第1講二次根式與勾股定理（12大核心考點(diǎn)）

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專(zhuān)練，全面突破

知識(shí)點(diǎn)1二次根式的概念與性質(zhì)

1．二次根式的有關(guān)概念

一般地，我們把形如_________________的式子叫做二次根式，“”稱(chēng)為二次根號(hào)．

注意：

（1）必須含有二次根號(hào)“，“”的根指數(shù)為2，即“2”，我們一般省略根指數(shù)2，寫(xiě)作“”．

（2）被開(kāi)方數(shù)必須是________，如3和a23都不是二次根式．

（3）二次根式中的被開(kāi)方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子．

（4）式子a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a≥0，a≥0．二次根式具有_______________性．

1

2.二次根式的性質(zhì)：

（1）．

a___(a0)

（2）．一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)

(a)2______(a0)

（3）．一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

____(a0)

a2a0(a0)

____(a0)

（4）(a0,b0)．積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積

ab______

（5）(a0,b0)．兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根

a

______

b

3．最簡(jiǎn)二次根式

被開(kāi)方數(shù)不含________；被開(kāi)方數(shù)中不含__________________________________．我們把滿(mǎn)足上述兩個(gè)

條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．

最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化

為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．

知識(shí)點(diǎn)2二次根式的有關(guān)計(jì)算

1.二次根式的乘法：

（1）．

ab______(a0，b0)

（2）逆用：

ab______(a0，b0)

（3）推廣：①

abc______(a0，b0，c0)

abcdabcd(a0，b0，c0，d0)

②

abcd______(b0，d0)

a2a(a0)

2．二次根式的除法：

（1）

a

______(a0，b0)

b

（2）逆用：

a

______(a0，b0)

b

（3）推廣：①

abc______(a0，b0，c0)

②，其中a0，b0，n0．

(ma)(nb)______

2

3．二次根式的加減

（1）法則：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成_____________，再將_____________的二次根式

進(jìn)行合并．

（2）步驟：

①將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；

②找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；

③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變．

（3）注意：

①化成最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分．

②整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號(hào)法則、添括號(hào)法則在二次根式運(yùn)算中仍然適用．

③根號(hào)外的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化為假分?jǐn)?shù)的形式．

4．二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先

算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．

（2）在二次根式的運(yùn)算中，有理數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公

式）仍然適用．

（3）二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)二次根式或整式．

知識(shí)點(diǎn)3勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于_____________.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜

邊長(zhǎng)為c，那么_____________.

注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線(xiàn)段長(zhǎng)可以建立方程求解，這

樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

22

222222

（3）理解勾股定理的一些變式：acb，bca，cab2ab.

知識(shí)點(diǎn)4勾股定理證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中，所以.

3

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中，所以.

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

知識(shí)點(diǎn)5勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足_____________，那么這個(gè)三角

形就是直角三角形．

說(shuō)明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿(mǎn)足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．

（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合

其他已知條件來(lái)解決問(wèn)題．

注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的

兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．

考點(diǎn)一：二次根式的有關(guān)定義

1

例1．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）

23x

2322

A．xB．xC．xD．x

3233

4

【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（）

A．4B．5C．2D．39

2．（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期中）下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

1

A．0.2B．C．4D．5

3

3．（24-25八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）若最簡(jiǎn)二次根式1x與12可以合并，則x的值為．

考點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)

2

例2．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）若x2，則x2∣3x∣．

【變式訓(xùn)練】

4．（24-25八年級(jí)下·重慶長(zhǎng)壽·期中）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，則化簡(jiǎn)

(a)2(ba)2(ab)2為（）

A．3aB．2ba

C．a(chǎn)2bD．a(chǎn)2b

2

5．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）若5x5x，則x的取值范圍是（）．

A．x5B．x5C．x5D．x5

6．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）將一組數(shù)2，2，6，22，10，23，…，2n，…，按以下

