第5章非參數(shù)相關(guān)性度量本章內(nèi)容：5.1斯皮爾曼（Spearman）秩相關(guān)5.2肯德爾（Kendall）秩相關(guān)5.3霍夫?。℉oeffding）獨立性檢驗5.1斯皮爾曼（Spearman）秩相關(guān)秩相關(guān)（RankCorrelation)也稱作級序相關(guān)或等級相關(guān)，用于兩個至少是定序尺度測量的樣本間相關(guān)程度的測定。1.基本方法

X和Y的評秩完全相同（完全正相關(guān)）X和Y的評秩完全相反（完全負(fù)相關(guān)）X的秩Y的秩X的秩Y的秩111n222n-1n-1n-1n-12nnn1

上面的式子取值在0到1之間。當(dāng)X和Y完全正相關(guān)時，取值為0；當(dāng)X和Y完全負(fù)相關(guān)時，取值為1。當(dāng)數(shù)據(jù)沒有同分時，為了與皮爾遜相關(guān)相統(tǒng)一，定義斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)為

這樣定義可以讓R的取值從-1到+1。其中，｜R｜=1表明X和Y完全相關(guān)，R=＋1為完全正相關(guān)，R=-1為完全負(fù)相關(guān)。｜R｜越接近于1,表明相關(guān)程度越高。反之，｜R｜越接近于零，表明相關(guān)程度越低，R=0為完全不相關(guān)。通過一些代數(shù)運算，可以得到

這說明，斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)本質(zhì)是用秩替換原始數(shù)據(jù)的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。

2.應(yīng)用【例5.1】2位教授對本科畢業(yè)設(shè)計評分的相關(guān)分析。數(shù)據(jù)如下表：畢業(yè)生編號A教授B教授115223359496548664732871910710810分析：由于例5.1給出的數(shù)據(jù)為評分等級，兩個定序數(shù)據(jù)間的相關(guān)程度測定可以采用斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)。利用R語言的函數(shù)cor可直接算出需要的數(shù)值。結(jié)果表明R=0.3212＜0.8,兩位教授對10名本科生畢業(yè)設(shè)計評分的相關(guān)程度不高。注：斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)不僅可以直接用等級來進(jìn)行計算，也可以將高于定序尺度測量的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為秩次進(jìn)行計算。其使用范圍比皮爾遜相關(guān)系數(shù)廣?！纠?.2】經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平之間的相關(guān)分析。

對某地區(qū)12個街道進(jìn)行調(diào)查，并對經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平按規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)打分，并按從小到大的順序排等級，得到評分的秩，評定結(jié)果如下表。街道編號經(jīng)濟水平及秩衛(wèi)生水平及秩街道編號經(jīng)濟水平及秩衛(wèi)生水平及秩182686978478072879786878477536016529805764498128810109411961257536411185885868910901112682703結(jié)果表明，R=0.888>0.8，該地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平存在著正相關(guān)，相關(guān)程度較高，為88.8%。3.同分的處理

公式中，u是X中同分的觀測值數(shù)目，v是Y中同分的觀測值數(shù)目?！纠?.3】經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平間的相關(guān)分析某地區(qū)對24個地區(qū)進(jìn)行調(diào)查，并對各地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)評分，結(jié)果如下表。地區(qū)編號經(jīng)濟水平衛(wèi)生水平地區(qū)編號經(jīng)濟水平衛(wèi)生水平192561368552907014676639071156559487761664585816917615068068186054779621959438777020554597664214634107663224232117454233930126865243831利用R語言的函數(shù)輸出結(jié)果表明，R=0.8490>0.8，說明經(jīng)濟水平和衛(wèi)生水平之間存在較高的相關(guān)性。如果不對同分進(jìn)行修正，強行利用不修正的公式計算斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)為0.8491。數(shù)值上與修正結(jié)果有細(xì)微差別，但也是大于0.8的。對比兩個R值可知，由于同分的觀測值數(shù)目占觀測值總數(shù)目的比例不是很大，因而校正后的R與校正前的R變化不大。校正前的R略大于校正后的R，這說明同分對R的影響雖然很小，但同分的影響是夸大R值。因此，在X與Y中至少有一個存在大量同分時，應(yīng)進(jìn)行校正。4.斯皮爾曼秩相關(guān)的顯著性檢驗對兩個樣本X和Y計算斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)之后，可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小，推斷總體秩相關(guān)的方向，并用顯著性檢驗進(jìn)行回答。針對研究問題的不同，可以建立不同的假設(shè)組：

