“三案”破解圓錐曲線中的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要元素，它的變化直接導(dǎo)致曲線形狀甚至是類型的變化，求圓錐曲線的離心率或范圍問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，這類問題所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多、綜合性強(qiáng)，解法靈活，內(nèi)涵豐富，具有極好的素養(yǎng)評(píng)價(jià)功能.一、以代數(shù)方案破解離心率問題【例1】（1）已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以｜F1F2｜A.（22，1） B.［22，C.（12，1） D.［12，（2）設(shè)雙曲線C：x2a2－y2＝1（a＞0）與直線l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，則雙曲線的離心率e答案：（1）A（2）（62，2）∪（2解析：（1）因?yàn)橐裕麱1F2｜為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以b＜c，即b2＜c2，a2－c2＜c2，a2＜2c2，所以e2＞12，即e＞22，又因?yàn)?＜e＜1，所以橢圓離心率的取值范圍為（22，1）（2）由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，知方程組x2a2－y2=1，x＋y=1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，所以1－a2≠0，4a4+8a2（1－a2）>0，解得0＜a＜2且a≠1，雙曲線的離心率e＝a2+1a＝1a點(diǎn)評(píng)利用代數(shù)方案破解圓錐曲線中的離心率問題就是利用代數(shù)法求出橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a（b）的值或范圍，進(jìn)而求得離心率的值或范圍.二、以幾何方案破解離心率問題技法1從定義入手，建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系【例2】（1）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，｜PF1｜·｜PF2｜＝9A.43 B.5C.94 D.（2）P是橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為焦距的一半，且｜PF1｜－｜PF2｜＝A.64 B.10C.32 D.答案：（1）B（2）B解析：（1）因?yàn)镻是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝9b2－4a2，所以4｜PF1｜·｜PF2｜＝9b2－4a2，又因?yàn)椋黀F1｜·｜PF2｜＝94ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9（ba）2－9（ba）－4＝0，解得ba＝－13（舍去）或ba＝43.所以e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1（2）因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，而｜PF1｜－｜PF2｜＝a，則｜PF1｜＝32a，｜PF2｜＝12a.又因?yàn)辄c(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為焦距的一半，即｜PO｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，故△PF1F2為直角三角形，則｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，即（32a）2＋（12a）2＝（2c）2，解得c2a2＝58點(diǎn)評(píng)本例以曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和（差）等于某值給出，使我們自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線的定義，再結(jié)合其他條件建立參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率的值或范圍.技法2從點(diǎn)的坐標(biāo)入手，建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系【例3】（1）已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（－c，0）關(guān)于直線bx＋cy＝0的對(duì)稱點(diǎn)PA.24 B.3C.33 D.（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2＝2py（p＞0）交于點(diǎn)O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，答案：（1）D（2）3解析：（1）設(shè)焦點(diǎn)F（－c，0）關(guān)于直線bx＋cy＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P（m，n），則nm＋c·（－bc）＝－1，b·m－c2＋c·n2=0，∴nm＋c＝cb，bm－bc＋nc=0，∴m＝b2c－c3b2＋c2＝（a2－2c2）ca2＝（1－2e2）c，n＝c2b（2）C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線為y＝±bax，聯(lián)立漸近線方程與拋物線方程得交點(diǎn)的坐標(biāo)A（2pba，2pb2a2），B（－2pba，2pb2a2），又由于C2：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，p2），△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，故有AF⊥OB，則kAF點(diǎn)評(píng)從與參數(shù)a，b，c相關(guān)的點(diǎn)入手，利用圖形中點(diǎn)、線所具有的平行、垂直、對(duì)稱、相等、共線等幾何特征，結(jié)合圓錐曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線等相關(guān)量，建立與參數(shù)a，b，c相關(guān)的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率的值或范圍.技法3從幾何圖形的特征入手，建立a，b，c的關(guān)系【例4】（1）已知F是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△POF為等邊三角形（2）過雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F作圓4x2＋4y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若E為答案：（1）3－1（2）10解析：（1）根據(jù)題意，取點(diǎn)P為第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)P作OF的垂線，垂足為H，如圖所示，因?yàn)椤鱋PF為等邊三角形，又F（c，0），故可得｜OH｜＝cos60°×c＝c2，｜PH｜＝sin60°×c＝32c，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（c2，32c），代入橢圓方程可得c24a2＋3c24b2＝1，又b2＝a2－c2，整理得e2＋3e21－e2＝4，即e2＝4（2）設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F1，因?yàn)镋為PF的中點(diǎn)，O為FF1的中點(diǎn)，所以O(shè)E為△FPF1的中位線，有｜PF1｜＝2｜OE｜，又PF與圓相切于點(diǎn)E，圓的半徑為a2，所以有｜PF1｜＝a，又｜PF｜－｜PF1｜＝2a，所以｜PF｜＝3a，在Rt△OEF中，｜OE｜2＋｜EF｜2＝｜OF｜2，即（a2）2＋（3a2）2＝c2，點(diǎn)評(píng)從圓錐曲線中某些圖形的幾何特征入手（如直角三角形、等腰三角形、圓、圓的切線等），建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率的值或范圍.