專題18直線與圓的位置關(guān)系

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01：直線與圓的三種位置關(guān)系

直線與圓

的位置關(guān)

ClCC

系的圖象

ll

直線與圓的相交相切相離

位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)02：判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

圖象

C

ClC

d

dd

lrl

rr

位置關(guān)系相交相切相離

判定方法C:(xa)2(yb)2r2；C:(xa)2(yb)2r2；C:(xa)2(yb)2r2；

l:AxByC0。l:AxByC0。l:AxByC0。

圓心C(a,b)到直線l的距離：圓心C(a,b)到直線l的距離：圓心C(a,b)到直線l的距離：

|AaBbC||AaBbC||AaBbC|

d。d。d。

A2B2A2B2A2B2

1

dr圓與直線相交。dr圓與直線相切。dr圓與直線相離。

2、代數(shù)法

直線l：AxByC0；圓Mx2y2DxEyF0

AxByC0

聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次函數(shù)2

22“”“”axbxc0

xyDxEyF0

①0直線l與圓M相交

②0直線l與圓M相切

③0直線l與圓M相離

知識(shí)點(diǎn)03：直線與圓相交

記直線l被圓C截得的弦長為|AB|的常用方法

1、幾何法（優(yōu)先推薦）

①弦心距（圓心到直線的距離）

②弦長公式：AB2r2d2

2、代數(shù)法

直線l：AxByC0；圓Mx2y2DxEyF0

AxByC0

聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次函數(shù)2

22“”“”axbxc0

xyDxEyF0

弦長公式：22

AB1k(x1x2)4x1x2

知識(shí)點(diǎn)04：直線與圓相切

1、圓的切線條數(shù)

①過圓外一點(diǎn)，可以作圓的兩條切線

②過圓上一點(diǎn)，可以作圓的一條切線

③過圓內(nèi)一點(diǎn)，不能作圓的切線

222

2、過一點(diǎn)P0(x0,y0)的圓的切線方程（M:(xa)(yb)r）

①點(diǎn)P0(x0,y0)在圓上

2

步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率k，記切線斜率為，則kk1k

M(a,b)P0MkP0M

步驟二：利用點(diǎn)斜式求切線（步驟一中的斜率+切點(diǎn)P0(x0,y0)）

②點(diǎn)P0(x0,y0)在圓外

記切線斜率為k，利用點(diǎn)斜式寫成切線方程yy0k(xx0)；在利用圓心到切線的距離dr求出k

（注意若此時(shí)求出的k只有一個(gè)答案；那么需要另外同理切線為xx0）

3、切線長公式

記圓M:(xa)2(yb)2r2；過圓外一點(diǎn)P做圓M的切線，切點(diǎn)為H,利用勾股定理求PH；

PHPM2MH2

3

一、單選題

1．（24-25高二上·四川成都·月考）直線l：yx1與圓C:(x1)2y24的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相切C．相離D．都有可能

【答案】A

【分析】利用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得答案.

【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為1,0，半徑為2，直線l的方程為xy10，

101

圓心到直線l的距離為22，

11

所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.

故選：A.

2．（23-24高二上·廣東·期末）直線l:xcosysin20與圓O:x2y21的位置關(guān)系為（）

A．相離B．相切C．相交D．無法確定

【答案】A

【分析】求圓心到直線的距離d與半徑r比較即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.

【詳解】由題意知，圓心(0,0)，半徑r1，

|2|

所以圓心O到直線l的距離d2r1，故圓O與直線l相離.

cos2sin2

故選：A.

3．（24-25高二下·湖南婁底·期中）已知直線l:kxyk10和圓C:x2y22x4y40，則直線l與圓

C的位置關(guān)系是（）

A．相切B．相交C．相離D．相交或相切

【答案】D

【分析】由題意可求出直線所過定點(diǎn)(1,-1)，代入圓中即可判斷出答案.

【詳解】由題意l:kxyk10，直線可化為：kx1y10，

直線過定點(diǎn)(1,-1)，代入圓C:x2y22x4y40中，

易知該點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，所以直線1與圓相交或相切.

故選：D.

1

4．（23-24高二上·陜西西安·期中）如果a2b2c2，那么直線axbyc0與圓x2y22的位置關(guān)系

3

是（）

A．相交B．相切C．相離D．相交或相切

【答案】C

【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可判斷.

