第五章數(shù)列章末題型大總結(jié)題型01數(shù)列的函數(shù)特性及應用解題錦囊解題錦囊求數(shù)列最小(小)項的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出數(shù)列的最小項或最小項．（2）利用，求數(shù)列中的最小項；利用，求數(shù)列中的最小項.當解不唯一時，比較各解大小即可確定．【典例1】（24-25高二上·河北滄州·階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則中的項最小為（

）A． B．0 C． D．2【變式1】（24-25高三上·河北·階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，若對于任意正整數(shù)n，都有≥成立，則m的值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【變式2】（24-25高二上·河北保定·階段練習）在數(shù)列中，若，，則下列數(shù)不是中的項的是（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）已知數(shù)列的通項公式是（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式4】（24-25高三上·天津·階段練習）在無窮數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項和為，則的最小值與最小值的差為（

）A． B．C． D．無法確定題型02由數(shù)列的前幾項求通項解題錦囊解題錦囊由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式①各項的符號特征，通過或來調(diào)節(jié)正負項．②考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系．③相鄰項(或其絕對值)的變化特征．④拆項、添項后的特征．⑤通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【典例1】（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列的前4項依次為，則其通項公式可能為（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二上·山東菏澤·階段練習）若數(shù)列的前四項依次為2，12，112，1112，則的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二上·黑龍江綏化·階段練習）對于任意一個有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的之和，構(gòu)造一個新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1，5進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依此類推，第n次得到數(shù)列1，5.記第n次得到的數(shù)列的各項之和為，則的通項公式（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高三上·天津河西·期中）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【變式4】（24-25高二上·甘肅白銀·期中）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第項為（

）A． B． C． D．題型03累減法與累除法解題錦囊解題錦囊累減法適用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解題恒等式為an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解累除法適用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通項an.【典例3】（24-25高二上·山東·期中）在數(shù)列中，，則的通項公式為．【變式1】（24-25高二上·上?！て谥校┤魯?shù)列滿足，且（其中，），則的通項公式是．【變式2】（23-24高二下·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項公式為．【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，則a2023＝【變式4】（24-25高二上·重慶·期中）將正偶數(shù)按照如圖排列，我們將……，都稱為“拐角數(shù)”，則下面是拐角數(shù)的為（

）A．35 B．45 C．111 D．135題型04根據(jù)Sn與an的關(guān)系求通項解題錦囊解題錦囊（1）已知Sn=f(n)求an已知求通項，步驟可分為三步：（1）當時；（2）當時，；（3）檢驗能否合寫，即和兩種情況能否合寫成一個公式，否則就寫為分段的形式．（2）已知Sn與an的關(guān)系求an根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.【典例4】（24-25高二上·天津靜?！るA段練習）已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，則的通項公式為.【變式1】（24-25高二上·上?！るA段練習）已知數(shù)列的前項和．則數(shù)列．【變式2（24-25高三上·天津·期中）已知數(shù)列的前項和為，若，則.【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則.【變式4】（24-25高二上·河南·期中）記數(shù)列的前n項和為，已知（）且，，則．題型05構(gòu)造法求數(shù)列的通項解題錦囊解題錦囊用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.倒數(shù)法形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.【典例5】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)an滿足，則數(shù)列an的通項公式．【變式1】（23-24高一下·上海·期末）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【變式2】（23-24高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【變式3】在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為．題型06等差、等比數(shù)列的判斷解題錦囊解題錦囊1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母eq\a\vs4\al(d)表示．2．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，第一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．【典例5】（24-25高三上·陜西·階段練習）已知正項數(shù)列滿足，且，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．為等比數(shù)列【變式1】（24-25高三上·江蘇·階段練習）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【變式2】（24-25高三上·江西南昌·階段練習）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【變式3】（24-25高二上·河北保定·階段練習）記等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．(2)若數(shù)列滿足，且，求的通項公式．【變式4】（2024高三上·山東濟南·專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.題型07等差、等比數(shù)列基本量計算解題錦囊解題錦囊（1）在等差、等比數(shù)列中，其通項公式和前n項和兩個公式共涉及，，，及五個基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、末項和前項和；、（2）依據(jù)方程的思想，在數(shù)列前項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”。．【典例7】（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）已知等比數(shù)列的前3項和為28，且，則（

