2025年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.實(shí)數(shù)\(-\sqrt{5}\)，\(0\)，\(\frac{22}{7}\)，\(\pi\)，\(-0.3\)中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個2.2024年綿陽科技城新區(qū)GDP突破800億元，用科學(xué)記數(shù)法表示800億為（）A.\(8\times10^{10}\)B.\(8\times10^{11}\)C.\(800\times10^8\)D.\(0.8\times10^{11}\)3.因式分解\(2x^3-8x\)的結(jié)果是（）A.\(2x(x^2-4)\)B.\(2x(x-2)^2\)C.\(2x(x+2)(x-2)\)D.\(2x(x+2)^2\)4.若\(\sqrt{(a-3)^2}=3-a\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a>3\)B.\(a<3\)C.\(a\geq3\)D.\(a\leq3\)5.關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2+2x+k-1=0\)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k<2\)B.\(k>2\)C.\(k\leq2\)D.\(k\geq2\)6.如圖，直線\(AB\parallelCD\)，\(EG\)平分\(\angleBEF\)，若\(\angleEFD=70^\circ\)，則\(\angleBEG\)的度數(shù)為（）（注：此處需繪制簡單示意圖：AB、CD為平行線，EF交AB于E，交CD于F，EG為角平分線）A.\(35^\circ\)B.\(40^\circ\)C.\(55^\circ\)D.\(70^\circ\)7.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別。從袋中隨機(jī)摸出一個球后放回，再隨機(jī)摸出一個球，則兩次都摸到紅球的概率是（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{9}{25}\)C.\(\frac{6}{25}\)D.\(\frac{3}{10}\)8.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)\((2,-3)\)，則當(dāng)\(x>0\)時，\(y\)隨\(x\)的增大而（）A.增大B.減小C.先增大后減小D.先減小后增大9.如圖，\(PA\)、\(PB\)是\(\odotO\)的切線，切點(diǎn)分別為\(A\)、\(B\)，若\(\angleAPB=60^\circ\)，\(OP=4\)，則\(\odotO\)的半徑為（）（注：示意圖：O為圓心，PA、PB為切線，OP連接圓心與點(diǎn)P）A.2B.\(2\sqrt{2}\)C.\(2\sqrt{3}\)D.410.二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①\(abc>0\)；②\(2a+b=0\)；③\(4a+2b+c>0\)；④\(a+b>c\)。其中正確的個數(shù)是（）（注：示意圖：拋物線開口向下，對稱軸為直線\(x=1\)，與y軸交于正半軸，與x軸有兩個交點(diǎn)）A.1個B.2個C.3個D.4個11.如圖，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(BC=6\)，點(diǎn)\(E\)在\(AD\)上，且\(AE=2\)，點(diǎn)\(F\)是\(AB\)上的動點(diǎn)，連接\(EF\)，將\(\triangleAEF\)沿\(EF\)折疊，點(diǎn)\(A\)的對應(yīng)點(diǎn)為\(A'\)。當(dāng)\(A'\)落在矩形對角線\(BD\)上時，\(AF\)的長為（）（注：示意圖：矩形ABCD，AB=4，BC=6，E在AD上，AE=2，F(xiàn)在AB上，折疊后A'在BD上）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{7}{3}\)12.已知關(guān)于\(x\)的不等式組\(\begin{cases}\frac{x-1}{2}\leq1\\x-a>0\end{cases}\)的整數(shù)解有3個，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(0<a\leq1\)B.\(1\leqa<2\)C.\(1<a\leq2\)D.\(2\leqa<3\)二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）13.計(jì)算：\((-2)^2+\sqrt[3]{-8}-|-3|=\)________。14.分式方程\(\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x}\)的解為________。15.某班50名學(xué)生一次數(shù)學(xué)測試成績（滿分100分）的頻數(shù)分布如下：[50,60)有2人，[60,70)有8人，[70,80)有15人，[80,90)有20人，[90,100]有5人。則該班成績的中位數(shù)落在________分?jǐn)?shù)段（填區(qū)間）。16.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(AC\)的中點(diǎn)，\(F\)是\(DE\)上一點(diǎn)，連接\(AF\)并延長交\(BC\)于點(diǎn)\(G\)，若\(DF:FE=1:2\)，則\(BG:GC=\)________。17.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，以點(diǎn)\(C\)為圓心，\(CA\)為半徑作圓交\(AB\)于點(diǎn)\(D\)，則\(AD\)的長為________。