4

22

【詳解】因?yàn)閳Axy2的圓心0,0，半徑r2，

cc

3r2

則圓心到直線的距離為a2b2c2，

3

即直線與圓相離.

故選：C

5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知直線l:axbyr20與圓C:x2y2r2，點(diǎn)Aa,b，則下列說法錯(cuò)

誤的是（）

A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切

B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離

C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離

D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切

【答案】C

【分析】求出圓心C0,0到直線l的距離，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置列關(guān)系式，求出圓心C0,0到直線l的距離求

解.

r2

【詳解】圓心C0,0到直線l的距離d,

a2b2

若點(diǎn)Aa,b在圓C上，則a2b2r2，

r2

所以dr，則直線l與圓C相切，故A正確；

a2b2

若點(diǎn)Aa,b在圓C內(nèi)，則a2b2r2，

r2

所以dr，則直線l與圓C相離，故B正確；

a2b2

若點(diǎn)Aa,b在圓C外，則a2b2r2，

r2

所以dr，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；

a2b2

若點(diǎn)Aa,b在直線l上，則a2b2r20，

r2

即a2b2r2，所以dr，

a2b2

直線l與圓C相切，故D正確．

故選：C.

5

一、單選題

2

1．（24-25高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mxy10與圓x2y24相切，則m（）

335

A．B．1C．D．

444

【答案】A

【分析】利用直線和圓相切的條件及點(diǎn)線距離公式列方程可得答案.

2

【詳解】因?yàn)橹本€l:mxy10與圓x2y24相切，

2m13

所以圓心到直線的距離d2，解得m.

m214

故選：A

2．（24-25高二下·江蘇南京·月考）設(shè)a、bR，若直線axby1與圓x2y22相切，則點(diǎn)Pa,b與圓的位

置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)在圓上B．點(diǎn)在圓外

C．點(diǎn)在圓內(nèi)D．不能確定

【答案】C

2

【分析】利用直線與圓相切可得出a2b22，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論.

2

【詳解】圓x2y22的圓心為原點(diǎn)O，半徑為2，

2212

因?yàn)橹本€axby1與圓xy2相切，則2，即a2b22，

a2b22

即OPa2b22，因此，點(diǎn)P在圓x2y22內(nèi).

故選：C.

3π

3．（24-25高二下·河南洛陽·月考）已知經(jīng)過點(diǎn)P1,0且傾斜角為的直線l與圓C：x2y26xm0

4

相離，則m的取值范圍為（）

A．1,9B．,9C．1,9D．1,

【答案】C

【分析】先寫出直線的方程，再應(yīng)用點(diǎn)到直線距離與半徑比較即可列式即可求解.

3π

【詳解】經(jīng)過點(diǎn)P1,0且傾斜角為的直線l，則直線l的方程為y=x1.

4

31364m

364m,

因?yàn)閳A心為C3,0半徑為，所以由題意得12122

2

364m0,

解得1m9.

6

故選：C.

2

4．（24-25高二下·廣西南寧·期中）直線ykx3與圓x2y11相交的充分不必要條件可以是（）

A．k23B．k23C．k2D．k1

【答案】C

【分析】由圓心到直線的距離小于半徑，求得k的范圍即可求解.

2

【詳解】圓x2y11的圓心坐標(biāo)為0,1，半徑為1，

|k013|

由直線與圓相交，得1，即k212，得k23，

k21

2

結(jié)合選項(xiàng)可知：直線ykx3與圓x2y11相交的充分不必要條件可以是k2.

故選：C.

5．（24-25高二上·天津和平·月考）若圓x2y2r2r0上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離為1，則

實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）

A．21,B．21,21C．0,21D．0,21

【答案】A

【分析】到已知直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題

意可得這兩條平行線與x2y2r2有4個(gè)公共點(diǎn)，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得r的取值

范圍.

【詳解】

作出到直線xy20的距離為1的點(diǎn)的軌跡，得到與直線xy20平行，

且到直線xy20的距離等于1的兩條直線，

圓x2y2r2的圓心為原點(diǎn)，

002

原點(diǎn)到直線xy20的距離為d2，

2

兩條平行線中與圓心O距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為d21，

又圓x2y2r2r0上有4個(gè)點(diǎn)到直線xy20的距離為1，

兩條平行線與圓x2y2r2有4個(gè)公共點(diǎn)，即它們都與圓x2y2r2相交.