）A．28 B．56 C．64 D．128【變式1】（23-24高三上·山東·期中）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（

）A．或15 B．15 C．或 D．【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）已知等差數(shù)列的首項為1，若成等比數(shù)列，則（

）A． B．4 C．8 D．或4【變式3】（24-25高三上·江蘇·階段練習）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（

）A．10 B．9 C． D．【變式4】（24-25高三上·湖北·期中）已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項和，則（

）A． B． C． D．7題型08等差數(shù)列的性質(zhì)解題錦囊解題錦囊1．等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1）若，則；（2）若，則；（3）下標成等差數(shù)列的項組成以md為公差的等差數(shù)列2．與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)設(shè)等差數(shù)列（公差為d）和的前n項和分別為，（1）數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為．（2）構(gòu)成公差為的等差數(shù)列．（3）若數(shù)列共有項，則，；若數(shù)列共有項，則，．（4），．【典例8】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）等差數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．28 B．30 C．32 D．36【變式1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）（多選）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，.（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若等差數(shù)列的前m項的和為20，前3m項的和為70，則它的前2m項的和為（

）A．30 B．70 C．50 D．90【變式3】（24-25高二上·河北滄州·階段練習）已知為等差數(shù)列的前項和，若，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【變式4】（24-25高二上·陜西榆林·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和分別為，若，則（

）A． B． C． D．題型09等比數(shù)列的性質(zhì)解題錦囊解題錦囊若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前n項和為，則有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則．推廣：若，則．（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列．（3）若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則．（4）當時，連續(xù)項的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）．注意：這里連續(xù)m項的和均非零．【典例9】（24-25高二上·山西晉城·階段練習）定義行列式，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【變式1】（23-24高三上·江蘇揚州·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．66 B．67 C．50 D．63【變式2】（24-25高二上·天津濱海新·階段練習）在正項等比數(shù)列中，，則.【變式3】（24-25高二上·全國·隨堂練習）若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其偶數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為．題型10等差數(shù)列前n項和的最值問題解題錦囊解題錦囊思路1：根據(jù)等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)特性求最值；思路2：結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性找變號項進而求出最值.【典例10】（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，，是等比數(shù)列，則當取最小值時，（

）A．2或3 B．2 C．3 D．4【變式1】（24-25高二上·天津濱海新·階段練習）若是等差數(shù)列，表示的前項和，，，則中最小的項是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）（多選）已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則（

）A．公差 B．C． D．當時，最小【變式3】（24-25高二上·福建龍巖·階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則（）A．B．C．D．題型11裂項相消法【典例11】（24-25高二上·福建龍巖·階段練習）（多選）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．數(shù)列為等比數(shù)列C．D．若，則數(shù)列的前10項和為【變式1】（24-25高二上·重慶·期中）已知為等差數(shù)列，其公差為，前項和為，為等比數(shù)列，其公比為，前項和為，若，，，．(1)求公差和；(2)記，證明：．【變式2】（24-25高三上·河北·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【變式3】（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習）已知數(shù)列前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前100項和.題型12錯位相減法【典例12】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【變式1】（24-25高二上·福建廈門·階段練習）若數(shù)列的前項和為，且，等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【變式2】（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知公差為的等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項和.【變式3】（24-25高二上·江蘇淮安·期中）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和為；(3)若對任意恒成立．求實數(shù)的取值范圍．題型13并項法【典例13】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）已知數(shù)列滿足，前項和為，則等于（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，若，，則.【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）設(shè)的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列的通項公式為，求其前項和(3)記的前項和為，求證：．【變式3】（24-25高三上·廣東·階段練習）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項的和．【變式4】（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．題型14數(shù)列在實際問題中的應用【典例14】（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時候，這個時候水位就會異常的高.某地發(fā)生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機.經(jīng)測算，需要調(diào)用20臺某型號抽水機，每臺抽水機需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的抽水機每隔20min才有一臺到達施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共需要抽調(diào)這種型號的抽水機（

）A．25臺 B．24臺 C．23臺 D．22臺【變式1】（24-25高三上·湖南·期中）為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運動的習慣，小張11月1日運動了2小時，從第二天開始，每天運動的時長比前一天多2小時，則從11月1日到11月15日，小張運動的總時長為（

