第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換章末測(cè)試（考試地址：120小時(shí)試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共90分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是不符合題目要求的．1．（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列等式恒成立的是（

）A．B．C．D．2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，均為單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的值為（

）A． B．1 C． D．5．（2025·廣東湛江·一模）已知向量，，若，則（

）．A． B．2 C． D．56．（24-25高一下·上海徐匯·開學(xué)考試）在中，若，則一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形7．（24-25高一上·河南開封·期末）已知函數(shù)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的最小值為2B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．直線與函數(shù)的圖象所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8．（23-24高一下·云南昭通·階段練習(xí)）如圖所示，是直角三角形，，，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)不符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（24-25高二上·云南·階段練習(xí)）已知向量滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．B．若，則C．在方向上的投影向量為D．若，則與的夾角為10．（2025·黑龍江·二模）已知，則（

）A． B．C． D．11．（24-25高一下·湖南婁底·階段練習(xí)）抖音上面的一位名為“湯匙不是鑰匙”的博主曾經(jīng)講過一個(gè)已知三角形三點(diǎn)求三角形面積的公式，即若，則，這個(gè)公式的本質(zhì)是與向量的叉除運(yùn)算有關(guān)，前面我們學(xué)過向量的點(diǎn)除也就是向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來定義向量的叉除運(yùn)算，設(shè)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，則它們的向量積是一個(gè)新的向量，規(guī)定這個(gè)新向量的方向與的方向都垂直，新向量的大小滿足，現(xiàn)在設(shè)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．C．D．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（24-25高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）的值為．13．（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）若，，則的值為，的值為.14．（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知是面積為的等邊三角形，且其中實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知.(1)化簡(jiǎn)函數(shù)；(2)若，求的值；(3)若，且，，求的值.16．（24-25高一下·上海楊浦·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)、分別是角、的終邊與單位圓的交點(diǎn)，.(1)若，，求的值；(2)證明角、在上述范圍下的兩角差的余弦公式，即.17．（24-25高一下·安徽馬鞍山·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若且，求的值．18．（24-25高一下·福建寧德·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求的值.19．（24-25高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的相伴特征向量的坐標(biāo)；(2)記向量的相伴函數(shù)為.（I）當(dāng)且時(shí)，求的值；（II）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換（考試地址：120小時(shí)試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共90分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是不符合題目要求的．1．（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下列等式恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接由和差角公式展開即可驗(yàn)證ABD；對(duì)于C，令代入左邊，根據(jù)公式展開即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，利用同角間的關(guān)系和正切的二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)榍医堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，故角為第二象限角，所以，，所以..3．（24-25高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，均為單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出向量夾角.【詳解】因?yàn)?，均為單位向量，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋裕?4．（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用差角公式與誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)果.【詳解】由正弦的兩角和公式得：，且由誘導(dǎo)公式得：，故5．（2025·廣東湛江·一模）已知向量，，若，則（

）．A． B．2 C． D．5【答案】A【分析】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積以及其坐標(biāo)表示，建立方程，求得參數(shù)，利用模長(zhǎng)公式，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．?．（24-25高一下·上海徐匯·開學(xué)考試）在中，若，則一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】利用三角恒等變換，判斷三角形的形狀.【詳解】由,所以：.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以.所以為等腰三角形.7．（24-25高一上·河南開封·期末）已知函數(shù)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的最小值為2B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．直線與函數(shù)的圖象所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】C【分析】應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】，由，則，當(dāng)，即時(shí)，取最小值為3，A錯(cuò)；由正弦函數(shù)的單調(diào)性，知和，即和時(shí)，單調(diào)遞增，B錯(cuò)；，但不關(guān)于對(duì)稱，C錯(cuò)；令，則，又，所以或或，即或或，故所有公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，D對(duì).8．（23-24高一下·云南昭通·階段練習(xí)）如圖所示，是直角三角形，，，點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】用、作為一組基底表示、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】依題意，，，所以，所以.．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)不符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（24-25高二上·云南·階段練習(xí)）已知向量滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（