方式進(jìn)行排列：則第八行左起第2個(gè)數(shù)是（）

第一行2

第二行26

第三行221023

……

A．72B．82C．415D．215

考點(diǎn)三：二次根式的計(jì)算

例3．（2025八年級(jí)下·湖北·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：

11

(1)123+2-32+3；(2)4831224．

3()()2

5

【變式訓(xùn)練】

2

7．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：2323．

8．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）計(jì)算：

12

(1)12327；(2)212132．

3

9．（2025八年級(jí)下·內(nèi)蒙古·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：

1

0

13153

(1)121231；(2)277373．

25

考點(diǎn)四：二次根式的求值

例4．（24-25八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：a25，b52．

(1)求a2b2ab的值；

m

(2)若m為a整數(shù)部分，n為b小數(shù)部分，求的值．

n

【變式訓(xùn)練】

51

10．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）若x，則代數(shù)式x33x2x5的值為．

2

20002001

11．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）已知yx22x3，則xyxy的值

為．

1

12．（24-25八年級(jí)下·江西新余·期中）小明在解決問(wèn)題：已知a，求2a28a1的值，他是這樣分

23

析與解答的：

123

a23．a(chǎn)23．

232323

222

a23，即a24a43．a(chǎn)24a1，2a8a12a4a12111．

請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：

6

1

(1)計(jì)算：______．

21

1

(2)若a，求2a28a1的值．

52

考點(diǎn)五：二次根式的應(yīng)用

例5．（24-25八年級(jí)下·甘肅蘭州·期中）閱讀材料:

abab

若兩個(gè)正數(shù)a，b，則有下面不等式ab，當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，我們把叫作正數(shù)a，b的算術(shù)平

22

均數(shù)，把a(bǔ)b叫作正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即

大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大(小)值問(wèn)題的有力工具．不等式

ab

ab可以變形為不等式ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取到等號(hào)．(a，b均為正數(shù))

2

1

例：已知x>0，求x的最小值．

x

111

解：由ab2ab得x2x212，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)，有最小值，最小值為2．根

xxx

據(jù)上面材料回答下列問(wèn)題：

(1)56______256；66______266；(用“”“”“”填空)

9______

(2)當(dāng)x0，則x的最小值為，此時(shí)x______；

x

9

(3)當(dāng)x2，則x的最小值為_(kāi)_____；

x2

(4)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的長(zhǎng)方形花園，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形花園的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，

最短籬笆是多少？

7

【變式訓(xùn)練】

13．（24-25八年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖用6個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)無(wú)重疊的大長(zhǎng)方形，

已知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為22，寬為2，下列對(duì)大長(zhǎng)方形的判斷不正確的是（）

A．大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為42B．大長(zhǎng)方形的寬為32

C．大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為72D．大長(zhǎng)方形的面積為24

14．（24-25八年級(jí)下·山東德州·期中）先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：

1111

①11；

122212

1111

②11；

223223

1111

③11；

324234

…

請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：

11111111

11112024．

1222223232422022220232

15．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）（1）請(qǐng)用：“”、“”、“”填空：

11

①23______223；②1______21；③55______255．

44

（2）由（1）中各式猜想mn與2mn（m0，n0）的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）學(xué)以致用：某園林設(shè)計(jì)師要用籬笆圍成一個(gè)矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體（墻

體足夠長(zhǎng)），為了圍成面積為128m2的花圃，所用的籬笆至少是多少米？

8

考點(diǎn)六：勾股定理的有關(guān)計(jì)算

例6．（24-25八年級(jí)下·遼寧營(yíng)口·期中）在VABC中，ABAC10，BC16，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD交AB于點(diǎn)F，連接AE，若AEFB．

(1)求證：AEAC；

(2)求DE的長(zhǎng)．

【變式訓(xùn)練】

16．（2025·安徽蕪湖·二模）如圖，VABC中BO為AC上的中線(xiàn)，AEBC，垂足為E，AB5，AC2，

BO6，則AE的長(zhǎng)為（）

10525

A．B．25C．D．

333

17．（24-25八年級(jí)下·遼寧阜新·期中）Rt△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C90，

c5，VABC面積為1，則a3bab3．

18．（24-25八年級(jí)下·山東青島·期中）已知：如圖，在VABC中，ACB90，A30，AB的垂直平

分線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接BE．

(1)求證：CEDE；

(2)連接CD，BE與CD之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

9

考點(diǎn)七：勾股定理與平方關(guān)系

例7．（23-24八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）如圖，在VABC中，ADBC．

(1)求證：AB2-AC2=BD2-CD2；

(2)當(dāng)AB8，BC6，AC213時(shí)，求AD的值．

【變式訓(xùn)練】

19．（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”

四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．

(1)若AO2，BO3，CO4，DO5，請(qǐng)求出AB2，BC2，CD2，DA2的值．

(2)若AB6，CD10，求BC2AD2的值．

(3)請(qǐng)根據(jù)（1）（2）題中的信息，寫(xiě)出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論．

20．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)ACBD，相交于點(diǎn)O．若AB3CD6，

則AD2BC2．

10

21．（23-24八年級(jí)下·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，在VABC中，AB的垂直平分線(xiàn)EF交BC于點(diǎn)E，交AB