）A．3.5小時 B．246小時C．4小時 D．250小時【變式2】（24-25高三上·浙江·階段練習）北宋數(shù)學家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復嘗試，終于得出了長方臺形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有..........依此類推，最底層有個小球，共有層.現(xiàn)有一個由小球堆成的長方臺形垛積，共層，小球總個數(shù)為，則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（24-25高三上·江西上饒·期中）復印紙按照幅面的基本面積，把幅面規(guī)格分為系列、系列、系列，其中系列的幅面規(guī)格為，，，…，，所有規(guī)格的紙張的長度（以表示）和幅寬（以表示）的比例關(guān)系都為；將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格；將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格；…，如此對開至規(guī)格.現(xiàn)有，，，…，紙各一張，若紙的幅寬為，則這9張紙的面積之和為（

）A． B．C． D．題型15數(shù)列中的新定義問題【典例15】（24-25高二上·廣東·階段練習）斐波那契數(shù)列因數(shù)學家萊昂納多?斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因趨向于無窮大時，無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，若從該數(shù)列前12項中隨機抽取1項，則抽取項是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·江蘇·階段練習）將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·上海長寧·一模）數(shù)列為嚴格增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，都有，則稱數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”．①存在等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；②任意等比數(shù)列，若首項，則滿足“性質(zhì)Ω”；下列選項中錯誤的是（

）A．①是真命題，②是真命題； B．①是真命題，②是假命題；C．①是假命題，②是真命題； D．①是假命題，②是假命題．【變式3】（24-25高二上·福建漳州·期中）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.(1)已知數(shù)列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列.(3)若數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項的和.【變式4】（24-25高二上·福建廈門·階段練習）已知兩個數(shù)列和的項數(shù)均為，且對于數(shù)列，其中，若存在滿足：①，都有；②，使得，則稱數(shù)列是的單極數(shù)列.(1)已知，若的單極數(shù)列為，求滿足條件的的個數(shù).(2)已知是的單極數(shù)列.（i）若，求.（ii）若，當時，證明：.第五章數(shù)列章末題型大總結(jié)題型01數(shù)列的函數(shù)特性及應用解題錦囊解題錦囊求數(shù)列最小(小)項的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出數(shù)列的最小項或最小項．（2）利用，求數(shù)列中的最小項；利用，求數(shù)列中的最小項.當解不唯一時，比較各解大小即可確定．【典例1】（24-25高二上·河北滄州·階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則中的項最小為（