由此可得圓的半徑rd，

7

即r21，實(shí)數(shù)r的取值范圍是21,.

故選：A.

二、填空題

6．（23-24高二上·四川南充·月考）已知圓C:x2y29，直線l:yxb，若圓C上至少有3個(gè)不同的點(diǎn)

到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍是

【答案】[22，22]

【分析】數(shù)形結(jié)合，找到滿足題意的臨界狀態(tài)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出不等式，即可求得范圍.

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下所示：

因?yàn)閳AC的半徑為3，故當(dāng)圓心到直線l的距離小于等于2時(shí)，滿足題意，

也即當(dāng)直線l與l1,l2平行，且介于l1,l2之間（也可與l1,l2重合）時(shí)，滿足題意；

b

則圓心C到直線l的距離d2，解得b22,22.

2

故答案為：22,22.

一、單選題

1．（24-25高二上·遼寧沈陽·月考）過點(diǎn)P2,1作圓C:x2y22y30的切線，則切線方程為（）

A．xy10B．x2y0C．x2y40D．x20

【答案】D

【分析】分析可知，點(diǎn)P在圓C上，且kPC0，由此可得出所求切線的方程.

2

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y14，圓心為C0,1，

211

因?yàn)?2114，所以，點(diǎn)P在圓C上，則k0，

PC20

所以，所求切線與x軸垂直，故所求切線的方程為x2.

故選：D.

8

223

2．（24-25高二上·北京·月考）若圓xay1a0與直線yx只有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的值為（）

3

A．1B．3C．2D．23

【答案】C

3

【分析】根據(jù)給定條件可知直線yx是已知圓的切線，由點(diǎn)到直線距離公式求解即得.

3

223

【詳解】因圓(xa)y1(a0)與直線yx只有一個(gè)公共點(diǎn)，

3

則直線x3y0與圓(xa)2y21切線，圓心(a,0)到該直線距離為半徑1，

|a|

即1|a|2，而a0，則有a2，

12(3)2

所以

a的值為2.

故選：C

3．（24-25高二上·云南臨滄·月考）過點(diǎn)P3,1作圓O:x2y21的切線l，則l的斜率為（）

332

A．0B．C．0或D．0或

443

【答案】C

【分析】設(shè)出直線方程，借助切線的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為x3，此時(shí)圓心到的距離d3r，故不符；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為y1k(x3)，即kxy3k10，

13k

則圓心到直線l的距離d1，

k21

3

解得k0或k.

4

故選：C.

4．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）從圓x22xy22y10外一點(diǎn)P3,2向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切

線夾角的余弦值為（）

133

A．B．C．D．6

252

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合二倍角公式即可求解.

22

【詳解】由x22xy22y10得x1y11，

所以圓心為A1,1，半徑為r1，

設(shè)切點(diǎn)分別為B,C，連接PA，則BPC為兩切線的夾角，

9

22

由于PA31215，

AB1

所以sinAPB，

AP5

2

213

由二倍角公式可得cosCPB12sinAPB12，

55

故選：B.

二、填空題

5．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圓C的圓心m,m，且與直線y2x相切于點(diǎn)P1,2，則圓C方

程為.

22

【答案】x5y545

【分析】根據(jù)圓心與切點(diǎn)連線垂直于切線求出m，由rPC求得半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得答案．

【詳解】∵圓C的圓心m,m，且與直線y2x相切于點(diǎn)P1,2，

∴直線PC與直線y2x垂直，

m2

∴k21，即21，解得m5，

PCm1

22

∴圓心C5,5，圓的半徑rPC515235，

22

∴圓C方程為x5y545.

22

故答案為：x5y545.

22

6．（24-25高二上·天津·期末）已知圓C:x3y11，直線l過點(diǎn)P4,3，若直線l與圓C相切，

則直線l的方程為.

【答案】3x4y0或x4

【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求解.