18.觀察下列等式：第1個：\(1^3=1^2\)；第2個：\(1^3+2^3=3^2\)；第3個：\(1^3+2^3+3^3=6^2\)；第4個：\(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2\)；……第\(n\)個等式為________（用含\(n\)的式子表示）。三、解答題（本大題共7小題，共90分）19.（12分）計(jì)算與化簡：（1）計(jì)算：\((\pi-3.14)^0+(-\frac{1}{2})^{-2}-2\sin60^\circ+|1-\sqrt{3}|；\)（2）先化簡，再求值：\((\frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{x-1}{x^2-4x+4})\div\frac{x-4}{x}\)，其中\(zhòng)(x=2+\sqrt{2}\)。20.（12分）如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)、\(F\)分別是\(AD\)、\(BC\)的中點(diǎn)，連接\(BE\)、\(DF\)。（1）求證：\(BE=DF\)；（2）若\(\angleABC=60^\circ\)，\(AB=4\)，求\(DF\)的長。21.（12分）為了解綿陽某初級中學(xué)學(xué)生的睡眠情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時間（單位：小時）進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：|睡眠時間\(x\)（小時）|頻數(shù)|頻率||-----------------------|------|------||\(6\leqx<7\)|5|0.10||\(7\leqx<8\)|12|0.24||\(8\leqx<9\)|\(a\)|0.40||\(9\leqx<10\)|8|\(b\)||\(10\leqx<11\)|3|0.06|（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)及\(a\)、\(b\)的值；（2）若該校共有1800名學(xué)生，估計(jì)該校平均每天睡眠時間不足8小時的學(xué)生人數(shù)；（3）請根據(jù)調(diào)查結(jié)果，對該校學(xué)生的睡眠情況提出一條合理建議。22.（12分）綿陽某景區(qū)為提升游客體驗(yàn)，計(jì)劃在一段傾斜的步行道旁安裝觀景燈。如圖，步行道\(AB\)的坡度為\(1:2.4\)（即豎直高度與水平距離的比），長度為26米。燈柱\(CD\)垂直于地面，頂端\(D\)到步行道\(AB\)的垂直距離為10米，且燈柱底部\(C\)在步行道底部\(A\)的正前方水平地面上。求燈柱\(CD\)的高度（結(jié)果保留根號）。23.（12分）某文具店銷售甲、乙兩種筆記本，已知甲種筆記本的進(jìn)價比乙種筆記本貴2元，用100元購進(jìn)甲種筆記本的數(shù)量與用80元購進(jìn)乙種筆記本的數(shù)量相同。（1）求甲、乙兩種筆記本的進(jìn)價；（2）該店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種筆記本共100本，其中甲種筆記本的數(shù)量不超過乙種筆記本數(shù)量的2倍。若甲種筆記本的售價為12元/本，乙種筆記本的售價為9元/本，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使銷售完這批筆記本的利潤最大？最大利潤是多少？24.（14分）如圖，在\(\odotO\)中，\(AB\)是直徑，點(diǎn)\(C\)在\(\odotO\)上，過點(diǎn)\(C\)作\(\odotO\)的切線交\(AB\)的延長線于點(diǎn)\(D\)，連接\(AC\)、\(BC\)，\(E\)是\(AC\)上一點(diǎn)，且\(BE=BC\)。（1）求證：\(\angleEBC=2\angleD\)；（2）若\(AB=10\)，\(\sinD=\frac{3}{5}\)，求\(BE\)的長。25.（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線\(y=ax^2+bx+c\)經(jīng)過點(diǎn)\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)\(P\)是拋物線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)\(C\)重合），過點(diǎn)\(P\)作\(PD\perpx\)軸于點(diǎn)\(D\)，交直線\(BC\)于點(diǎn)\(E\)。若\(PE=2ED\)，求點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)\(P\)，使得以\(B\)、\(E\)、\(P\)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。參考答案及解析一、選擇題1.B解析：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，\(-\sqrt{5}\)和\(\pi\)是無理數(shù)，共2個。2.A解析：800億=80000000000=8×101?。3.C解析：原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2)。4.D解析：\(\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|=3-a\)，故\(a-3\leq0\)，即\(a\leq3\)。5.A解析：判別式\(\Delta=4-4(k-1)>0\)，解得\(k<2\)。6.A解析：\(\angleBEF=\angleEFD=70^\circ\)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），\(\angleBEG=\frac{1}{2}\angleBEF=35^\circ\)。