）A． B．0 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解.【詳解】.當時，函數(shù)單調(diào)遞減，則當時，數(shù)列單調(diào)遞減，所以中的項最小為..【變式1】（24-25高三上·河北·階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，若對于任意正整數(shù)n，都有≥成立，則m的值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【分析】利用給定的通項公式，結(jié)合單調(diào)性求出最小項即可得解.【詳解】數(shù)列的通項公式為，則，由，，解得，而,因此當時，，即，當時，，即，所以數(shù)列的最小項為，即對于任意正整數(shù)n，都有≥成立，依題意，.【變式2】（24-25高二上·河北保定·階段練習）在數(shù)列中，若，，則下列數(shù)不是中的項的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系及求數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，由此判斷結(jié)論.【詳解】因為，，所以，，，，…，故是以為周期的周期數(shù)列，-1不是數(shù)列中的項，．【變式3】（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）已知數(shù)列的通項公式是（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義即可列不等式求解.【詳解】為單調(diào)遞增的數(shù)列，故，解得，【變式4】（24-25高三上·天津·階段練習）在無窮數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項和為，則的最小值與最小值的差為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【分析】求出數(shù)列的前n項和，按奇偶探討的單調(diào)性求出最小與最小值即可得解.【詳解】由，，得，而，則數(shù)列是等比數(shù)列，于是，當為偶數(shù)時，，，當為偶數(shù)時，，，因此的最小值與最小值分別為，所以的最小值與最小值的差為.題型02由數(shù)列的前幾項求通項解題錦囊解題錦囊由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式①各項的符號特征，通過或來調(diào)節(jié)正負項．②考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系．③相鄰項(或其絕對值)的變化特征．④拆項、添項后的特征．⑤通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【典例1】（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列的前4項依次為，則其通項公式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依次求出各個選項中數(shù)列的前幾項即可判斷.【詳解】對于A，，不合題意；對于B，，不符合題意；對于C，，不合題意；對于D，，不合題意．【變式1】（24-25高二上·山東菏澤·階段練習）若數(shù)列的前四項依次為2，12，112，1112，則的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過觀察前幾項的規(guī)律即可求解.【詳解】由，，，，可得的一個通項公式為．．【變式2】（24-25高二上·黑龍江綏化·階段練習）對于任意一個有窮數(shù)列，可以通過在該數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的之和，構(gòu)造一個新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1，5進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，6，5，第2次得到數(shù)列1，7，6，11，5，依此類推，第n次得到數(shù)列1，5.記第n次得到的數(shù)列的各項之和為，則的通項公式（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意構(gòu)造數(shù)列，分析規(guī)律，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】依題意，，，，，，，由等比數(shù)列的前項和公式，得，所以的通項公式.【變式3】（24-25高三上·天津河西·期中）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察得到中的偶數(shù)項都是數(shù)列中的項，即，其為公比為4的等比數(shù)列，求出，得到答案.【詳解】數(shù)列中的項為，觀察得到中的偶數(shù)項都是數(shù)列中的項，即可以寫成的形式，其為公比為4的等比數(shù)列，故，故.【變式4】（24-25高二上·甘肅白銀·期中）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第項為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項，得出數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】因為數(shù)列為，所以該數(shù)列的通項公式為，得到，.題型03累減法與累除法解題錦囊解題錦囊累減法適用于an＋1－an＝f(n)或an－an-1＝f(n)型，其解題恒等式為an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解累除法適用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通項an.【典例3】（24-25高二上·山東·期中）在數(shù)列中，，則的通項公式為．【答案】；【分析】求出，利用累減法求和得到通項公式.【詳解】，故，所以.故答案為：【變式1】（24-25高二上·上?！て谥校┤魯?shù)列滿足，且（其中，），則的通項公式是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用累減法求出數(shù)列的通項.【詳解】在數(shù)列中，，當時，，則，滿足上式，所以的通項公式是.故答案為：【變式2】（23-24高二下·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列的前項和為且滿足，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【分析】當時，，化簡得，利用累除法計算得到，滿足上式，寫成分段的形式即可.【詳解】當時，，化簡得，，利用累除法得，顯然滿足上式，所以故答案為：【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，則a2023＝【答案】4045【詳解】∵＝2n，∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴a2023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4045.【變式4】（24-25高二上·重慶·期中）將正偶數(shù)按照如圖排列，我們將……，都稱為“拐角數(shù)”，則下面是拐角數(shù)的為（

