(huì)委托甲乙兩個(gè)廠家共同生產(chǎn)紀(jì)念T恤．根據(jù)調(diào)研統(tǒng)計(jì)，甲廠每小時(shí)生產(chǎn)T恤80件，乙廠

每小時(shí)生產(chǎn)T恤100件．

(1)若甲、乙兩廠一天一共工作20個(gè)小時(shí)，且共生產(chǎn)1820件T恤，則乙廠生產(chǎn)T恤多少小時(shí)？

(2)在（1）的條件下，為了滿足組委會(huì)的需求，甲廠生產(chǎn)時(shí)間每減少1小時(shí)，該廠每小時(shí)的產(chǎn)量將增加10

件，乙廠生產(chǎn)時(shí)間不變，產(chǎn)量也不變，這樣一天兩廠的總產(chǎn)量仍為1820件，求甲廠減少的生產(chǎn)時(shí)間．

【題型6】數(shù)字問(wèn)題

21．（24-25九年級(jí)上·福建莆田·期中）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME14）在中國(guó)上海舉行，會(huì)徽（如

圖）的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)

數(shù)符號(hào)寫(xiě)出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有07共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)

3745換算成十進(jìn)制是3837824815802021，表示ICME14的舉辦年份．小婷設(shè)計(jì)了一個(gè)m進(jìn)

制數(shù)165，換算成十進(jìn)制數(shù)是96，則m的值為（）

A．12B．7C．6D．5

22．（24-25九年級(jí)上·湖南懷化·期末）已知一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是個(gè)位上的數(shù)字的2倍，十位上的

數(shù)字的平方與個(gè)位上的數(shù)字的9倍之和正好是這個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是．

23．（24-25九年級(jí)上·吉林松原·期中）《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文朵風(fēng)流，雄

姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩(shī)歌，“大江東去浪淘盡，千古

風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”請(qǐng)你求周瑜去

世的年齡．（友情提示：周瑜去世的年齡大于二十七歲．）

8

24．（24-25九年級(jí)上·黑龍江雙鴨山·期末）如圖所示的是2025年1月的日歷表，用虛線方框按如圖所示的

方法任意圈出四個(gè)數(shù)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題．

(1)若虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)．

(2)虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為80嗎？若能，請(qǐng)求出最小數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由．

【題型7】幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

25．（24-25九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，Rt△ABC中，C90，AC8，BC6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)

向終點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出

發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止，則（）秒后，CPQ的面積等于5．

A．1B．5C．1或5D．2或4

9

26．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·階段練習(xí)）如圖，VABC中，DB=90°，AB6cm，BC8cm，點(diǎn)P從A

點(diǎn)開(kāi)始沿AB向B點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，那么秒

后，線段PQ將VABC分成面積2:1的兩部分．

27．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，VABC中，DB=90°，AB12mm，BC24mm，動(dòng)點(diǎn)

P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)開(kāi)始沿邊BC向C以4mm/s

的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合），如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，問(wèn)四邊形APQC的面積能否等于172m2，

若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，說(shuō)明理由．

28．（24-25九年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始

以1cm/s的速度沿AB邊向B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)．如果P、Q分別從A、

B同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t．求：

(1)當(dāng)t為多少時(shí)，△PQD的面積等于8cm2？

(2)當(dāng)t為多少時(shí)，△PQD是以PD為斜邊的直角三角形？

【題型8行程問(wèn)題】

29．（24-25九年級(jí)上·河南周口·期末）汽車在公路上行駛，它行駛的路程skm和時(shí)間ts之間的關(guān)系式為

s3t218t，那么行駛120km，需要的時(shí)間為（）

10

A．10sB．sC．4sD．3s

3

10

30．（24-25九年級(jí)上·遼寧錦州·期末）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立。甲行率七，乙行

率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲、乙行各幾何，”大意是說(shuō)：已知甲、乙二人同時(shí)從同一

地點(diǎn)出發(fā)，甲每單位時(shí)間走7步，乙每單位時(shí)間走3步．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏

東方向走了一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？若設(shè)相遇時(shí)，甲、乙行走了x個(gè)單位時(shí)間，

則下面由題意所列方程正確的是（）

2222

A．3x1027x10B．3x7x10102

2222

C．7x1023x10D．7x3x10102

31．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）一輛汽車以30米/秒的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急

剎車后汽車又滑行30米后停車．

(1)則在這段時(shí)間內(nèi)的平均車速為多少？從剎車到停車用了多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)從剎車到停車平均每秒車速減少多少？

(3)汽車滑行20米時(shí)用了多長(zhǎng)時(shí)間？

32．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）今年年初一美麗的白鵝潭江而進(jìn)行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙

花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點(diǎn)之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當(dāng)晚該公園附近路段

實(shí)施了交通管制，甲先將車開(kāi)到距離自己家20千米的停車場(chǎng)后，再步行2千米到達(dá)目的地，共花了1小時(shí)．此

期間，已知甲開(kāi)車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．

(1)求甲開(kāi)車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？

(2)乙是騎車前往與他家相距8千米的目的地，若乙騎車的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小時(shí)

（a0），乙騎車時(shí)間比甲開(kāi)車時(shí)間多a小時(shí)，求a的值．

11

一、單選題

1．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）我縣2019年的平均房?jī)r(jià)為每平方米7000元，受疫情等因素的影響，