為對假設(shè)作出判定，所需數(shù)據(jù)至少是定序尺度測量的。檢驗統(tǒng)計量就是斯皮爾曼秩相關(guān)的公式（有同分時用修正公式），p值為相應(yīng)情況的尾部概率。當(dāng)原假設(shè)為真且樣本量比較大時

備擇假設(shè)精確p值正態(tài)近似p值R的右尾概率Z的右尾概率R的左尾概率Z的左尾概率R的小尾概率的2倍Z的小尾概率的2倍【例5.4】對例5.3作顯著性檢驗。

5.2肯德爾（Kendall）秩相關(guān)肯德爾秩相關(guān)與斯皮爾曼秩相關(guān)一樣，也是用于兩個樣本相關(guān)程度的測量，要求數(shù)據(jù)至少是定序尺度的。它也是利用兩組秩次測定兩個樣本間相關(guān)程度的一種非參數(shù)統(tǒng)計方法。1.基本方法

例如，X、Y的秩分別為X：2，4，3，5，1；Y：3，4，1，5，2。將X的秩按從小到大順序排列后，則X和Y的秩則為下面的形式：X：1，2，3，4，5；Y：2，3，1，4，5。稱秩的大小方向一致的對為協(xié)同（concordant）對或一致對。由于X的秩次已經(jīng)按自然順序由小到大排列，因此，X的觀測值每兩個之間都是一致對?？疾靁的秩次情況，第一個秩為2，第二個為3，因為2小于3，是按自然順序增加，因此，這是一個一致對。再考察2和1,因為2大于1,不是按自然順序增加排列，所以這是一個非一致對。依次考察下去，凡一致對記為+1分,非一致對記為-1分。Y的數(shù)對分?jǐn)?shù)總和2,318個+2個-2,1-12,412,513,1-13,413,511,411,514,51

若以U表示Y的一致對數(shù)目，V表示Y的非一致對數(shù)目，則一致對評分與最大可能總評分之比為

當(dāng)X和Y的順序完全一致時，上式的值為1；當(dāng)兩者順序完全相反時，上式值為0；當(dāng)X和Y之間的順序關(guān)系不確定時，該式取值在0和1之間。顯然，X和Y的這種順序關(guān)系反映出兩個總體之間的某種關(guān)聯(lián)性?？系聽栔认嚓P(guān)系數(shù)定義為

當(dāng)X和Y的順序關(guān)系完全一致時，T為1；順序關(guān)系完全相反時，T為-1。注意到

2.應(yīng)用【例5.6】利用例5.2的數(shù)據(jù)資料分析經(jīng)濟水平和衛(wèi)生水平的相關(guān)程度。

注：由于肯德爾秩相關(guān)系數(shù)是利用兩總體的順序關(guān)系定義的相關(guān)關(guān)系，對于定距尺度測量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)不必評秩，而直接比較大小得到一致對或非一致對的數(shù)目，就可以計算相關(guān)系數(shù)的值。3.同分的處理當(dāng)兩個樣本中無論哪一個或者兩個均有同分觀察值時，仍采用通常的辦法，將每一個同分觀察值的秩記作其應(yīng)有秩的平均值。由于同分的影響，也需要對T計算公式中的分母進(jìn)行校正。在同分情況下，肯德爾秩相關(guān)系數(shù)公式修正為