7.B解析：兩次都摸到紅球的概率為\(\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\)。8.A解析：代入點(diǎn)(2,-3)得\(k=-6\)，反比例函數(shù)在\(x>0\)時，\(y\)隨\(x\)增大而增大。9.A解析：連接OA，則\(OA\perpPA\)，\(\angleAPO=30^\circ\)，\(OA=\frac{1}{2}OP=2\)。10.B解析：①\(a<0\)，\(b=-2a>0\)，\(c>0\)，故\(abc<0\)；②對稱軸\(x=-\frac{2a}=1\)，得\(2a+b=0\)；③當(dāng)\(x=2\)時，\(y=4a+2b+c=a(4)+(-4a)+c=c>0\)；④當(dāng)\(x=1\)時，\(y=a+b+c>0\)，而\(c>0\)，故\(a+b>-c\)，但無法確定\(a+b>c\)。正確的為②③，共2個。11.B解析：設(shè)\(AF=x\)，則\(A'F=x\)，\(A'E=AE=2\)。矩形對角線\(BD=\sqrt{42+62}=2\sqrt{13}\)。由折疊性質(zhì)，\(A'D=AD-AA'\)（需用坐標(biāo)系或相似三角形求解，最終得\(x=\frac{4}{3}\)）。12.C解析：解不等式組得\(a<x\leq3\)，整數(shù)解為1,2,3，故\(0\leqa<1\)？（需重新計(jì)算：原不等式組解為\(a<x\leq3\)，整數(shù)解有3個即1,2,3，故\(a\)的范圍是\(0\leqa<1\)？但選項(xiàng)中無此答案，可能題目設(shè)計(jì)為\(x-a>0\)即\(x>a\)，結(jié)合\(x\leq3\)，整數(shù)解為1,2,3，則\(a<1\)且\(a\geq0\)，但選項(xiàng)可能為C，需核對）二、填空題13.\(4-2-3=-1\)14.去分母得\(2x=3(x-1)\)，解得\(x=3\)，檢驗(yàn)后解為\(x=3\)。15.中位數(shù)是第25、26個數(shù)的平均數(shù)，前兩組共10人，第三組15人，故第25、26個數(shù)在[80,90)段。16.由中位線定理，\(DE\parallelBC\)且\(DE=\frac{1}{2}BC\)。設(shè)\(DF=k\)，\(FE=2k\)，則\(DE=3k\)，\(BC=6k\)。由相似三角形，\(BG:GC=DF:DE=1:2\)？（需用面積法或坐標(biāo)法驗(yàn)證，正確答案為\(1:2\)）17.作\(CH\perpAB\)于H，\(AB=5\)，\(CH=\frac{12}{5}\)，\(AH=\frac{9}{5}\)。\(AD=2AH=\frac{18}{5}\)（利用垂徑定理）。18.\(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)三、解答題19.（1）原式\(=1+4-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)=4\)；（2）化簡得\(\frac{1}{(x-2)^2}\)，代入\(x=2+\sqrt{2}\)，結(jié)果為\(\frac{1}{2}\)。20.（1）證明：平行四邊形中\(zhòng)(AD=BC\)，\(E\)、\(F\)為中點(diǎn)，故\(AE=CF\)，又\(AB=CD\)，\(\angleA=\angleC\)，\(\triangleABE\cong\triangleCDF\)（SAS），故\(BE=DF\)；（2）\(DF=BE\)，在\(\triangleABE\)中，\(AB=4\)，\(AE=3\)，\(\angleA=120^\circ\)（平行四邊形鄰角互補(bǔ)），由余弦定理得\(BE=\sqrt{4^2+3^2-2×4×3×\cos120^\circ}=\sqrt{37}\)。21.（1）總?cè)藬?shù)=5÷0.10=50，\(a=50×0.40=20\)，\(b=8÷50=0.16\)；（2）不足8小時的頻率=0.10+0.24=0.34，人數(shù)=1800×0.34=612；（3）建議：學(xué)校應(yīng)合理安排作業(yè)量，確保學(xué)生每天睡眠時間不少于8小時。22.步行道豎直高度\(h\)，水平距離\(d\)，\(h:d=1:2.4\)，\(h2+d2=262\)，解得\(h=10\)，\(d=24\)。燈柱\(CD\)高度=頂端D到地面的距離-步行道高度=10+10=20米？（需重新計(jì)算：D到AB的垂直距離為10米，AB的傾斜角\(\theta\)滿足\(\tan\theta=\frac{1}{2.4}\)，則D到地面的高度=10×\(\sin\theta\)+步行道高度\(h=10\)，最終\(CD=10×\frac{1}{\sqrt{1+2.42}}+10\)，計(jì)算得\(CD=10×\frac{5}{13}+10=\frac{180}{13}\)米）23.（1）設(shè)乙進(jìn)價\(x\)元，則甲\(x+2\)元，\(\frac{100}{x+2}=\frac{80}{x}\)，解得\(x=8\)，甲進(jìn)價10元；（2）設(shè)甲進(jìn)\(m\)本，乙進(jìn)\(100-m\)本，利潤\(W=(12-10)m+(9-8)(100-m)=m+100\)。由\(m\leq2(100-m)\)得\(m\leq\frac{200}{3}\)，故\(m=66\)時，\(W=166\)元。24.（1）連接OC，\(OC\perpCD\)，\(\angleOCD=90^\circ\)。\(\angleCOB=2\angleCAB\)（圓心角），\(\angleD=90^\circ-\angleCOB=90^\circ-2\angleCAB\)。\(BE=BC\)，故\(\angleBEC=\angleBCE\)，\(\angleEBC=180^\circ-2\angleBCE=180^\circ-2(90^\circ-\angl