于點(diǎn)F，D是線(xiàn)段CE上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足條件：CDDE，ADC90．若B36，AB53，AC51，

則AD2．

考點(diǎn)八：勾股定理與翻折問(wèn)題

例8．（24-25八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E

的位置，AD與BE相交于點(diǎn)F．

(1)求證：VBDF是等腰三角形；

(2)若AB8，AD10，求SVBFD．

【變式訓(xùn)練】

22．（24-25八年級(jí)下·北京房山·期中）如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕（對(duì)角線(xiàn)BD），再折疊使

AD落在對(duì)角線(xiàn)BD上，得到折痕DG，已知AB8，BC6，則折痕DG的長(zhǎng)是（）

A．210B．35C．43D．52

23．（23-24八年級(jí)下·四川南充·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC中點(diǎn)B(8，

4)，若將VABC沿AC折疊，使B落在B'處，則B'的縱坐標(biāo)是．

11

24．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知在長(zhǎng)方形ABCD中，AB4，BC3．按下列要求折疊，試求

出所要求的結(jié)果．

(1)如圖（1）所示，把長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊得△EBD，BE交CD于點(diǎn)F，求SVBFD：

(2)如圖（2）所示，折疊長(zhǎng)方形ABCD，使AD落在對(duì)角線(xiàn)BD上，求折痕DE的長(zhǎng)；

(3)如圖（3）所示，折疊長(zhǎng)方形ABCD，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求折痕EF的長(zhǎng)．

考點(diǎn)九：勾股定理的證明

例9．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角

邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2b2c2．

(1)圖1為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直

角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；

(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，其中ABAC，由于某種

原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條

直線(xiàn)上），并新修一條路CH，且CHAB．測(cè)得CH6千米，HB4千米，求新路CH比原路CA少多

少千米？

(3)在第（2）問(wèn)中若ABAC時(shí)，CHAB，AC8，BC10，AB12，設(shè)AHx，求x的值．

12

【變式訓(xùn)練】

25．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

A．B．C．D．

26．（24-25八年級(jí)下·山東臨沂·期中）某版本教材提供了一種勾股定理無(wú)字證明的方法：如圖所示，

ACB90，古人把正方形BCFV沿LQ，MK兩線(xiàn)段剪成四塊四邊形①、②、③、④，使得FLCMQBKV，

之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形ABHG．他們通過(guò)這種簡(jiǎn)單的剪切、

拼接，就以實(shí)驗(yàn)的方式驗(yàn)證了勾股定理．現(xiàn)在，探究小組，經(jīng)過(guò)分析初步得出了

下面一些結(jié)論：

①．ILIMIQIK；②．若測(cè)得AC2，BC4，設(shè)FLx，LVy，則x1；

1

③．ACAB．④．N，O，J，P分別為正方形ABHG四邊的中點(diǎn)．

2

上面結(jié)論正確的是．

27．（24-25八年級(jí)下·安徽亳州·期中）【背景介紹】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理

的證明樂(lè)此不疲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)

o

全等的Rt△ABC和RtEDA按如圖1方式放置，其三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,BACDEA90．

(1)請(qǐng)你利用圖1證明勾股定理；

(2)如圖2，在VABC中，BCa,ACb,ABc，且cba，當(dāng)VABC是鈍角三角形時(shí)，猜想a2b2與c2

之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)已知Rt△ABC的三邊為a,b,c（c為斜邊），其中a，b滿(mǎn)足a2b2a2b245，求Rt△ABC的斜邊

的長(zhǎng)．

13

考點(diǎn)十：勾股定理的應(yīng)用

例10．（24-25八年級(jí)下·河南三門(mén)峽·期中）八年級(jí)11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)

量如圖的風(fēng)箏的高度CE，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：

①測(cè)得BD的長(zhǎng)度為8米：（注：BDCE）

②根據(jù)手中剩余線(xiàn)的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線(xiàn)BC的長(zhǎng)為17米；

③牽線(xiàn)放風(fēng)箏的松松身高1.6米．

(1)求風(fēng)箏的高度CE．

(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿CD方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線(xiàn)多少米？

【變式訓(xùn)練】

28．（24-25八年級(jí)下·廣東汕頭·期中）2025年1月1日，汕頭市區(qū)春節(jié)煙火晚會(huì)精彩呈現(xiàn)，吸引了近萬(wàn)名

