8．6雙曲線1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．2．掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、軸長(zhǎng)、漸近線、離心率).3．了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．1．雙曲線的定義(1)定義：一般地，我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．(2)等軸雙曲線：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2)．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)項(xiàng)目焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，虛軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b漸近線±eq\f(b,a)x±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(1，＋∞)教材拓展1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq\f(2b2,a).4．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的雙曲線系方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0).1．判斷(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(×)(3)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).(√)2．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P121T3改編)已知曲線C的方程為eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(C)A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1且k≠5解析：若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.故選C.3．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P127習(xí)題T3改編)雙曲線9y2－16x2＝144的漸近線方程是y＝±eq\f(4,3)x．解析：依題意知，雙曲線9y2－16x2＝144即eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝4，虛半軸長(zhǎng)b＝3，所以雙曲線9y2－16x2＝144的漸近線方程是y＝±eq\f(4,3)x.4．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P127習(xí)題T1改編)設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|＝17．解析：根據(jù)題意及雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，因?yàn)閨PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.考點(diǎn)1雙曲線的定義【例1】(1)已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和C2：(x－3)2＋y2＝9都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為(A)A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)B．x2－eq\f(y2,8)＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x≥1)【解析】由題意易知兩圓圓心分別為C1(－3，0)，C2(3，0)，半徑分別為r1＝1，r2＝3，設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為r，根據(jù)題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PC1|＝r＋r1，,|PC2|＝r＋r2))?|PC2|－|PC1|＝r2－r1＝2<|C1C2|，根據(jù)雙曲線的定義知P的軌跡是以原點(diǎn)為中心，C1(－3，0)，C2(3，0)分別為左、右焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的左支，故其軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).故選A.(2)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,6)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，PF1與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q.已知△PQF2是等邊三角形，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為(C)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)【解析】由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖．因?yàn)椤鱌QF2是等邊三角形，所以|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，則|QF2|＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(36a2＋16a2－4c2,48a2)＝eq\f(1,2)，整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以實(shí)軸長(zhǎng)為2.故選C.雙曲線定義的應(yīng)用策略(1)利用雙曲線的定義可判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立所求與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．(3)利用雙曲線的定義解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：①距離之差要取絕對(duì)值；②2a<|F1F2|；③焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(1)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝(C)A．5 B．6C．8 D．12解析：雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1，則a2＝4，a＝2，由雙曲線的定義知|F1P|－|PF2|＝2a＝4，|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝8.故選C.(2)(2024·遼寧沈陽(yáng)二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，漸近線方程為y＝±x，焦距為8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，點(diǎn)P為C的右支上的一點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為(C)A．