）A．35 B．45 C．111 D．135【答案】A【分析】先根據(jù)題中規(guī)律，并采用累減法結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求出拐彎數(shù)的通項公式，即可求解.【詳解】不妨設(shè)第n（）個“拐角數(shù)”為，不難發(fā)現(xiàn)，所以，得，當時，也不符合上式，所以，所以第7個“拐角數(shù)”是，第8個“拐角數(shù)”是，第9個“拐角數(shù)”是，第10個“拐角數(shù)”是，第11個“拐角數(shù)”是，第12個“拐角數(shù)”是.故C對；題型04根據(jù)Sn與an的關(guān)系求通項解題錦囊解題錦囊（1）已知Sn=f(n)求an已知求通項，步驟可分為三步：（1）當時；（2）當時，；（3）檢驗能否合寫，即和兩種情況能否合寫成一個公式，否則就寫為分段的形式．（2）已知Sn與an的關(guān)系求an根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.【典例4】（24-25高二上·天津靜海·階段練習）已知為數(shù)列的前n項和，且滿足，則的通項公式為.【答案】【分析】先求，再利用（）計算即可求解.【詳解】當時，，當時，，整理得：，，當時，上式不成立，所以.故答案為：【變式1】（24-25高二上·上?！るA段練習）已知數(shù)列的前項和．則數(shù)列．【答案】【分析】根據(jù)公式，即可求解數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，，當時，，驗證當時，成立，所以.故答案為：【變式2（24-25高三上·天津·期中）已知數(shù)列的前項和為，若，則.【答案】54【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當時，，所以，即，當時，，所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故答案為：54.【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則.【答案】【分析】由公式且)化簡可證明為等差數(shù)列，求出首項和公差即可知道的通項，進而可求.【詳解】因為，所以，所以，所以是等差數(shù)列，公差為3，又，所以，即.故答案為：.【變式4】（24-25高二上·河南·期中）記數(shù)列的前n項和為，已知（）且，，則．【答案】【分析】由an與的關(guān)系，可得，再累減法求解即可．【詳解】當時，由得，即，因為，所以，所以，，則，又滿足上式，故，故答案為：．題型05構(gòu)造法求數(shù)列的通項解題錦囊解題錦囊用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項，從而求出數(shù)列的通項公式.倒數(shù)法形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.【典例5】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)an滿足，則數(shù)列an的通項公式．【答案】【分析】由題意可得，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】由可得：，又,，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：【變式1】（23-24高一下·上海·期末）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項求解即得.【詳解】數(shù)列中，由，得，即，而，，于是數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，因此，即，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：【變式2】（23-24高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【答案】19【分析】取倒數(shù)可得，即可得數(shù)列的通項公式，計算即可得.【詳解】∵，則，∴，∴故數(shù)列為等差數(shù)列，公差等于2，又，故，∴.故答案為：19．【變式3】在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為．【答案】【詳解】由，兩邊取倒數(shù)得，即，又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，故，故答案為：題型06等差、等比數(shù)列的判斷解題錦囊解題錦囊1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母eq\a\vs4\al(d)表示．2．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，第一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．【典例5】（24-25高三上·陜西·階段練習）已知正項數(shù)列滿足，且，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．為等比數(shù)列【答案】B【分析】由條件可得，，結(jié)合關(guān)系可得，可得，由此判斷AC，舉反例判斷BD.【詳解】因為，數(shù)列為正項數(shù)列，所以，，又，所以，所以，所以為等差數(shù)列，A錯誤，C錯誤；設(shè)，則，，，滿足條件，，因為，，所以不是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列，B錯誤，D錯誤..【變式1】（24-25高三上·江蘇·階段練習）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要【答案】B【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，，且對任意的，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”；另一方面，若數(shù)列為等比數(shù)列，不妨取，則數(shù)列為等比數(shù)列，但無意義，即“數(shù)列是等差數(shù)列”“數(shù)列為等比數(shù)列”.因此，“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件..【變式2】（24-25高三上·江西南昌·階段練習）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則數(shù)列為等差數(shù)列B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】BC【分析】對于A，C，利用等差數(shù)列的定義判斷即可，對于B，D，通過舉反例判斷【詳解】對于A，由等差數(shù)列的定義可知當時，數(shù)列為等差數(shù)列，所以A錯誤；對于B，當時，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，所以B錯誤；對于C，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則，，所以，所以，，成等差數(shù)列，所以C錯誤；對于D，當?shù)缺葦?shù)列的公比，當為偶數(shù)時，，，均為零，所以，，不成等比數(shù)列，所以D錯誤，C.【變式3】（24-25高二上·河北保定·階段練習）記等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．(2)若數(shù)列滿足，且，求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，將條件轉(zhuǎn)化為的方程，解方程求，結(jié)合求和公式求，再根據(jù)等差數(shù)列定義證明結(jié)論；（2）由（1）利用累減法求的通項公式.【詳解】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，又，，解得，，所以，，所以．因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2），又，所以，又當時，，則．又也滿足上式，所以的通項公式為．【變式4】（2024高三上·山東濟南·專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件，得到當，時，，且有，由等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)果；（2）由（1）及條件可得，，再利用等比等差數(shù)列前項和公式分組求和，即可求解．【詳解】（1）證明：因為，所以當，時，，即又時，，所以數(shù)列為首項為1，公比為3的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以，又由，可得，所以題型07等差、等比數(shù)列基本量計算解題錦囊解題錦囊（1）在等差、等比數(shù)列中，其通項公式和前n項和兩個公式共涉及，，，及五個基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、末項和前項和；、（2）依據(jù)方程的思想，在數(shù)列前項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”。．【典例7】（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）已知等比數(shù)列的前3項和為28，且，則（

）A．28 B．56 C．64 D．128【答案】C【分析】通過前3項和以及，求解，由通項公式可計算結(jié)果.【詳解】因為，所以，又的前3項和為28，即①，又②，②式比①式可得，解得（舍）或，代入②式得，則.【變式1】（23-24高三上·山東·期中）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（