市民共同感受“粵東之城，蛇年呈祥”的美好圖景．如圖，東海岸道路上有A、B兩個(gè)出口，相距250米，在

公路北面不遠(yuǎn)處的C地是煙火晚會(huì)煙花燃放處，已知C與A的距離為150米，與B的距離為200米，在煙

花燃放過(guò)程中，為了安全起見(jiàn)，燃放點(diǎn)C周?chē)霃?30米范圍內(nèi)不得進(jìn)入．

(1)煙花燃放點(diǎn)C距離公路的垂直距離為多少米？

(2)煙花燃放過(guò)程中，按照安全要求，A、B之間的公路是否需要暫時(shí)封鎖？若需要封鎖，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求

出需要封鎖的公路長(zhǎng)．

14

29．（24-25八年級(jí)下·北京·期中）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻

行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何．譯文：現(xiàn)在有一根豎直的木頭，繩子系在其頂端．將繩子垂到地面時(shí)，

繩子還有三尺余在地上．拉著繩子后退，離木頭根部八尺時(shí)，繩子被拉直用完．問(wèn)繩子的長(zhǎng)度是多少？

30．（24-25八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）消防云梯主要是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，消防云梯的使

用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時(shí)間，減少救援難度和風(fēng)險(xiǎn)．如圖，某棟樓房EH發(fā)生火災(zāi)，在

這棟樓離地面24米的B處有一老人需要救援，已知消防車(chē)高AG為4米，救人時(shí)消防車(chē)上的云梯AB必須伸

長(zhǎng)至最長(zhǎng)25米．

(1)求此時(shí)消防車(chē)的位置A與樓房的距離OA的長(zhǎng)；

(2)完成B處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在B處的上方4米的D處有一小孩沒(méi)有及時(shí)撤離，為了能成功地救出小

孩，消防車(chē)需從A處駛近到C處，云梯AB移動(dòng)至CD，消防車(chē)高為CF，問(wèn)消防車(chē)靠近的距離AC也為4米

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)十一：勾股定理的逆定理

例11．（24-25八年級(jí)下·重慶長(zhǎng)壽·期中）如圖，長(zhǎng)壽某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地（圖

中的四邊形ABCD），經(jīng)測(cè)量，在四邊形ABCD中，ACB90，AB15m，BC9m，AD5m，DC13m．

(1)ACD是直角三角形嗎？為什么？

(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問(wèn)鋪滿(mǎn)這塊空地共需花費(fèi)多少元？

15

【變式訓(xùn)練】

31．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）為了響應(yīng)國(guó)家生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，提升居民生活品質(zhì)，營(yíng)

造更加宜居和諧的居住環(huán)境，呼和浩特某小區(qū)全面啟動(dòng)了綠化升級(jí)工程，以“生態(tài)、美觀、實(shí)用”為原則，科

學(xué)規(guī)劃，精心布局，打造多功能的綠色空間．社區(qū)在住宅樓和臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如

圖，已知AB12m，BC16m，CD105m，AD10m，兩條街道互相垂直．

(1)由于綠化區(qū)的存在，小區(qū)居民要想從點(diǎn)A走再到點(diǎn)C必須經(jīng)過(guò)點(diǎn)B繞行，為了方便居民出入，該小區(qū)計(jì)

劃在該綠化區(qū)中開(kāi)辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路（小路寬度忽略不計(jì)）．若此計(jì)劃落實(shí)，則居民從點(diǎn)A到

點(diǎn)C能少走多少米？

(2)求這片綠化區(qū)的面積．

32．（24-25八年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖，在一條東西走向的河道的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取

水點(diǎn)A，B，由于某種原因．由村莊C到取水點(diǎn)A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新

建一個(gè)取水點(diǎn)H（點(diǎn)A，H，B在同一條直線(xiàn)上），并新修一條路CH，測(cè)得CB13km，CH12km，

HB5km．CH是否為從村莊C到河邊最近的路？（即CH與AB是否垂直？）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．

33．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，網(wǎng)格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線(xiàn)段AB、CD的端

點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖中畫(huà)出以CD為邊的正方形CDEF，點(diǎn)E和點(diǎn)F均在小正方形的頂點(diǎn)上；

(2)在圖中畫(huà)出以AB為斜邊的等腰直角ABH，點(diǎn)H在小正方形的頂點(diǎn)上；

(3)連接HE，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段HE的長(zhǎng)．

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考點(diǎn)十二：勾股定理與最值問(wèn)題

例12．（24-25八年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）綜合與實(shí)踐

背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名

的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．

(1)把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，DABB90o，ACDE．用

含a、b、c的式子分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的

關(guān)系，可得到勾股定理．上述圖形的面積滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)_______，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理a2b2c2．