2021年平均房?jī)r(jià)下降到每平方米6400元，設(shè)我縣房?jī)r(jià)的年平均下降率為x．根據(jù)題意可得方程為（）

22

A．70001x6400B．70001x6400

C．700012x6400D．700012x6400

2．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）在一次同學(xué)聚會(huì)上，參加聚會(huì)的所有人都相互握手相見(jiàn)，握手總

次數(shù)為45次，則參加聚會(huì)的人數(shù)為（）

A．9B．10C．19D．20

3．（24-25九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，小紅想用長(zhǎng)為60m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）

圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(mén)（建在EF處，另用其他材料）．當(dāng)羊圈的面積

為600m2時(shí)，AB的長(zhǎng)為多少米？設(shè)矩形ABCD的邊ABxm，根據(jù)題意所列的方程是（）

A．x622x600B．x602x600

C．x582x600D．x60x600

4．（24-25九年級(jí)上·山東聊城·期末）葡萄中含有多種維生素，可以幫助抗氧化，保護(hù)細(xì)胞不受自由基的侵

害，延緩衰老，增強(qiáng)免疫力，保護(hù)心臟健康，深受消費(fèi)者喜愛(ài)，某超市以每千克9元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批葡萄，

然后以每千克12元的價(jià)格出售，一天可售出100千克，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每千克的售價(jià)每降低0.1元，一天

可多出20千克，要想一天盈利500元，若設(shè)超市需要將每千克的售價(jià)降低x元，則可列方程為（）

A．12x1002010x500B．129x10020x500

C．9x1002010x500D．129x1002010x500

12

5．（24-25九年級(jí)上·河北保定·期末）《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有二人同所立．甲行率六，乙行

率四．乙東行，甲南行十步而邪東北與乙會(huì)．問(wèn)：甲、乙行各幾何？”大意是說(shuō)：已知甲、乙二人同時(shí)從同

一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4．乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了

一段后與乙相遇．那么相遇時(shí)，甲走了多少步（）

A．26B．30C．32D．36

6．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，DB=90°，AB16cm，AC20cm，點(diǎn)

M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC向點(diǎn)C以3cm/s的速度

移動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△MBN的面積為45cm2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）

A．2sB．3sC．4sD．5s

二、填空題

7．（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）兔熱病是一種傳播速度很快的人獸共患傳染病，又稱土拉菌病或鹿蠅

熱，一輪傳染時(shí)間為一天．某養(yǎng)兔場(chǎng)某天發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只兔子患有這種病，若每例病兔

子傳染健康兔子的只數(shù)均為x，則x．

8．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期末）據(jù)售車市場(chǎng)信息聯(lián)席會(huì)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)新能源車發(fā)展迅速，2024年8

月至10月，燃油車月銷量由72萬(wàn)輛減少到64萬(wàn)輛．設(shè)2024年8月至10月新能源車銷量的月平均降低率

為x，則可列方程．

9．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）為了喜迎周年慶，物美超市籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊邊

長(zhǎng)為xm的正方形空地上搭建舞臺(tái)，并設(shè)計(jì)了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺(tái)．舞臺(tái)區(qū)域的寬均為5m，

中間空白部分的面積為50m2，則該正方形空地的邊長(zhǎng)為米．

10．（2024·云南昆明·一模）如圖三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)

點(diǎn)第n行有n個(gè)點(diǎn)，已知前k行共有210個(gè)點(diǎn)，則k的值為．

13

11．（24-25九年級(jí)上·山西大同·期末）山西作為“小雜糧王國(guó)”譽(yù)滿全國(guó)，小米尤為出名，素有“中國(guó)小米在

山西，山西小米數(shù)第一”的美譽(yù)．某店鋪銷售一批箱裝小米（如圖），每箱的進(jìn)價(jià)為80元，售價(jià)為120元，

每天可銷售20箱．春節(jié)期間，為了讓利于顧客，該店鋪計(jì)劃降價(jià)銷售，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，單價(jià)每降低1元，

每天可多銷售2箱，則該店鋪每天可獲得的最大利潤(rùn)為元．

12．（24-25九年級(jí)上·湖南湘西·期中）數(shù)學(xué)老師設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)畫(huà)游戲，如圖所示，甲、乙

兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程lcm與時(shí)間ts滿

13

足關(guān)系：lt2tt0，乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為21cm．甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第三

22

次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了秒．

三、解答題

13．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）有一個(gè)人患了某種流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100人患了此流感．

(1)每輪傳染中平均一人傳染了幾人？

(2)如果此流感未得到及時(shí)控制，按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后一共有多少人患此流感？

14

14．（24-25九年級(jí)上·重慶渝北·期中）某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2022年該類服裝的出廠價(jià)是200元/件，2023

年、2024年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2024年該類服裝的出廠價(jià)調(diào)整為128元/件．

(1)這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分比相同，求平均下降率．

(2)2024年某商場(chǎng)從該服裝廠以出廠價(jià)購(gòu)進(jìn)若干件此類服裝，以166元/件銷售時(shí)，平均每天可銷售20件．為

了減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144

元，為了盡快減少庫(kù)存，單價(jià)應(yīng)降低多少元？

15．（24-25九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用

50米長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)為