）A．或15 B．15 C．或 D．【答案】B【分析】由題意設(shè)出公比，根據(jù)等差中項的性質(zhì)建立方程，可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列為正項數(shù)列，則，由，，為等差數(shù)列，則，即，即，解得或（舍去），又，所以.【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）已知等差數(shù)列的首項為1，若成等比數(shù)列，則（

）A． B．4 C．8 D．或4【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列求出可得答案.【詳解】等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，則，即，解得，，當時，，當時，，此時不能構(gòu)成等比數(shù)列，故舍去，所以,.【變式3】（24-25高三上·江蘇·階段練習）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（

）A．10 B．9 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列以及前項和的計算即可求解.【詳解】由可得，解得，【變式4】（24-25高三上·湖北·期中）已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項和，則（

）A． B． C． D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意列方程求出公比，然后可解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，依題意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.題型08等差數(shù)列的性質(zhì)解題錦囊解題錦囊1．等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1）若，則；（2）若，則；（3）下標成等差數(shù)列的項組成以md為公差的等差數(shù)列2．與等差數(shù)列各項的和有關(guān)的性質(zhì)設(shè)等差數(shù)列（公差為d）和的前n項和分別為，（1）數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為．（2）構(gòu)成公差為的等差數(shù)列．（3）若數(shù)列共有項，則，；若數(shù)列共有項，則，．（4），．【典例8】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）等差數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．28 B．30 C．32 D．36【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差中項的性質(zhì)即可得解.【詳解】由已知為等差數(shù)列，所以..【變式1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）（多選）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，.（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】利用等差數(shù)列、利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，當時，，故A錯誤；當公差時，是常數(shù)列，，但與不一定相等，故B不錯誤；設(shè)等比數(shù)列的公比為，若“”，則，故C錯誤；當公比時，是常數(shù)列，，但與不一定相等，故D不錯誤.C.【變式2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若等差數(shù)列的前m項的和為20，前3m項的和為70，則它的前2m項的和為（

）A．30 B．70 C．50 D．90【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和分段和的性質(zhì)計算即可求值.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，，也成等差數(shù)列，∴，∴，∴．故選:C.【變式3】（24-25高二上·河北滄州·階段練習）已知為等差數(shù)列的前項和，若，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，則，即可求出.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，所以，則..【變式4】（24-25高二上·陜西榆林·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)把代數(shù)式等價變形，即可得到，結(jié)合條件即可得到結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得，，由得，..題型09等比數(shù)列的性質(zhì)解題錦囊解題錦囊若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前n項和為，則有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則．推廣：若，則．（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列．（3）若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則．（4）當時，連續(xù)項的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）．注意：這里連續(xù)m項的和均非零．【典例9】（24-25高二上·山西晉城·階段練習）定義行列式，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)行列式的定義化簡則，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求結(jié)論.【詳解】由題意可得，.由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以原式..【變式1】（23-24高三上·江蘇揚州·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．66 B．67 C．50 D．63【答案】A【分析】由題意可得，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，所以..【變式2】（24-25高二上·天津濱海新·階段練習）在正項等比數(shù)列中，，則.【答案】10【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)來求得錯誤答案.【詳解】依題意，，，所以.故答案為：10【變式3】（24-25高二上·全國·隨堂練習）若等比數(shù)列共有項，其公比為2，其偶數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列的所有項之和為．【答案】300【分析】設(shè)等比數(shù)列的偶數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的偶數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，，由題意可得：，即，解得，故數(shù)列的所有項之和是.故答案為：300.題型10等差數(shù)列前n項和的最值問題解題錦囊解題錦囊思路1：根據(jù)等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)特性求最值；思路2：結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性找變號項進而求出最值.【典例10】（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）已知公差為負數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，，是等比數(shù)列，則當取最小值時，（

）A．2或3 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到，從而得到其通項公式，再確定數(shù)列的所有非負數(shù)項即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，是等比數(shù)列，即，得，解得，則，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以當取最小值時，.【變式1】（24-25高二上·天津濱海新·階段練習）若是等差數(shù)列，表示的前項和，，，則中最小的項是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)及求和公式可得，，進而可確定數(shù)列的最小項.【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，則，且，即，，所以當時，取最小值，即數(shù)列的最小項為，.【變式2】（24-25高二上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）（多選）已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則（