【例5.7】兩位專家對5件參賽作品評秩的相關(guān)分析。兩位專家對5件參賽作品所評的等級如下：X的秩：1，2.5，2.5，4.5，4.5；Y的秩：2，3.5，3.5，1，5。分析：由于X、Y中均有同秩，因此X的秩按自然順序排列時，同秩的兩個值可能對應(yīng)Y的不同秩。用R語言中的cor函數(shù)可對同分情形自動修正，得到修正后的T值。

設(shè)X和Y是兩個待研究的總體，如果研究關(guān)心的是相關(guān)是否確實存在，而不考慮相關(guān)的方向，進(jìn)行雙側(cè)檢驗，假設(shè)組為

為對假設(shè)作出判定，所需數(shù)據(jù)至少是定序尺度測量的。檢驗統(tǒng)計量為肯德爾秩相關(guān)系數(shù)公式T，如有同分應(yīng)選擇修正的公式T。當(dāng)樣本量足夠大時，有

備擇假設(shè)精確p值正態(tài)近似p值T的右尾概率Z的右尾概率T的左尾概率Z的左尾概率T的小尾概率的2倍Z的小尾概率的2倍【例5.8】雙胞胎智力的相關(guān)分析，某研究所對10對雙胞胎兒童的智力進(jìn)行凋查，結(jié)果如下表。雙胞胎編號先出生兒童智力（X）后出生兒童智力（Y）197.8216.619.3316.220.1411.37.1516.21367.14.877.88.9847.4911.210101.31.5分析：智力測試得分是定距尺度測量的數(shù)據(jù)，可以轉(zhuǎn)換為定序尺度，以X記為先出生兒童的智力，以Y記為后出生兒童的智力。本例可采用斯皮爾曼秩相關(guān)（R）顯著性檢驗和肯德爾秩相關(guān)（T）顯著性檢驗。斯皮爾曼秩相關(guān)顯著性檢驗的R語言命令前面已經(jīng)講過，肯德爾秩相關(guān)顯著性檢驗的命令同樣是cor.test，只是參數(shù)設(shè)置不同。

5.斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)和肯德爾秩相關(guān)系數(shù)的比較

5.3霍夫?。℉oeffding）獨立性檢驗霍夫丁獨立性檢驗是1948年提出的方法，用于檢驗兩個隨機變量的獨立性。其思想不同于斯皮爾曼秩相關(guān)和肯德爾秩相關(guān)。1.基本方法

霍夫?。℉oeffding）獨立性檢驗的假設(shè)組為

這個D就是檢驗統(tǒng)計量，在原假設(shè)成立時，D的取值應(yīng)該傾向小，如果D的值過大，就要懷疑原假設(shè)不真?；舴蚨—毩⑿詸z驗的p值可以通過D的右尾概率計算。當(dāng)數(shù)據(jù)有同分時，只要同分的比例不大，對估計的結(jié)果影響不大。2.應(yīng)用【例5.9】利用例5.8的數(shù)據(jù)資料檢驗雙胞胎智力的獨立性。

計算統(tǒng)計量D的右尾概率。在R語言中，有程序包Hmisc中的hoeffd函數(shù)可以計算霍夫丁獨立性檢驗的統(tǒng)計量D值以及檢驗的漸近p值，如果要求精確p值，R程序包NSM3中的pHoeff函數(shù)可以用蒙特卡洛方法得到p值。結(jié)果表明，D值是0.28，漸近p值是0.0016，拒絕原假設(shè)，前后出生的雙胞胎智力不獨立。理論上可以證明，D值是在0到1/30之間，在實際應(yīng)用中為使D值在0到1之間變化，通常報告30D的值，R語言的hoeffd函數(shù)也是如此。D值越大，兩個隨機變量就越不獨立。但是不能在數(shù)值上與其他方法相比?！纠?.10】檢驗隨機變量之間的非線性關(guān)系。

結(jié)果匯總到下表：方法皮爾遜斯皮爾曼肯德爾霍夫丁平均p值0.4530.4230.382標(biāo)準(zhǔn)差0.311