）A．B．若，則C．在方向上的投影向量為D．若，則與的夾角為【答案】BBD【分析】利用向量的數(shù)量積定義式和數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算可依次判斷A,B,D,利用投影向量概念和公式可判斷C.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在方向上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋耘c的夾角為，故D錯(cuò)誤.BD.10．（2025·黑龍江·二模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由三角恒等變換結(jié)合同角的三角函數(shù)和二倍角公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；C.11．（24-25高一下·湖南婁底·階段練習(xí)）抖音上面的一位名為“湯匙不是鑰匙”的博主曾經(jīng)講過一個(gè)已知三角形三點(diǎn)求三角形面積的公式，即若，則，這個(gè)公式的本質(zhì)是與向量的叉除運(yùn)算有關(guān)，前面我們學(xué)過向量的點(diǎn)除也就是向量的數(shù)量積，現(xiàn)在我們來定義向量的叉除運(yùn)算，設(shè)是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，則它們的向量積是一個(gè)新的向量，規(guī)定這個(gè)新向量的方向與的方向都垂直，新向量的大小滿足，現(xiàn)在設(shè)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則存在實(shí)數(shù)使得B．C．D．【答案】BCD【分析】運(yùn)用向量相關(guān)的一些性質(zhì)和運(yùn)算，包括向量共面的判斷、向量點(diǎn)積的計(jì)算、向量叉積模長(zhǎng)的計(jì)算等.對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)計(jì)算驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椴还裁?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．CD.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（24-25高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）的值為．【答案】/【分析】先運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再應(yīng)用兩角差余弦公式計(jì)算即可.【詳解】．故答案為：．13．（24-25高一上·新疆吐魯番·期末）若，，則的值為，的值為.【答案】7/【分析】利用兩角和的正切公式求解；利用兩角和與差的正弦和余弦公式和商數(shù)齊次式求解.【詳解】因?yàn)?，，所以；，，故答案為?，14．（24-25高一下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知是面積為的等邊三角形，且其中實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】延長(zhǎng)至，使得，化簡(jiǎn)所給條件可知三點(diǎn)共線，取線段的中點(diǎn)，連接，利用向量的減法減法及數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為求的最小值.【詳解】依題意，解得，延長(zhǎng)至，使得，如圖，因?yàn)椋渣c(diǎn)在直線上，取線段的中點(diǎn)，連接，則，顯然當(dāng)時(shí)，有最小值，又易知，，所以的最小值為，所以，故的最小值為，故答案為：．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知.(1)化簡(jiǎn)函數(shù)；(2)若，求的值；(3)若，且，，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可；（2）利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可得，結(jié)合（1）中結(jié)論求解即可；（3）利用和正切的兩角和公式求解即可.【詳解】（1）由題意.（2）由（1）得若，則，所以.（3）由（1）得若，，則，，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，，所?16．（24-25高一下·上海楊浦·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)、分別是角、的終邊與單位圓的交點(diǎn)，.(1)若，，求的值；(2)證明角、在上述范圍下的兩角差的余弦公式，即.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，再通過構(gòu)角，利用正弦的差角公式，即可求解；（2）根據(jù)條件得，再利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，又，則，又，所以.（2）因?yàn)?，、在單位圓上，則，，，所以，，則，即.17．（24-25高一下·安徽馬鞍山·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若且，求的值．【答案】(1)最小正周期為(2)(3)【分析】(1)根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，把函數(shù)整理為正弦型函數(shù)，利用周期公式，求周期；(2)根據(jù)題中所給，求得的取值范圍，利用正弦函數(shù)的圖像，求出函數(shù)值域；(3)根據(jù)題中所給范圍，求得的取值范圍，轉(zhuǎn)化為解方程，結(jié)合，代入求解.【詳解】（1）由題意可得：，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）因?yàn)?，則，可得，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?（3）因?yàn)?，則，且，即，可得，所以，所以.18．（24-25高一下·福建寧德·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，把函數(shù)整理為正弦型函數(shù)，利用周期公式，求周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)題中所給，求得的取值范圍，利用正弦函數(shù)的圖像，求出函數(shù)值域；（3）根據(jù)題中所給范圍，求得的取值范圍，轉(zhuǎn)化為解方程，借助正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求得，的關(guān)系，代入求解.【詳解】（1），令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，得，則，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）由，得，又，即的兩個(gè)解為，且，則，即，即，則，所以.19．（24-25高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的相伴特征向量的坐標(biāo)；(2)記向量的相伴函數(shù)為.（I）當(dāng)且時(shí)，求的值；（II）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)（I）

（II）【分析】（1）利用兩角差的正弦公式及兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)的相伴特