【詳解】當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l：y3kx4，

即kxy4k30，

3k14k33

圓心C3,1到直線l的距離為d1，解得k，

1k24

10

故直線l的方程為3x4y0；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l：x4，圓心C3,1到直線l的距離為1，符合題意；

所以直線l的方程為3x4y0或x4.

故答案為：3x4y0或x4.

7．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知圓C的圓心在直線xy10上，且與直線3x4y160和y軸

都相切，則圓C的方程為.

2222

【答案】x1y21或x6y736

【分析】由已知可設(shè)圓心為Ca,a1，半徑ra，再根據(jù)直線與圓相切，可得解.

【詳解】由已知圓C的圓心在直線xy10上，

則設(shè)Ca,a1，

又圓與y軸相切，

所以半徑ra，

22

圓的方程為xaya1a2

因?yàn)閳AC與直線3x4y160相切，

3a4a116

所以dra，

3242

化簡得a1a60，解得a1或a6，

2222

所以圓的方程為x1y21或x6y736，

2222

故答案為：x1y21或x6y736.

一、單選題

1．（2025·重慶·三模）過圓O：x2y21外的點(diǎn)P(3,2)作O的一條切線，切點(diǎn)為M，則MP（）

A．2B．23C．13D．4

【答案】B

【分析】根據(jù)切線的意義知OMMP，由勾股定理可求.

22

【詳解】由題意有MPOPr213112，即|MP|23.

故選：B.

2．（24-25高二上·浙江金華·期末）點(diǎn)P為直線y2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2y21的切線，切點(diǎn)為Q，

則PQ的最小值為（）

A．1B．2C．3D．2

11

【答案】C

【分析】可知圓O的圓心為原點(diǎn)，可求出PO的最小值，再利用勾股定理可求得PQ的最小值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,2，由圓x2y21的圓心坐標(biāo)為0,0，有POm2222，

由圓的幾何性質(zhì)可得PQQO，

222

又由PQPOQOPO12213，

所以當(dāng)m0時(shí)，PQ取得最小值3．

故選：C.

二、填空題

22

3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知圓C:x1y29外一點(diǎn)P4,2，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A和B，則直線AB的方程為.

4

【答案】x

5

【分析】由二級(jí)結(jié)論：若點(diǎn)Mx0,y0在圓外，過點(diǎn)M引圓的兩條切線，切點(diǎn)為M1,M2，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)

－－＋－－＝2222

的連線段)所在直線的方程為xax0ayby0br（圓的方程為x－a＋y－b＝r），代入

即可的直線AB的方程.

【詳解】由題意，切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為:

41x122y29，

4

化簡得：x.

5

4

故答案為：x.

5

4．（24-25高二上·江蘇南京·期中）已知圓M:x2(y2)21，Q是x軸上動(dòng)點(diǎn)，QA,QB分別是圓M的切

線，切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn)，則直線AB恒過定點(diǎn)．

3

【答案】0,

2

【分析】先設(shè)Qa,0，然后求出直線AB的方程，計(jì)算定點(diǎn)即可.

【詳解】設(shè)Qa,0,Ax1,y1,Bx2,y2，易知M0,2

MAx1,y12,MBx2,y22,MQa,2

由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，MAMQ1,MBMQ1

ax12y121

所以有

ax22y221

所以點(diǎn)A,B在直線ax2y21上

12

3

故直線AB的方程為ax2y30，過定點(diǎn)0,

2

3

故答案為：0,

2

三、解答題

5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知圓C:x2y26x8y210，直線l過點(diǎn)A(1,0).

(1)若直線l與圓C相切，求直線l的方程；

(2)當(dāng)直線l的斜率存在且與圓C相切于點(diǎn)B時(shí)，求AB.

【答案】(1)x1或3x4y30

(2)4

【分析】（1）分斜率存在或不存在兩種情況，若不存在，設(shè)直線l的方程，利用dr即可；

（2）在VABC中勾股定理即可.

22

【詳解】（1）圓C的方程x2y26x8y210可化為x3y44，

則圓C的圓心為3,4，半徑r2，

①當(dāng)直線l的斜率不存在，則直線l方程為x1，滿足題意；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程是ykx1，即kxyk0，

3k4k3

由圓心3,4到直線l的距離dr2，解得k，

k214

此時(shí)直線l的方程是3x4y30，

綜上，直線l的方程是x1或3x4y30.

