第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末檢測（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．“函數(shù)在上為增函數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性及充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，等價于，即，所以“函數(shù)在上為增函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.2．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，則（

）A．28 B．33 C．38 D．43【答案】A【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性列出等式，然后根據(jù)的值求出的值.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：A.3．已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，結(jié)合可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計算可得出的值.【詳解】設(shè)，則，所以，故，因此.故選：A.4．已知，則函數(shù)的解析式為（）A． B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】令，采用換元法求函數(shù)的解析式.【詳解】令，則，，所以.故選：D.5．已知直線，過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得的對稱中心，從而得到，再對式子變形，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】函數(shù)，，其圖象的對稱中心為點，代入直線方程得．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以的最小值為9．故選：D6．函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域.【詳解】由題意，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，函數(shù)的值域為.故選：A.7．設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得是R上的增函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解.【詳解】因為，，所以在上單調(diào)遞增，且恒成立，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以是R上的增函數(shù)，不等式，對任意的恒成立，即，，又，，令，，，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到，利用基本不等式求出最值.8．若定義在上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】先由題設(shè)推出函數(shù)的周期性和圖象的對稱性，再利用這些性質(zhì)推出，根據(jù)和，利用周期性即可求得結(jié)果.【詳解】因?qū)τ冢?，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，4是函數(shù)的一個周期，又是上的奇函數(shù)，則，故的圖象關(guān)于點對稱，于是，，在，取，得，因，則，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值，賦變量，轉(zhuǎn)化抽象關(guān)系式，判斷和利用函數(shù)的周期性和對稱性解題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知是一次函數(shù)，，且，函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)解方程組可得，再由換元法代入計算可得，可得出結(jié)論.【詳解】依題意可設(shè)，由可得，因此可得，解得或；又因為，所以，即，即A正確，B錯誤；又可得，令，所以，因此，所以，可得C正確，D錯誤.故選：AC10．已知函數(shù)和的定義域均為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題意得，又得，進而得，通過賦值即可求解.【詳解】由題意有，，又，所以，所以，又得，令得，故A正確，B錯誤；由，令有，故C正確；，令得，又，令得，所以，故D正確.故選：ACD.11．對于任意的，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)，的圖象關(guān)于原點對稱B．設(shè)，，則有C．函數(shù)，的值域為D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，取值驗證判斷A；利用，計算可判斷B；由取整函數(shù)的定義得，進而判斷C；解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時，，當(dāng)時，，即點，都在函數(shù)的圖象上，它們關(guān)于原點不對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點不對稱，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，因此函數(shù)，的值域為，故C正確；對于D：由，得，解得，而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.故選：BCD.【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知．若為偶函數(shù)，則．【答案】【分析】利用偶函數(shù)的定義求出參數(shù)值.【詳解】函數(shù)的定義域為R，由為偶函數(shù)，得，即，而不恒為0，所以.故答案為：0.13．已知函數(shù)，若當(dāng)時，，則的最大值是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，按和兩種情況求出不等式的解集的并集即可求解.【詳解】當(dāng)時，由，得，解得，因此；當(dāng)時，由，得，解得，因此，因此等價于，依題意，，所以的最大值為.故答案為：14．已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】先利用函數(shù)的奇偶性列出方程組，求得，再由題設(shè)條件推得，設(shè)，可知其在區(qū)間上為減函數(shù)，最后根據(jù)含參數(shù)的二次函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性即可求得參數(shù)范圍.【詳解】因是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則有，對于①，用替換，整理得②，聯(lián)立①和②，解得：，由時，等價于，則，記，則，即在區(qū)間上為減函數(shù)，顯然，的對稱軸為直線.①當(dāng)時，，顯然不符合題意；②當(dāng)時，需使，解得.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于求得函數(shù)的解析式后，根據(jù)題設(shè)不等式，等價轉(zhuǎn)化后，需構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性數(shù)形結(jié)合即可求得參數(shù)范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數(shù)(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得；（2）利用已證的函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.【詳解】（1）任取，且，由，因，故，，故，即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）由（1）已證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故在上也是增函數(shù)，則，即，故函數(shù)的值域為.16．（15分）已知函數(shù).(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.【答案】(1)3(2)奇函數(shù)，理由見解析【分析】(1)代入求解即可.(2)先分析定義域,再求解再分析與的關(guān)系判定即可.【詳解】（1）由解析式知；（2）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：定義域為，且，所以為奇函數(shù).17．（15分）已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性，并用定義進行證明；(2)若，試討論在上的單調(diào)性．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）分和，不同時為0兩種情況討論可得結(jié)論；（2）由已知得，分和兩種情況討論，當(dāng)時，利用單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增.【詳解】（1）當(dāng)時，既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；當(dāng)，不同時為0時，是奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域為，對于，都有，且，故為奇函數(shù)．綜上：當(dāng)時，既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；當(dāng)，不同時為0時，是奇函數(shù).（2）當(dāng)時，．當(dāng)時，在上無單調(diào)性；當(dāng)時，任取，，且，則，，，且，，，．若，則，即，在上單調(diào)遞增；若，則，即，在上單調(diào)遞減．18．（17分）“春節(jié)”期間，某商場進行如下的優(yōu)惠促銷活動：優(yōu)惠方案1：一次購買商品的價格，每滿60元立減5元；優(yōu)惠方案2：在優(yōu)惠1之后，再每滿400元立減40元．例如，一次購買商品的價格為130元，則實際支付額元，其中表示不大于x的最大整數(shù)．又如，一次購買商品的價格為860元，則實際支付額元．(1)小明計劃在該商場購買兩件價格分別是250元和650元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？請說明理由；(2)已知某商品是小明常用必需品，其價格為30元/件，小明趁商場促銷，想多購買幾件該商品，其預(yù)算不超過500元，試求他應(yīng)購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？【答案】(1)一次支付好，理由見解析(2)購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為25元/件【分析】（1）計算兩種支付方式的支付額，比較可得答案；（2）先確定在優(yōu)惠條件下最多可以購買的件數(shù)，然后依據(jù)優(yōu)惠方案2進行分類討論，比較每種情況下的平均價格，可得答案.【詳解】（1）分兩次支付：支付額為元;一次支付：支付額為元,因為，所以一次支付好；（2）設(shè)購買件，平均價格為y元/件．由于預(yù)算不超過500元，但算上優(yōu)惠，最多購買19件，當(dāng)時，不能享受每滿400元再減40元的優(yōu)惠當(dāng)時，，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．所以當(dāng)時，購買偶數(shù)件時，平均價格最低，為27.5元/件．當(dāng)時，能享受每滿400元再減40元的優(yōu)惠當(dāng)時，，當(dāng)，時，;當(dāng)時，，y隨著n的增大而增大，所以當(dāng)，時，．綜上，購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為25元/件．19．（17分）三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)的圖象恰如其形.牛頓最早研究了函數(shù)的圖象，所以也稱的圖象為牛頓三叉戟曲線.(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)已知兩個不相等的正數(shù)m，n滿足：，求證：；(3)是否存在實數(shù)a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析(2)證明見解析(3)存在，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）由可得，再由基本不等式得證；（3）根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）在單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，且，則