第四節(jié)函數(shù)的對(duì)稱性及應(yīng)用課標(biāo)要求1.能通過平移，分析得出一般的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱公式和推論.2.會(huì)利用對(duì)稱公式解決問題.1.函數(shù)的對(duì)稱性（1）函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（x）關(guān)于對(duì)稱；（2）函數(shù)y＝f（x）與y＝f（－x）關(guān)于對(duì)稱；（3）函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（－x）關(guān)于對(duì)稱.2.函數(shù)自身的對(duì)稱性（1）若函數(shù)y＝f（x）滿足f（a＋x）＝f（b－x），則y＝f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f（a＋x）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x）或f（－x）＝f（2a＋x）時(shí)，則y＝f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（2）若函數(shù)y＝f（x）滿足f（x）＋f（2a－x）＝2b，則y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f（a＋x）＋f（a－x）＝0或f（x）＋f（2a－x）＝0或f（－x）＋f（2a＋x）＝0時(shí)，則y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.1.若函數(shù)f（x＋a）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.2.若函數(shù)f（x＋a）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）若函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱.（）（2）函數(shù)y＝5x與y＝5－x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.（）（3）若函數(shù)f（x）滿足f（2＋x）＝f（2－x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.（）2.函數(shù)f（x）＝x+1x圖象的對(duì)稱中心為（A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）3.設(shè)函數(shù)y＝f（x）定義在R上，則函數(shù)y＝f（x－1）與函數(shù)y＝f（1－x）的圖象關(guān)于（）A.直線x＝0對(duì)稱 B.直線y＝0對(duì)稱C.直線x＝1對(duì)稱 D.直線y＝1對(duì)稱4.若偶函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）＝2x－1，則f（－1）＝.5.已知函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（1，－2），則函數(shù)y＝－f（－x）的圖象必過點(diǎn).

函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的判斷（師生共研過關(guān)）（1）（2025·新疆二模）若函數(shù)f（x）＝ax－1x－1的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，則A.－2 B.－1C.1 D.2（2）〔多選〕已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且f（－x）＝f（x），則下列結(jié)論正確的是（）A.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱B.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱C.4為f（x）的周期D.y＝f（x＋4）為偶函數(shù)聽課記錄解題技法對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的判斷設(shè)P0（x0，y0）為y＝f（x）圖象上任意一點(diǎn)：（1）若y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱?點(diǎn)P1（2a－x0，2b－y0）在y＝f（x）的圖象上；（2）若y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱?點(diǎn)P2（2m－x0，y0）在y＝f（x）的圖象上.1.（2024·麗水期末）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）的圖象關(guān)于（1，0）中心對(duì)稱，f（2x＋2）是偶函數(shù)，則（）A.f（0）＝0 B.f（12）＝0 C.f（2）＝0 D.f（3）＝2.（2025·八省聯(lián)考）已知曲線C：y＝x3－2x，兩條直線l1，l2均過坐標(biāo)原點(diǎn)O，l1和C交于M，N兩點(diǎn)，l2和C交于P，Q兩點(diǎn)，若△OPM的面積為2，則△MNQ的面積為兩個(gè)函數(shù)圖象間的對(duì)稱（師生共研過關(guān)）已知函數(shù)y＝f（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x＋2）與y＝f（4－x）的圖象（）A.關(guān)于直線x＝1對(duì)稱 B.關(guān)于直線x＝3對(duì)稱C.關(guān)于直線y＝3對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱聽課記錄

解題技法破解兩個(gè)函數(shù)圖象間的對(duì)稱的方法（1）利用函數(shù)y＝f（a＋x）與函數(shù)y＝f（b－x）的圖象關(guān)于直線x＝b－a2對(duì)稱（2）利用圖象的變換進(jìn)行判斷，注意口訣“左加右減”在題中的應(yīng)用.1.與f（x）＝ex關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的函數(shù)是.2.已知函數(shù)y＝f（x）－1是奇函數(shù)，若曲線y＝1＋1x與曲線y＝f（x）共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），則∑i=16（xi＋y函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用（定向精析突破）考向1函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性（2025·宜賓一模）已知函數(shù)f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞減且對(duì)任意x∈R滿足f（1＋x）＝f（3－x），則不等式f（2x－3）＞f（5）的解集是（）A.（－∞，1）∪（4，＋∞）B.（－∞，4）C.（1，＋∞） D.（1，4）聽課記錄解題技法解決函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性相結(jié)合問題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.在軸對(duì)稱函數(shù)中，函數(shù)在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上單調(diào)性相反；在中心對(duì)稱函數(shù)中，函數(shù)在關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上單調(diào)性相同.考向2函數(shù)的對(duì)稱性與周期性設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x＋1）為奇函數(shù)，f（x＋2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，則f92＝（）A.－94 B.－C.74 D.聽課記錄解題技法應(yīng)用對(duì)稱性與周期性綜合解題的技巧函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.

1.（2025·渭南第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（1－x）＝f（1＋x），f（x＋2）＝－f（x），且f（0）＝0，則f（26）＝（）A.12 B.C.13 D.2.〔多選〕已知定義域?yàn)镽的