4eq\r(2)＋2eq\r(5) B．6eq\r(2)C．7eq\r(2) D．4eq\r(2)＋eq\r(10)解析：如圖所示，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝1，,2c＝8，,c2＝a2＋b2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝2\r(2)，,c＝4，))記C的右焦點(diǎn)為F1，即F1(4，0)，由雙曲線的定義，得|PF|－|PF1|＝2a＝4eq\r(2)，即|PF|＝4eq\r(2)＋|PF1|，所以|PF|＋|PA|＝4eq\r(2)＋|PA|＋|PF1|≥4eq\r(2)＋|AF1|＝4eq\r(2)＋eq\r((1－4)2＋(3－0)2)＝7eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AF1上時(shí)等號(hào)成立，所以|PF|＋|PA|的最小值為7eq\r(2).故選C.考點(diǎn)2雙曲線的方程【例2】(1)與雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，6)的雙曲線方程為(D)A．eq\f(3x2,2)－eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(y2,6)－eq\f(3x2,2)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(y2,18)－eq\f(x2,2)＝1【解析】由題意設(shè)所求雙曲線方程為x2－eq\f(y2,9)＝k(k≠0)，又該雙曲線過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，6)，∴2－eq\f(62,9)＝k，解得k＝－2，∴所求雙曲線方程為x2－eq\f(y2,9)＝－2，即eq\f(y2,18)－eq\f(x2,2)＝1.故選D.(2)(2024·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線PF2的斜率為2，△PF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為(C)A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1【解析】方法一根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，如圖，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m－n＝2a，因?yàn)椤鱌F1F2是面積為8的直角三角形，所以m2＋n2＝(2c)2＝4c2，eq\f(1,2)mn＝8，因?yàn)橹本€PF2的斜率為2，所以tan∠F1F2P＝eq\f(m,n)＝2，所以m＝2n，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2n，,\f(1,2)mn＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4\r(2)，,n＝2\r(2)，))所以2a＝m－n＝2eq\r(2)，即a＝eq\r(2)，所以4c2＝m2＋n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.故選C.方法二由題可知，點(diǎn)P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，設(shè)|PF2|＝t，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tanθ1＝2，求得sinθ1＝eq\f(2\r(5),5)，因?yàn)椤螰1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，求得kPF1＝－eq\f(1,2)，即tanθ2＝eq\f(1,2)，sinθ2＝eq\f(\r(5),5)，由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sinθ1∶sinθ2∶sin90°＝2∶1∶eq\r(5)，則由|PF2|＝t得|PF1|＝2t，|F1F2|＝2c＝eq\r(5)t，由S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×2t×t＝8得t＝2eq\r(2)，則|PF2|＝2eq\r(2)，|PF1|＝4eq\r(2)，|F1F2|＝2c＝2eq\r(10)，c＝eq\r(10)，由雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.故選C.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)；與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(1)過(guò)點(diǎn)(2，3)且與橢圓5x2＋9y2＝45有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A)A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)－y2＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故c＝eq\r(9－5)＝2，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2，0).設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.故選A.(2)(2024·天津南開(kāi)區(qū)二模)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2且斜率為eq\f(24,7)的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若|F1F2|＝|AF2|，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為(C)A．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1解析：因?yàn)閨AF2|＝|F1F2|＝2c，由雙曲線的定義可知|AF1|－|AF2|＝2a，可得|AF1|＝2a＋2c，由于過(guò)F2的直線斜率為eq\f(24,7)，所以在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1＝－eq\f(24,7)，則cos∠AF2F1＝－eq\f(7,25)，由余弦定理得cos∠AF2F1＝－eq\f(7,25)＝eq\f(4c2＋4c2－(2a＋2c)2,2×2c×2c)，化簡(jiǎn)得39c2－50ac－25a2＝0，可得3c＝5a，即a＝eq\f(3,5)c，b＝eq\f(4,5)c，可得a∶b＝3∶4，a2∶b2＝9∶16，所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.故選C.考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)命題角度1漸近線【例3】(1)(2024·河北廊坊模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x－2y－5＝0，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則該雙曲線的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1．