第13講函數(shù)的奇偶性

內(nèi)容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

練習題講典例：教材習題學解題、快速掌握解題方法

練考點強知識：6大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

知識點1函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，

偶函數(shù)關于y軸對稱

那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－

奇函數(shù)關于原點對稱

f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x，x

也在定義域內(nèi)（即定義域關于原點對稱）．

知識點2函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論

（1）如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.

（2）如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).

（3）奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

（4）定義在(，)上的任意函數(shù)fx都可以唯一表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和．

（5）若函數(shù)yf(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)為奇，f(x)f(x)為

偶函數(shù)．

（6）f(x)，g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）f（g（x））

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

知識點3分段函數(shù)強制奇偶對稱

口訣：奇函數(shù)定奇變偶，偶函數(shù)定偶變奇，奇雙負，偶單負．

定義在(，)上任意的函數(shù)f(x)都可以唯一的表示成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(x)之和．當f(x)

以分段函數(shù)形式出現(xiàn)奇偶性的時候，則函數(shù)一定滿足：①奇函數(shù)f(x)f(x)g(x)h(x)；②偶函數(shù)f

(x)f(x)g(x)h(x)，我們理解為奇函數(shù)定奇變偶，偶函數(shù)定偶變奇．在f(x)不好拆分出奇函數(shù)g(x)

與一個偶函數(shù)h(x)之和時，則直接采用：①奇函數(shù)f(x)f(x)；②偶函數(shù)f(x)f(x)，即口訣：奇雙負，

偶單負．其實通俗的說就是奇函數(shù)內(nèi)外兩層都為負，偶函數(shù)只有內(nèi)層為負．

知識點4對稱中心或?qū)ΨQ軸平移求值

若f(x)都可以唯一表示成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(x)之和，當h(x)m時，則f(x)關于點(0，m)

中心對稱，即可以理解為將奇函數(shù)g(x)向上平移了m個單位，即f(x)f(x)2f(0)2m；當h(x)m時，

則有f(x)f(x)2h(x)．

推論若f(x)g(x)m，則f(x)maxf(x)min2f(0)2m．

知識點5函數(shù)的周期

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x

＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)

的最小正周期.

對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：

①若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).

1

②若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).

f（x）

1

③若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).

f（x）

（3）對稱性的三個常用結(jié)論

①若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.

②若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.

③若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.

解題方法

教材習題01因為函數(shù)的定義域關于原點對稱，且

24

根據(jù)定義證明：函數(shù)fxxx在24

fxxxx2x4fx，

定義域R上是偶函數(shù)．

所以函數(shù)fx為偶函數(shù).

【答案】見解析

解題方法

xR，都有xR，

教材習題02

33

3且，

fx3xfx3x3xfx

根據(jù)定義證明：函數(shù)在定義域R上是奇函

3

數(shù)．所以，函數(shù)fx3x在定義域R上

是奇函數(shù)．

【答案】見解析

解題方法

3

（1）f(x)，其定義域為

x

{x|x0}，

教材習題3

03f(x)f(x)，則函數(shù)f(x)為奇

畫出下列函數(shù)的圖象，并判斷其奇偶性：x

函數(shù)；

3

(1)fx；

x圖象如圖：

1

(2)fx1；

x2

2

(3)fx2x11．

1

（2）f(x)1；其定義域為

x2

{x|x0}，

1

f(x)1f(x)，則函數(shù)f(x)為

x2

偶函數(shù)；

圖象如圖：

（3）f(x)2(x1)21，其定義域R，

但f(x)f(x)且f(x)f(x)，

則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

圖象如圖：

【答案】(1)奇函數(shù)，圖象見解析

(2)偶函數(shù)，圖象見解析

(3)非奇非偶函數(shù)，圖象見解析

考點一函數(shù)奇偶性的定義與判斷

1．函數(shù)f(x)x3的奇偶性為（）

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增的是（）

11

A．f(x)xB．f(x)x

xx

12x

C．f(x)D．f(x)

x22x

1

（多選題）3．已知函數(shù)fxx，則下列結(jié)論中正確的是（）

x

A．fx最小值是2B．fx是奇函數(shù)