（2）由（1）得直線l的方程是3x4y30，

2

則AC314225,

2

所以ABACr22044.

6．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2,0，B2,4，C4,2，直線l經(jīng)過

點(diǎn)D1,4.

13

(1)求VABC外接圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ23，求直線l的方程；

(3)若E,F是圓M上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EDF最大時(shí)，求直線EF的方程.

22

【答案】(1)x2y24

(2)x1或3x4y190.

(3)x2y60

【分析】（1）設(shè)出圓M的一般式方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)解方程組可得一般式方程，再配方得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由弦長求法求得圓心到直線的距離，按直線斜率存在與不存在分類討論求直線方程，斜率存在時(shí)，設(shè)

直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù)值．

（3）由D(1,4)在圓M外，當(dāng)DE,DF與圓相切時(shí)（E，F(xiàn)不重合），EDF取的最大值,

求出以DM為直徑的圓方程，與圓M方程相減可得切點(diǎn)弦EF所在直線方程．

【詳解】（1）設(shè)圓M的方程為x2y2DxEyF0，D2E24F0，

42DF0D4

則4162D4EF0，解得E4，

1644D2EF0F4

則圓M的方程為x2y24x4y40，

22

即圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y24；

（2）由（1）得圓心M2,2，半徑r2，

2

PQ

又PQ23，可知圓心M到直線l的距離dr2431，

2

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x1，此時(shí)圓心M2,2到直線l的距離為1，PQ23成立；

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y4kx1，即kxyk40，

2k2k4

圓心M2,2到直線l的距離d1，

k21

33

解得k，則直線方程為y4x1，即3x4y190；

44

綜上，直線方程為x1或3x4y190.

（3）由D(1,4)在圓M外，當(dāng)DE,DF與圓相切時(shí)（E，F(xiàn)不重合），EDF取的最大值,

3

此時(shí)DM的中點(diǎn)為(,3)，DM(12)2(42)25,

2

35

所以以DM為直徑的圓的方程為(x)2(y3)2,

24

即x2y23x6y100①,

又圓M的方程為x2y24x4y40②,

14

①②：x2y60,

所以直線EF的方程為x2y60.

一、單選題

1．（24-25高二上·甘肅·期末）直線l:3x4y10被圓C:x2y24x6y40截得的弦長為（）

A．22B．43C．23D．42

【答案】D

【分析】利用弦長公式l2r2d2即可求得結(jié)果.

324(3)1

【詳解】圓C的圓心為(2,3)，半徑為3，圓心到直線l的距離d1，

3242

所以直線l被圓C截得的弦長為2321242.

故選：D

22

2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期中）直線ykx1與圓x1y24相交于M、N兩點(diǎn)，若MN23，

則k等于（）

A．0B．-2C．2或0D．-2或0

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的方程及弦長，可以求得圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得.

22

【詳解】由圓x1y24的方程可知，圓心為(1,2)，半徑R2，

k1

則圓心到直線的距離為d，又因?yàn)橄议LMN23，所以d1，

1k2

k1

即d1，解得k0.

1k2

故選：A

3．（24-25高二下·云南·月考）若P1,2為圓O:x2y29的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（）

A．x2y50B．2xy40

C．x2y50D．2xy40

【答案】C

【分析】求出直線OP的斜率，由垂徑定理得到OPAB，利用兩直線垂直斜率關(guān)系可以求出直線AB的斜

率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.

【詳解】由題意知直線AB的斜率存在，且OPAB

∴kABkOP1，

15

201

∵k2，∴k，

OP10AB2

1

直線AB的方程為y2x1，即x2y50，

2

故選：C.

4．（24-25高二上·山東·月考）直線3x4y100與以點(diǎn)C(1,2)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8，

則圓C的方程為（）

A．(x1)2(y2)225B．(x1)2(y2)225

C．(x1)2(y2)25D．(x1)2(y2)25

【答案】A

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓的弦長公式的逆運(yùn)用計(jì)算半徑即可.

3810

d3

【詳解】點(diǎn)C(1,2)到直線3x4y100的距離為2，

324

2

AB

所以圓C的半徑為rd29165，

2

則圓C的方程為(x1)2(y2)225.

故選：A.