【解析】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l：x－2y－5＝0上，令y＝0，則x＝5，故雙曲線的右焦點(diǎn)為(5，0)，所以c＝5，所以c2＝a2＋b2＝25①，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線平行于直線l：x－2y－5＝0，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)②，由①②解得b2＝5，a2＝20，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)P，已知eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(1,2)，則雙曲線的漸近線方程為y＝±2x．【解析】如圖，依題意，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(1,2)，|PF2|－|PF1|＝2a，則|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，令雙曲線半焦距為c，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為bx±ay＝0，則點(diǎn)F2(c，0)到漸近線的距離d＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，有cos∠PF2F1＝eq\f(b,c)，在△PF1F2中，由余弦定理|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2||PF2|·cos∠PF2F1＝|PF1|2，得(2c)2＋(4a)2－2×2c×4a×eq\f(b,c)＝(2a)2，整理得c2＋3a2－4ab＝0，即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.1．求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程為eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝±\f(b,a)x)).2．在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.命題角度2離心率【例4】(1)(2024·新高考Ⅰ卷)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為eq\f(3,2)．【解析】方法一由題意知，|F1A|＝13，|F2A|＝eq\f(1,2)|AB|＝5，∴|F1A|－|F2A|＝2a＝8，解得a＝4.又x＝c時(shí)，y＝±eq\f(b2,a)，即|F2A|＝eq\f(b2,a)＝5，∴b2＝5a＝20，∴c2＝a2＋b2＝16＋20＝36，∴c＝6，∴雙曲線C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).方法二仿方法一，不妨令A(yù)在x軸上方，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，由|F1A|＝13，|F2A|＝eq\f(1,2)|AB|＝5，F(xiàn)1(－c，0)，得eq\f(b2,a)＝5，且(2c)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)))2＝132，又c2＝a2＋b2，解得a＝4，c＝6，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).方法三∵AB⊥x軸，|AB|＝10，直線AB過(guò)F2，∴由雙曲線的對(duì)稱性得|AF2|＝|BF2|＝5，不妨設(shè)A(c，5)，又F1(－c，0)，|AF1|＝13，∴(2c)2＋52＝132，解得c＝6，從而A(6，5)，代入雙曲線的方程得eq\f(36,a2)－eq\f(25,b2)＝1，即eq\f(36,a2)－eq\f(25,36－a2)＝1，解得a＝4，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).方法四∵|AB|＝10，∴eq\f(2b2,a)＝eq\f(2(c2－a2),a)＝10，由方法三可知c＝6，∴a2＋5a－36＝0，解得a＝4，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).(2)(2024·四川宜賓模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，eq\r(2)b).若|PF2|－|PQ|有最大值，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(eq\r(2)，＋∞)．【解析】如圖所示，由雙曲線的定義，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝|PF1|－2a，則|PF2|－|PQ|＝|PF1|－|PQ|－2a≤|F1Q|－2a，當(dāng)三點(diǎn)P，Q，F(xiàn)1共線時(shí)，取得最大值，由點(diǎn)P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，可得eq\f(\r(2)b,c)<eq\f(b,a)，所以e＝eq\f(c,a)>eq\r(2)，即雙曲線的離心率的取值范圍為(eq\r(2)，＋∞).求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程(或不等式)，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過(guò)解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(1)(2024·四川雅安三模)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，且F2為線段MN的中點(diǎn)，并滿足eq\o(F1M,\s\up6(→))⊥eq\o(F1N,\s\up6(→))，則雙曲線C的離心率為(A)A．eq\f(\r(3)＋1,2) B．eq\r(3)＋1C．2 D．eq\r(5)＋1解析：由題意，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)M(x，y)，因?yàn)镕2為線段MN的中點(diǎn)，所以N(0，－y)，x＝2c，即M(2c，y)，則eq\o(F1M,\s\up6(→))＝(3c，y)，eq\o(F1N,\s\up6(→))＝(c，－y)，因?yàn)閑q\o(F1M,\s\up6(→))⊥eq\o(F1N,\s\up6(→))，所以eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F1N,\s\up6(→))＝3c2－y2＝0，即y2＝3c2，又M在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，所以eq\f(4c2,a2)－eq\f(3c2,b2)＝1，結(jié)合b2＝c2－a2整理得4c4－8c2a2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝1＋eq\f(\r(3),2)或e2＝1－eq\f(\r(3),2)(舍去)，由e>1，解得e＝eq\f(\r(3)＋1,2).故選A.(2)(多選)(2024·江蘇南通二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＋by＝0是C的一條漸近線，P是l上一點(diǎn)，則(AD)A．C的虛軸長(zhǎng)為2eq\r(2)B．C的離心率為eq\r(6)C．|PF|的最小值為2D．