(2)如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），ADAB，

BCAB，垂足分別為A、B，AD24千米，BC16千米，則兩個(gè)村莊的距離為_(kāi)_______千米（直接填

空）；

(3)在（2）的條件下，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PCPD，求出AP的距離．

2

(4)借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式x2916x81的最小值0x16．

【變式訓(xùn)練】

34．（24-25八年級(jí)下·河南三門(mén)峽·階段練習(xí)）如圖，A，B個(gè)村在河CD的同側(cè)，且AB13km，A，B

兩村到河的距離分別為AC1km，BD3km．現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠分別向A，B兩村輸送自來(lái)水，

鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需3000元．請(qǐng)你在河岸CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出

鋪設(shè)水管的總費(fèi)用W（元）．

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35．（24-25八年級(jí)下·四川自貢·期中）如圖，圓柱的高為12cm，底面圓的周長(zhǎng)為18cm，在圓柱下底面的

點(diǎn)A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

36．（24-25八年級(jí)上·上海浦東新·期末）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力，千百年

來(lái)，人們對(duì)它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了

一個(gè)新的證法．

【小試牛刀】（1）把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，DABB90，已知ABADa，AEBCb，

DEACc，ACDE，試證明a2b2c2．

【知識(shí)運(yùn)用】

（2）如圖2，鐵路上A，B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距24千米，C，D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），

ADAB，BCAB，垂足分別為A、B，AD23千米，BC16千米，則兩個(gè)村莊的距離為千米（直

接填空）；

（3）在（2）的背景下，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PCPD，求AP的長(zhǎng)．

（4）【知識(shí)遷移】借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式x29(16x)281的最小值．

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一、單選題

1．（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）要使式子x2有意義，則x的值可以是（）

A．2B．0C．1D．2

2．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）以下列數(shù)據(jù)為長(zhǎng)度的線(xiàn)段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1，2，3B．2，3，4C．1.5，2，2.5D．2,3,5

1

3．（24-25八年級(jí)下·新疆喀什·期中）已知31.732，則26363的值保留小數(shù)點(diǎn)后兩位

3

是（）

A．6.93B．3.47C．3.46D．1.73

4．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，Rt△ABC中，ACB90．以Rt△ABC

，，

的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為S1S2S3，若S1S2S340，則S1的

值為（）

A．18B．20C．22D．25

5．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）已知49x215x210，則49x215x2的值為（）

A．27B．27C．±27D．以上都不對(duì)

6．（2025·陜西咸陽(yáng)·一模）如圖，AD、AE分別是VABC的高線(xiàn)、中線(xiàn)，B45，

C60，AC2．則DE長(zhǎng)為（）

3131

A．31B．C．D．1

22

7．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，

它巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）拼成

的一個(gè)大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形的較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，若圖2中大正方形的

面積為32，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為42，圖2中4個(gè)全等的直角三角形面積和為（）

A．28B．24C．20D．16

19

8．（24-25八年級(jí)下·四川德陽(yáng)·期中）如圖，在Rt△ABC中，ABAC，BAC90，D、E為BC上兩點(diǎn)，

∠DAE45，F(xiàn)為VABC外一點(diǎn)，且FBBC，F(xiàn)AAE，則以下結(jié)論：①BDBF；②BD2CE2DE2；

1222

③S△ADEF；④CEBE2AE．其中正確的是（）

ACB4

A．①②③④B．②③④C．①③④D．②④

二、填空題

9．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）填空：

（1）若18與最簡(jiǎn)二次根式6m1是同類(lèi)二次根式，則m；

（2）若a、b都是無(wú)理數(shù)，且ab1，請(qǐng)寫(xiě)出一組符合條件的a、b的值：．

10．（24-25八年級(jí)下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Px,y滿(mǎn)足y3xx31，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離

為．

11．（24-25八年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖，庭院中有兩棵樹(shù)，小鳥(niǎo)要從一棵高10m的樹(shù)頂飛到另一棵高5m

的樹(shù)頂上，若兩棵樹(shù)相距8m，則小鳥(niǎo)至少要飛m．

12．（24-25八年級(jí)下·廣西玉林·期中）已知m為正整數(shù)，若189m是整數(shù)，則根據(jù)

300

189m3337m337m可知m有最小值3721．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則

n

n的最大值為．

13．（23-24八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，沿EF翻折后，

點(diǎn)B落在邊CD上的G處．若EGCD，BE5，DG3．則AE的長(zhǎng)為．