C．fx在0,1上單調(diào)遞減D．fx在1,上單調(diào)遞增

1,x為有理數(shù)

（多選題）4．設函數(shù)f(x)，則下列結(jié)論正確的是（）

0,x為無理數(shù)

A．fx的定義域為RB．fx的值域為0,1

C．fx是偶函數(shù)D．fx是單調(diào)函數(shù)

5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)fxx42x2；

1

(2)fxx3；

x

1x2

(3)fx．

x22

考點二由奇偶性求函數(shù)解析式

（多選題）1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x0時，f(x)xx2，則下列說法正確的是（）

1

A．f(x)的最大值為B．f(x)在(1,0)上單調(diào)遞增

4

C．f(x)0的解集為(1,1)D．f(x)2x0的解集為[0,3]

2．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x21，則f(2).

3．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x0時，f(x)x22x，則當x0時，f(x).

axb1

4．已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)．其中a、bR且f1．

1x22

(1)求yfx的表達式；

(2)若gxxfx，實數(shù)t滿足g3t2gt1，求t的取值范圍．

5．若函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，fx2x24x．

(1)求函數(shù)fx的表達式；

(2)若函數(shù)fx在區(qū)間a1,a上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

考點三函數(shù)奇偶性的應用

1．已知函數(shù)fx定義域為R,fx1為偶函數(shù)，fx1是奇函數(shù)且f10，則

f0f1f2f3f2025（）

A．2024B．2025C．2026D．2027

2

2．設函數(shù)fx的定義域為R，fx1為奇函數(shù)，fx2為偶函數(shù)，當x1,2時，fxaxb.若

11

f0f36，則f（）

2

5375

A．B．C．D．

2242

3．設fxax3bx2cx2bc是偶函數(shù)，且定義域為(b1，2b)，則abc（）

1111

A．B．C．D．

2345

4．已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(2x1)f(12x)0，且當x0時，恒有：5x7f(x)x23x9，

則使得f(m)的值可以確定的m個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

2024(x2)2x2027

5．設函數(shù)f(x)（x100,100）的最大值為M，最小值為m，則Mm=

x24

考點四抽象函數(shù)的奇偶性

1．已知定義域為R的函數(shù)fx，滿足f2x是奇函數(shù)，f3x1是偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）

A．fx的圖象關于直線x1對稱B．f31

C．fx的一個周期為4D．fx的圖象關于點0,0對稱

2．已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x,y，都有fxfyfxya，則a（）

A．2B．1C．0D．1

3．若定義在Z上的函數(shù)fx滿足對任意x,yZ均有fxyfxf2yf2xfy，則稱fx為

“S2函數(shù)”.已知fx為“S2函數(shù)”，且f21，f10，則f0f47（）

22

A．B．0C．D．1

22

（多選題）4．已知定義域為R的函數(shù)fx不是常值函數(shù)，當x1時，fx0，而且對任意的x,yR有

fxyfxfyfxfy，則下列說法正確的有（）

A．f10

B．若x0,1，則fx1,0

C．fx在0,上單調(diào)遞減

D．若f10,f32，則不等式fx18的解集為x8x10

（多選題）5．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則下列說法正確的是（）

A．f(x)可以表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和

B．若f(x)是奇函數(shù)，則f2(x)是偶函數(shù)

C．若f(x)是偶函數(shù)，則x3f(x)是偶函數(shù)

D．若f(x)是奇函數(shù)，則f(x3)是奇函數(shù)

（多選題）6．已知函數(shù)fx的定義域為R，對任意x,yR，都有fxyfxfyfxy1，且

f10，則下列選項正確的是（）

A．f01B．fx為減函數(shù)

C．f10099D．yfx1為奇函數(shù)