5．（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l:xy20與圓O:x2y24交于

2

點(diǎn)A,B，動(dòng)點(diǎn)P在圓C:x2y2r2r0上運(yùn)動(dòng)，若PAB的面積的取值范圍為2,6，則r的值為（）

2

A．B．2C．2D．22

2

【答案】B

【分析】利用點(diǎn)到直線和圓上的點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

222

【詳解】圓O:xy4的圓心O到直線l:xy20的距離為d12，

2

2

所以AB222222，

1

記點(diǎn)P到直線l的距離為h，則PAB的面積SPABABh2h2,6，

2

16

所以h2,32，

22

又圓心C到直線l的距離為d22，所以h22r,22r，

2

又h2,32，所以r2，

故選：B

二、解答題

6．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),B(0,4)，且圓心C在直線xy0上．

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線l過點(diǎn)(8,0)且直線l截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程．

22

【答案】(1)x3y310

15

(2)yx15或y0

8

【分析】根據(jù)圓心在弦AB的中垂線上，也在直線xy0上求解可得圓心，進(jìn)而求得半徑即可得圓的方程；

先討論直線l斜率不存在時(shí)，再設(shè)直線l的點(diǎn)斜式，根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】（1）由題意圓心在弦AB的中垂線上，

40

又A(2,0),B(0,4)中點(diǎn)M1,2，k2，

AB02

1113

則弦AB的中垂線斜率k，故中垂線方程：y2x1，即yx，

2222

聯(lián)立xy0可得x3，y=3，即C3,3，

22

故圓C的半徑AC323010.

22

故圓C的方程：x3y310

（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l與圓C不相交；

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l方程ykx8，

因?yàn)橹本€l截圓C所得的弦長為2，故圓心C到l的距離d1013.

3k38k

則kxy8k0到C3,3的距離3，

1k2

215

則5k391k2，即25k230k999k2，解得k或k0.

8

1515

故l方程yx8，即yx15或y0.

88

17

7．（24-25高二上·四川巴中·期末）已知直線l:ykx1，圓M:x2y24x4y40（點(diǎn)M為圓心）.

(1)若直線l與圓M相切，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)當(dāng)k1時(shí)，判斷直線l與圓M是否相交于不同的兩點(diǎn)？如果相交于不同兩點(diǎn)，記這兩點(diǎn)為A,B，并求

△MAB的面積，如果不相交，請(qǐng)說明理由.

12

【答案】(1)k0或k；

5

7

(2)直線l與圓M相交于不同的兩點(diǎn)，

2

【分析】（1）借助切線定義計(jì)算即可得；

（2）計(jì)算點(diǎn)M到直線l的距離，比較半徑即可得直線l與圓M是否相交于不同的兩點(diǎn)，再借助垂徑定理可

計(jì)算AB，即可的△MAB的面積.

22

【詳解】（1）由x2y24x4y40可得x2y24，即M2,2、半徑r2，

由ykx1可得kxyk0，

2k2k

由直線l與圓M相切，則有2，化簡得k5k120，

k21

12

即k0或k；

5

2212

（2）當(dāng)k1時(shí)，yx1，此時(shí)點(diǎn)M到直線l的距離為d2，

112

故直線l與圓M相交，即直線l與圓M相交于不同的兩點(diǎn)，

2

221

由，則2，

dAB222414

222

1127

則SABd14.

MAB2222

2

8．（24-25高二上·廣東肇慶·月考）已知圓C：x2y232，點(diǎn)A6,0.點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，B為線段AP

的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B的軌跡方程E，并說明其軌跡；

(2)若過點(diǎn)1,2的直線l被曲線E（點(diǎn)E為軌跡中心）截得的弦長為4，求直線l的一般方程.

22

【答案】(1)x3y18，軌跡為以E(3,1)為圓心，以22為半徑的圓.

18

(2)x1或3x4y50

x02x6

【分析】（1）設(shè)Bx,y，Px0,y0，根據(jù)B為線段AP的中點(diǎn)，可得，再結(jié)合P點(diǎn)在圓C上可

y02y

得B點(diǎn)軌跡方程，再進(jìn)一步分析其軌跡.

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，按直線l的斜率是否存在分類，結(jié)合弦心距求直線方程.

【詳