直線PF的斜率不可能等于－eq\f(\r(2),2)解析：雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為bx±2y＝0，依題意，－eq\f(1,b)＝－eq\f(b,2)，解得b＝eq\r(2)，C的虛軸長(zhǎng)2b＝2eq\r(2)，A正確；C的離心率e＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(6),2)，B錯(cuò)誤；點(diǎn)F(eq\r(6)，0)到直線l：x＋eq\r(2)y＝0的距離為eq\f(\r(6),\r(12＋(\r(2))2))＝eq\r(2)，即|PF|的最小值為eq\r(2)，C錯(cuò)誤；直線l：x＋eq\r(2)y＝0的斜率為－eq\f(\r(2),2)，而點(diǎn)F不在l上，點(diǎn)P在l上，則直線PF的斜率不可能等于－eq\f(\r(2),2)，D正確．故選AD.【例】(2024·廣東汕頭模擬)已知點(diǎn)M(x0，y0)為雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)判斷直線eq\f(x0x,2)－y0y＝1與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．(2)(ⅰ)如果把(1)的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明．(ⅱ)將雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，請(qǐng)利用該方程證明如下命題：若T(m，n)為雙曲線C上一點(diǎn)，直線l：eq\f(mx,a2)－eq\f(ny,b2)＝1與C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P，Q，則T為線段PQ的中點(diǎn)．【解】(1)直線與雙曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)．理由：∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1①，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－y2＝1，,\f(x0x,2)－y0y＝1，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2)－\f(xeq\o\al(2,0),4)))x2＋x0x－(1＋yeq\o\al(2,0))＝0，將①式代入，整理得x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)＝0，∵Δ＝4xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＝0，∴該直線與雙曲線有且只有1個(gè)公共點(diǎn)．(2)(ⅰ)過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.(ⅱ)證明：當(dāng)n＝0時(shí)，直線l的斜率不存在，此時(shí)T為雙曲線與x軸的交點(diǎn)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)T為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)n≠0時(shí)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)N(t，s)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝0，,\f(mx,a2)－\f(ny,b2)＝1，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2,b2)－\f(m2,a2)))x2＋2mx－a2＝0，由eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1將上式整理得x2－2mx＋a2＝0，∴t＝eq\f(x1＋x2,2)＝m，又∵eq\f(mt,a2)－eq\f(ns,b2)＝1(注意：點(diǎn)N(t，s)在直線l上)，∴s＝eq\f(b2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,a2)－1))＝n，則N(m，n)，∴點(diǎn)T與點(diǎn)N重合，∴T為線段PQ的中點(diǎn)．綜上，T為線段PQ的中點(diǎn)．本題考法新穎，不同于以往解析幾何大題先求曲線方程的常規(guī)套路，而是要求證明一個(gè)二級(jí)結(jié)論，教學(xué)過(guò)程中師生都易關(guān)注常見(jiàn)結(jié)論，而忽視結(jié)論的由來(lái)和證明，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)“知其然，不知其所以然”的現(xiàn)象，本題提示我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要注重?cái)?shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程的學(xué)習(xí)．圓錐曲線的第三定義1．鏈接教材：(1)（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P108例3）如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－5，0)，(5，0).直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是－eq\f(4,9)，求點(diǎn)M的軌跡方程．(2)（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P121探究）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－5，0)，(5，0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是eq\f(4,9)，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，比較(1)和(2)的軌跡方程，你有什么發(fā)現(xiàn)？2．圓錐曲線的第三定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)的斜率之積等于常數(shù)e2－1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線，其中兩個(gè)定點(diǎn)為橢圓或雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)．其中如果常數(shù)e2－1∈(0，＋∞)，軌跡為雙曲線，如果常數(shù)e2－1∈(－1，0)，軌跡為橢圓．3．圓錐曲線的第三定義的有關(guān)結(jié)論(1)橢圓方程中有關(guān)－eq\f(b2,a2)的經(jīng)典結(jié)論①AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).②橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A1，A2為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有kPA1·kPA2＝－eq\f(b2,a2).③橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，B1，B2為橢圓的短軸頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于短軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有kPB1·kPB2＝－eq\f(b2,a2).④橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).(2)雙曲線方程中有關(guān)eq\f(b2,a2)的經(jīng)典結(jié)論①AB是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有kOM·kAB＝eq\f(b2,a2)，即kAB＝eq\f(b2x0,a2y0).②雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，A1，A2為雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于實(shí)軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有kPA1·kPA2＝eq\f(b2,a2).③雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，B1，B2為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于虛軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有kPB1·kPB2＝eq\f(b2,a2).④雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).【典例】(1)已知A，B分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(D)A．eq\r(5) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)【解析】設(shè)雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，則∠ABM＝120°，∠BAM＝∠BMA＝30°，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，則∠MBH＝180°－∠ABM＝60°，所以直線AM和直線BM的斜率分別為eq\f(\r(3),3)和eq\r(3)，由雙曲線第三定義，得kMA·kMB＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1＝e2－1，所以離心率e＝eq\r(2).故選D.(2)橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是(B)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))【解析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，kPA2＝eq\f(y0,x0－2)，kPA1＝eq\f(y0,x0＋2)，于是kPA1·kPA2＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－22)＝eq\f(3－\f(3,4)xeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4)，故kPA1＝－eq\f(3,4)·eq\f(1,kPA2).因?yàn)閗PA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3,4))).故選B.課時(shí)作業(yè)581．（5分）已知雙曲線eq\f(x2,a＋4)－eq\f(y2,a－4)＝1(a>4)的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則實(shí)數(shù)a＝(A)A．5 B．6C．8 D．9解析：由雙曲線eq\f(x2,a＋4)－eq\f(y2,a－4)＝1(a>4)的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，可得eq\r(a＋4)＝3eq\r(a－4)，可得a＋4＝9(a－4)，解得a＝5.故選A.2．（5分）若方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是(A)A．m<－1或m>0 B．m>0C．m<－1 D．－1<m<0解析：若方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線，則m(m＋1)>0，解得m<－1或m>0.故選A.3．（5分）（2024·河北石家莊三模）已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)為eq\r(3)，其上焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為3，則雙曲線C的漸近線方程為(B)A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\f(\r(3),2)x D．y＝±eq\f(2\r(3),3)x解析：設(shè)雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上焦點(diǎn)為(0，c)，雙曲線的漸近線方程為by±ax＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|b×c±a×0|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|bc|,\r(c2))＝b＝3，又雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)為eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，所以雙曲線C的漸近線方程為3y±eq\r(3)x＝0，即y＝±eq\f(\r(3),3)x.故選B.4．（5分）（2024·福建莆田三模）已知圓C：(x－3)2＋y2＝16，A(－3，0)，P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線PC（點(diǎn)C是圓C的圓心）交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(C)A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線解析：由題意可得圓心C(3，0)，半徑r＝4.因?yàn)镸在線段PA的垂直平分線上，所以|MA|＝|MP|，則||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||＝|CP|＝4.因?yàn)閨AC|＝6>|CP|，所以點(diǎn)M的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線．故選C.5．（5分）（2024·北京東城區(qū)二模）已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)（3，eq\r(2)），且一條漸近線的傾斜角為30°，則雙曲線的方程為(A)A．eq\f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1 D．x2－4y2＝1解析：由題意可知，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝λ≠0，將（3，eq\r(2)）代入，可得λ＝eq\f(32,3)－（eq\r(2)）2＝1，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.故選A.6．