）A．公差 B．C． D．當時，最小【答案】BCD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合可得，進而判斷ABC；分析可得當時，；當時，，進而判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，整理得，即，因為，則，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；因為，，所以當時，；當時，，所以當時，最小，故D錯誤.CD．【變式3】（24-25高二上·福建龍巖·階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則（）A．B．C．D．【答案】BBC【分析】由等差數(shù)列前項和公式求出，再結(jié)合通項公式和前項和公式逐項辨析即可.【詳解】方法一：∵等差數(shù)列滿足，，∴由等差數(shù)列前項和公式有，解得，∴，，對于A，，故選項A錯誤；對于B，，當取與最接近的整數(shù)即或時，最小，∴，故選項B錯誤；對于C，，故選項C錯誤；對于D，，故選項D錯誤.方法二：∵等差數(shù)列滿足，∴，∴對于A，，∴，故A錯誤；對于B，，，，∴，故選項B錯誤；對于C，，故選項C錯誤；對于D，，故選項D錯誤.BC.題型11裂項相消法【典例11】（24-25高二上·福建龍巖·階段練習）（多選）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．數(shù)列為等比數(shù)列C．D．若，則數(shù)列的前10項和為【答案】BD【分析】根據(jù)題意，可得，所以數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，依次可判斷A、B、C，再由裂項相消法判斷D.【詳解】當時，由，得，解得，當時，，即，即數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，所以A、C錯誤，B錯誤；又，數(shù)列的前10項和為：，D錯誤.D.【變式1】（24-25高二上·重慶·期中）已知為等差數(shù)列，其公差為，前項和為，為等比數(shù)列，其公比為，前項和為，若，，，．(1)求公差和；(2)記，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比數(shù)列的求和公式可求出的值，即可得出的值，計算出的值，根據(jù)可得出關(guān)于的方程，即可解出的值；（2）利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，其公差為，前項和為，則，又因為，，則，因為，即，可得，解得，故，所以，，則，可得.綜上所述，.（2）由（1）可得，所以，，因此，.【變式2】（24-25高三上·河北·期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程組即可求解，，即可得；（2）由可得，由裂項相消法即可求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以；（2）因為，所以，所以.【變式3】（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習）已知數(shù)列前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前100項和.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由已知寫出時，，與已知式相減得遞推式，再求得后可得通項公式；（2）用裂項相消法求和．【詳解】（1）∵，∴時，，兩式相減得，即，，又，即，所以，∴，也適用．∴；（2）由（1），∴．題型12錯位相減法【典例12】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式可列出方程組，解出首項和公差的值，即可求得的通項公式；（2）先利用等差數(shù)列求和得，再利用方程組法得，最后運用錯位相減法求出.【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由題意，得，解得．所以．（2）由（1）得，所以①，當時，，即，所以時，②，①②得，所以，又也適合，所以，，利用錯位相減法，則，上面兩式相減得：，則，即.【變式1】（24-25高二上·福建廈門·階段練習）若數(shù)列的前項和為，且，等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由條件根據(jù)關(guān)系可得，證明數(shù)列是等比數(shù)列，由此可求，由條件求數(shù)列的公差，再求數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為①，所以②，，①②得，又所以，故數(shù)列是以為公比，首項為的等比數(shù)列，，，等差數(shù)列的公差為.（2）由（1）可得，，兩式相減得，【變式2】（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知公差為的等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，是方程的兩根，從而求得，進而求得的通項公式即可得解；（2）利用（1）中結(jié)論，結(jié)合錯位相減法即可得解.【詳解】（1）是等差數(shù)列，，又，，是方程的兩根，解，得或，又，，，，，，.（2）由（1）得，所以，則，兩式相減，得，.【變式3】（24-25高二上·江蘇淮安·期中）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和為；(3)若對任意恒成立．求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系有，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷證明，進而寫出通項公式；（2）應用錯位相減法及等比數(shù)列前n項和公式求；（3）將問題化為恒成立，作差法判斷右側(cè)的最小值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）由，則，又，所以數(shù)列是首項、公差均為的等差數(shù)列，則，所以.（2）由，則，所以，所以.（3）由（1）（2），則，整理得恒成立，令，則，當時，當時，當時，所以，即的最小值為，綜上，.題型13并項法【典例13】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）已知數(shù)列滿足，前項和為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用等比數(shù)列前項和公式計算即得.【詳解】數(shù)列中，，由，得，，則有，因此數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以..【變式1】（24-25高二上·江蘇揚州·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，若，，則.【答案】【分析】利用并項求和法及等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】因為，，所以.故答案為：【變式2】（24-25高二上·江蘇南京·階段練習）設(shè)的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列的通項公式為，求其前項和(3)記的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差證明是等差數(shù)列，進而可求數(shù)列通項公式；（2）結(jié)合（1）對分偶數(shù)與偶數(shù)兩種情況利用分組求和可求得；（3）由（1）可得，當時，，可得結(jié)論.【詳解】（1），令得；又當時，，可得，即①；所以②，由①－②得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.由及，可得公差，可得.（2）由（1）可得，當為偶數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，綜上所述：，（3）由（1）可得，當時，，所以.【變式3】（24-25高三上·廣東·階段練習）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項的和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，即可得證；（2）由（1）可得，從而得到，則當為偶數(shù)時，再利用并項求和法計算可得.【詳解】（1）因為，當時，得，解得；由題意①，得②，②①得，即，又所以，即所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，則，又，所以，且，又因為當為偶數(shù)時，，即，所以.【變式4】（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，可得，即可利用等比數(shù)列的通項求解，（2）根據(jù)對數(shù)運算可得，即可討論的奇偶求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由，得，兩式相減得，，即，即，當時，，即，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）得，則，故．當為偶數(shù)時，；當為偶數(shù)時，為偶數(shù)，．綜上，題型14數(shù)列在實際問題中的應用【典例14】（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）專家表示，海水倒灌原因是太陽、月亮等星體的共同作用下，海水的自然漲落，如果天氣因素造成的漲水現(xiàn)象趕上潮汐高潮的時候，這個時候水位就會異常的高.某地發(fā)生海水倒灌，未來24h需要排水減少損失，因此需要緊急抽調(diào)抽水機.經(jīng)測算，需要調(diào)用20臺某型號抽水機，每臺抽水機需要平均工作24h.而目前只有一臺抽水車可立即投入施工，其余抽水機需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的抽水機每隔20min才有一臺到達施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成排水任務(wù)，指揮部至少共需要抽調(diào)這種型號的抽水機（