考點五由函數(shù)奇偶性解不等式

fx1fx2

1．已知函數(shù)fx為定義在R上的奇函數(shù)，當x1,x20,時，都有0成立，且f30，

x1x2

則滿足xfx0的x的取值范圍是（）

A．3,0)(0,3B．3,3C．,33,D．3,3

2．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)0．若f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，則不等式(x1)f(x)0的

解集是（）

A．(,2)(1,2)B．(2,0)(1,2)

C．(2,0)(0,2)D．(2,0)(2,)

3．若fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx在0,上是嚴格增函數(shù)，f10，則不等式x1fx0

的解集是．

x

4．已知函數(shù)fx是定義在區(qū)間1,1上的函數(shù)．

x21

(1)判斷fx的奇偶性；

1

(2)證明fx在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，并求不等式fxfx10的解集．

2

xb1

5．已知函數(shù)fxx1,1是奇函數(shù).

x21

(1)求b的值.

(2)判斷函數(shù)fx在1,1上的單調(diào)性并說明理由，并求fx的最值；

(3)若函數(shù)fx滿足不等式ft1f2t0，求出t的范圍.

考點六奇偶函數(shù)對稱性的應用

fx2fx1

1．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x1,x20,，且x1x2，都有0，且

x2x1

f30，則不等式xfx0的解集為（）

A．,33,B．3,03,

C．,30,3D．3,00,3

2．已知圖甲中的圖象對應的函數(shù)yf(x)，則圖乙中的圖象對應的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是（）

A．yf(|x|)B．y|f(x)|

C．yf(|x|)D．yfx

3．（多選）已知定義在R上的偶函數(shù)fx滿足fx4fxf2，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則下

列說法正確的是（）

A．函數(shù)fx的一個周期為4

B．直線x4是函數(shù)fx圖象的一條對稱軸

C．函數(shù)fx在6,5上單調(diào)遞增，在5,1上單調(diào)遞減

D．函數(shù)fx在0,100內(nèi)有25個零點

4．（多選）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意的實數(shù)x,y，均有f(xy)f(x)f(y)axy1，且當

x0時，恒有f(x)1，則（）

A．f(0)1

B．當a0時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)

C．當a0時，f(x)的圖象關于點0,1對稱

D．當a2時，f(x)為偶函數(shù)

5．設函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x1)為奇函數(shù)，f(x2)為偶函數(shù)，當x[1,2]時，f(x)ax2b．若

13

f(1)f(3)0，且f(4)f(3)3，則f．

2

x3(x1)2

6．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2]上的最大值為M，最小值為N，則(MN4)3的值為．

x21

知識導圖記憶

知識目標復核

1．函數(shù)奇偶性的定義及判斷

2．函數(shù)的復合及復合函數(shù)奇偶性的判斷

3．分段函數(shù)奇偶性的判斷

4.數(shù)學語言理解函數(shù)周期性及對稱性

1．若p:a2，q:函數(shù)fxxa2x2a1為R上的奇函數(shù)，則p是q的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．既不充分也不必要條件D．充要條件

2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)為偶函數(shù)，f(4x)f(4x)，則下列說法錯誤的是（）

A．f(x)的圖象關于(4,0)中心對稱

B．f(x)的周期為8

C．f(2025)f(1)

D．當x[0,2]時，f(x)x22x，則f(7)的值為1

3．已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且f12x是偶函數(shù)，當x0,1時，fxx2，則f7（）

A．49B．1C．0D．1

4．已知函數(shù)yfx的圖象如下，則fx的解析式可能為（）

xx|x||x|

A．f(x)B．f(x)C．f(x)D．f(x)

1|x||x|11x2x21

3

5．設f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當2x3時，f(x)52x，則f（）

4

1111

A．B．C．D．

2442

6．已知函數(shù)fx的定義域為R，滿足f1xf1x,f1xf1x0．當x1,1時，

fxax33，則fx的最大值是（）

A．6B．3C．5D．8

2x

7．函數(shù)y的圖象大致是（）

x21

A．B．

C．D．

1

（多選題）8．已知函數(shù)fx的定義域為R，x,yR，