三、以解三角形方案破解離心率問題【例5】設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若｜PF1｜＝6｜OP｜，A.5 B.2C.3 D.2解析：C因?yàn)辄c(diǎn)F2（c，0）到漸近線y＝bax的距離｜PF2｜＝｜bca－0｜1+（ba）2＝b（b＞0），而｜OF2｜＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得｜OP｜＝c2－b2＝a，所以｜PF1｜＝6｜OP｜＝6a.在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝｜PF2｜｜OF2｜＝bc，在△F1F2P中，cos∠PF2O＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2-|PF1｜22｜PF2｜點(diǎn)評(píng)把圓錐曲線的離心率問題與解三角形完美的結(jié)合，通過正、余弦定理及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，尋找與參數(shù)a，b，c相關(guān)的齊次關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率的值或范圍.1.已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線y＝kx與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF1｜＝3｜BF1｜，且∠F1AF2＝60°，A.716 B.7C.916 D.解析：B由橢圓的對(duì)稱性，得｜AF2｜＝｜BF1｜.設(shè)｜AF2｜＝m，則｜AF1｜＝3m.由橢圓的定義，知｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即m＋3m＝2a，解得m＝a2，故｜AF1｜＝3a2，｜AF2｜＝a2.在△AF1F2中，由余弦定理，得｜F1F2｜2＝｜AF1｜2＋｜AF2｜2－2｜AF1｜｜AF2｜c(diǎn)os∠F1AF2，即4c2＝9a24＋a24－2×3a2×a2×12＝7a242.已知雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線上存在一點(diǎn)P，使sin答案：（1，1＋2）解析：在△PF1F2中，由正弦定理可得sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝｜PF2｜｜PF1｜，又sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，得｜PF2｜｜PF1｜＝ac，｜PF1｜＝ca｜PF2｜，因?yàn)殡p曲線中ca＞1，所以｜PF1｜＞｜PF2｜，故點(diǎn)P在雙曲線的右支上.由定義知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，ca｜PF2｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF2｜＝2a2c－a，由雙曲線的幾何性質(zhì)可知｜PF2｜＝1.若直線x＝a與雙曲線x24－y2＝1有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的值可以是（A.4 B.2C.1 D.－2解析：A因?yàn)樵陔p曲線x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a＞2或a＜－2，故只有A2.已知橢圓C1：x24＋y23＝1與雙曲線C2：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）A.π6，－π6 B.πC.π6，5π6 D.解析：D由題意得，4－32·a2＋b2a＝1?b2＝3a2?b＝3a，因此雙曲線C2的兩條漸近線方程為y＝±bax?y＝±3x，所以雙曲線3.點(diǎn)P為橢圓x24＋y23＝1上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PMOA.32 B.C.3 D.3解析：A設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），因?yàn)閤24＋y23＝1≥2x24·y23＝xy3，即xy≤3，所以S△PMO＝12xy≤32（當(dāng)且僅當(dāng)3x4.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為x－2y＝0，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)，M是C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，若1≤k1≤2，則A.18，14C.－14,-解析：A依題意，ba＝12，則雙曲線的方程為x24b2－y2b2＝1，則A（－2b，0），B（2b，0），設(shè)M（x0，y0），則x024b2－y02b2＝1，所以k1k2＝y(tǒng)0x0+2b·y05.（多選）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2b2＝1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，直線l：3x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，則A.b＝3B.弦PQ長(zhǎng)的最小值為6C.存在點(diǎn)P，使得｜PF1｜＝3D.點(diǎn)P到直線m：3x－y＋2＝0距離的最小值為1解析：AB由題知，a＝1，漸近線3x－y＝0?y＝3x?ba＝3?b＝3，c＝2，故A正確；｜PQ｜為雙曲線右支上的焦點(diǎn)弦，則其為通徑，即與x軸垂直時(shí)最短，｜PQ｜min＝2b2a＝2×3＝6，故B正確；根據(jù)雙曲線定義知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a?｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜≥2a＋c－a＝a＋c＝1＋2＝3，∴當(dāng)P為雙曲線右頂點(diǎn)（1，0）時(shí)，｜PF1｜取最小值3，但此時(shí)F2P與雙曲線的右支沒有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；∵直線m和雙曲線的漸近線l平行，故雙曲線上點(diǎn)P到直線m的距離沒有最小值，故D錯(cuò)誤.6.直線y＝x＋1與雙曲線x22－y23＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB答案：46解析：由y＝x+1，x22－y23=1，得x2－4x－8＝0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），7.已知雙曲線C：x24－y2b2＝1（b＞0），以C的右焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，答案：（1，132解析：由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為y＝b2x，即bx－2y＝0，又該圓的圓心為（c，0），故圓心到漸近線的距離為bcb2+4，則由題意可得bcb2+4＜3，即b2c2＜9（b2＋4），又b2＝c2－a2＝c2－4，則（c2－4）c2＜9c2，解得c2＜13，即c＜13，則e＝ca＝c2＜132，又e8.已知雙曲線C：x24－y2＝1，P為雙曲線C（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），求｜PA｜的最小值.解：（1）證明：設(shè)P（x1，y1）是雙曲線上任意一點(diǎn).該雙曲線的兩條漸近線方程分別是x－2y＝0，x＋2y＝0，∴點(diǎn)P（x1，y1）到兩條漸近線的距離分別是｜x1－它們的乘積是｜x1－2y1｜故點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù).（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則｜PA｜2＝（x－3）2＋y2＝（x－3）2＋x24－1＝54∵｜x｜≥2，∴當(dāng)x＝125時(shí)，｜PA｜2取最小值4∴｜PA｜的最小值為259.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長(zhǎng)分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，直線y＝3x交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，若｜BF1｜，｜BF2｜恰好是Rt△F1BF2的“勾”“股A.3＋1 B.3C.2 D.5解析：A如圖所示，由題意可知，｜OB｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜＝c，∠BOF2＝60°，所以｜BF2｜＝c，｜BF1｜＝3c，由雙曲線的定義可得，3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝310.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為103，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為10－3，則雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A（5A.1 B.2C.62 D.解析：C因?yàn)殡p曲線C的離心率為103，所以ca＝103，①.因?yàn)殡p曲線上同側(cè)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離即雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離，所以c－a＝10－3，②.由①②可得c＝10，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以雙曲線C的方程為x29－y2＝1.設(shè)P（x，y）（x≤－3或x≥3）是雙曲線x29－y2＝1上的任意一點(diǎn)，則｜AP｜＝（x－5）2＋y2＝（x－5）2＋x29－1＝10x11.已知雙曲線C：x24－y28＝1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線x＝233的交點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，D是線段OF的中點(diǎn)，若B是圓x2＋y2＝1上的一點(diǎn)，則A.22＋32C.3 D.3解析：A根據(jù)題意，雙曲線斜率為正的漸近線方程為y＝2x，F(xiàn)（23，0），因此點(diǎn)A的坐標(biāo)是（23，223），點(diǎn)D是線段OF的中點(diǎn)，則直線AD的方程為y＝－22（x－3），點(diǎn)B是圓x2＋y2＝1上的一點(diǎn)，點(diǎn)B到直線AD距離的最大值dmax也就是圓心O到直線AD的距離d加上半徑，即d＋1，dmax＝d＋1＝|-26｜1+8＋1＝263＋1＝26+33，則（S△ABD）max＝12×｜AD｜12.（多選）已知雙曲線C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一條漸近線的方程為y＝3x，且過點(diǎn)（1，32），橢圓C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距與雙曲線C1的焦距相同，且橢圓C2的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線交C2于A，A.雙曲線C1的離心率為2B.雙曲線C1的實(shí)軸長(zhǎng)為1C.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍為（－2，－1）D.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍為（－3，－1）解析：AD雙曲線C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一條漸近線的方程為y＝3x，則可設(shè)雙曲線C1的方程為x2－y23＝λ（λ＞0），∵過點(diǎn)（1，32），∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴雙曲線C1的方程為4x2－43y2＝1，即x214－y234＝1，可知雙曲線C1的離心率e＝ca＝2，實(shí)軸的長(zhǎng)為1，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由14＋34＝1，可知橢圓C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），不妨設(shè)A（1，y1）（y1＞0），代入x2a2＋y2b2＝1，得1a2＋y12b2＝1，∴y1＝b2a，直線AB的方程為y＝b22a（x＋1），聯(lián)立y＝b22a（x+1),x2a2＋y2b2=1，消去y并整理得（a2＋3）x2＋2（a2－1）x－13.已知雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜答案：5解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以由雙曲線的定義可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a.因?yàn)椋黀F1｜＝4｜PF2｜，所以4｜PF2｜－｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝23a.根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得｜PF2｜＝23a≥c－a，所以53a≥c，即e≤53，即雙曲線的離心率14.（2022·新高考Ⅰ卷21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，直線l交C于P，Q（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面積.解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程得4a2－1a化簡(jiǎn)得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，故雙曲線C的方程為x22－y2由題易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，故x1＋x2＝－4kb2k2－1，xkAP＋kAQ＝y(tǒng)1－1x1－2＋y化簡(jiǎn)得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0，故2k（2b2+2）2k2－1＋（b－1－2k整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，又直線l不過點(diǎn)A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.故直線l的斜率為－1.（2）不妨設(shè)直線PA的傾斜角為θ0<θ＜π2，由題意知∠PAQ＝所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝2tanθtan2解得tanθ＝2或tanθ＝－22（舍去由y1－1x1－所以｜AP｜＝3｜x1－2｜＝43同理得x2＝10+423，所以｜AQ｜＝3｜x2－2｜＝因?yàn)閠an∠PAQ＝22，所以sin∠PAQ＝22故S△PAQ＝12｜AP｜｜AQ｜sin∠PAQ＝12×43（2－115.（多選）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)∠F1MF2＝A.線段F1M長(zhǎng)度的最小值為a＋cB.線段F2M長(zhǎng)度的最小值為bC.若θ＝π2時(shí)，△OMF2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）恰好為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為3＋D.若θ＝π6