）A．25臺 B．24臺 C．23臺 D．22臺【答案】B【分析】設(shè)至少需要臺抽水機，記一臺抽水機20min完成的任務(wù)為單位1，臺抽水機完成的任務(wù)依次為，，是公差為的等差數(shù)列，解不等式即可得．不等式數(shù)字較大，引入二次函數(shù)后，利用函數(shù)的性質(zhì)確定結(jié)論．【詳解】設(shè)至少需要臺抽水機，記一臺抽水機20min完成的任務(wù)為單位1，這臺抽水機完成的任務(wù)依次為，（）依題意，，是公差為的等差數(shù)列，，要完成所有任務(wù)，則，，記，在上是減函數(shù)，，，所以時，，所以最小值需要24臺抽水機，．【變式1】（24-25高三上·湖南·期中）為了讓自己漸漸養(yǎng)成愛運動的習慣，小張11月1日運動了2小時，從第二天開始，每天運動的時長比前一天多2小時，則從11月1日到11月15日，小張運動的總時長為（

）A．3.5小時 B．246小時C．4小時 D．250小時【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，小張從11月1日開始，第1天?第2天??第15天的運動時長依次成等差數(shù)列，且首項為2，公差為2，所以從11月1日到11月15日，小張運動的總時長為小時小時.【變式2】（24-25高三上·浙江·階段練習）北宋數(shù)學家沈括在酒館看見一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過反復嘗試，終于得出了長方臺形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積，第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有..........依此類推，最底層有個小球，共有層.現(xiàn)有一個由小球堆成的長方臺形垛積，共層，小球總個數(shù)為，則該垛積的第一層的小球個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列，利用，可得，，利用數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)題意，列出方程，求得的值，進而求得該垛積的第一層的小球個數(shù).【詳解】設(shè)各層的小球個數(shù)為數(shù)列，由題意得，，，，因為，可得，，，，則，因為前層小球總個數(shù)為，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積的第一層的小球個數(shù)為個..【變式3】（24-25高三上·江西上饒·期中）復印紙按照幅面的基本面積，把幅面規(guī)格分為系列、系列、系列，其中系列的幅面規(guī)格為，，，…，，所有規(guī)格的紙張的長度（以表示）和幅寬（以表示）的比例關(guān)系都為；將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為