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，則cos∠F1BF2＝(B)A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(2,3)解析：如圖，由于|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，且|BF2|－|BF1|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，設(shè)|BF1|＝m，則|AF1|＝2m，故|BF2|＝3m，所以3m－m＝2a，即m＝a，則|BF1|＝a，|AF1|＝2a，|BF2|＝3a，|AF2|＝4a，在△BAF2中，由余弦定理得cos∠F1BF2＝eq\f(9a2＋9a2－16a2,2×3a×3a)＝eq\f(1,9).故選B.7．（5分）（2024·全國(guó)甲卷）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0，4)，(0，－4)，點(diǎn)(－6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為(C)A．4 B．3C．2 D．eq\r(2)解析：方法一設(shè)雙曲線的上、下兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，因?yàn)镕1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)，點(diǎn)P(－6，4)在該雙曲線上，所以|F1F2|＝8，|PF1|＝6，|PF2|＝eq\r(62＋(4＋4)2)＝10，所以e＝eq\f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝eq\f(c,a)＝2.故選C.方法二由題意得焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(36,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2\r(3)，))從而e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.故選C.方法三設(shè)雙曲線的上、下兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，則F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)，又P(－6，4)，所以點(diǎn)P，F(xiàn)1縱坐標(biāo)相同，所以|PF1|是通徑的一半，即|PF1|＝eq\f(b2,a)＝6，因?yàn)閨F1F2|＝8，所以c＝4，則16－a2＝6a，解得a＝2，則雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,2)＝2.故選C.8．（5分）（2024·江西新余一模）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M為F1關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)．若eq\f(|MF1|,|MF2|)＝2，且△MF1F2的面積為8，則雙曲線C的方程為(C)A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1解析：如圖，記F1M與漸近線bx＋ay＝0相交于點(diǎn)N，由題可知，ON為△MF1F2的中位線，且ON⊥F1M，所以F2M⊥F1M，因?yàn)榻裹c(diǎn)F1(－c，0)到漸近線bx＋ay＝0的距離|F1N|＝eq\f(|－bc|,\r(b2＋a2))＝b，所以|F1M|＝2b，|F2M|＝2|ON|＝2eq\r(|F1O|2－|F1N|2)＝2a，則S△F1F2M＝eq\f(1,2)|MF1||MF2|＝2ab＝8，又eq\f(|MF1|,|MF2|)＝2，即b＝2a，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ab＝8，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,b2＝8，))所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.故選C.9．（7分）（多選）（2024·河北邯鄲三模）已知雙曲線C：eq\f(x2,λ＋6)－eq\f(y2,3－λ)＝1，則(AC)A．λ的取值范圍為(－6，3)B．C的焦點(diǎn)可在x軸上也可在y軸上C．C的焦距為6D．C的離心率e的取值范圍為(1，3)解析：∵eq\f(x2,λ＋6)－eq\f(y2,3－λ)＝1表示雙曲線，∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正確；由A可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，∴C的焦點(diǎn)只能在x軸上，故B錯(cuò)誤；設(shè)C的半焦距為c，則c2＝λ＋6＋3－λ＝9，∴c＝3，即焦距為2c＝6，故C正確；離心率e＝eq\f(3,\r(λ＋6))，∵－6<λ<3，∴0<eq\r(λ＋6)<3，∴e的取值范圍是(1，＋∞)，故D錯(cuò)誤．故選AC.10．（7分）（多選）（2024·河北保定三模）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線與C的左支相交于P，Q兩點(diǎn)，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，則(ACD)A．|PQ|＝2aB．eq\o(PF1,\s\up6(→))＝－2eq\o(QF1,\s\up6(→))C．C的離心率為eq\f(\r(17),3)D．直線PQ的斜率為±4解析：如圖，由4|PQ|＝3|PF2|，可設(shè)|PQ|＝3m，則|PF2|＝4m.因?yàn)镻Q⊥PF2，所以|QF2|＝5m.設(shè)|PF1|＝x，|QF1|＝y(tǒng)，則4m－x＝2a，5m－y＝2a，x＋y＝3m，解得m＝eq\f(2a,3)，則x＝eq\f(2a,3)，y＝eq\f(4a,3)，所以|PQ|＝2a，故A正確；eq\o(QF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1P,\s\up6(→))，故B錯(cuò)誤；在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得eq\f(4a2,9)＋eq\f(64a2,9)＝4c2，則eq\f(c2,a2)＝eq\f(17,9)，從而C的離心率為eq\f(\r(17),3)，故C正確；又tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝4，由對(duì)稱性，得直線PQ的斜率為±4，故D正確．故選ACD.11．（7分）（多選）（2024·山西呂梁三模）已知橢圓eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)的離心率為e1，雙曲線eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))－eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的離心率為e2，兩曲線有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，以下結(jié)論正確的是(BCD)A．a(chǎn)eq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,2)B．eq\f(1,4eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,4eeq\o\al(2,2))＝1C．beq\o\al(2,1)＝3beq\o\al(2,2)D．若e2∈[eq\r(3)，2]，則e1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(13),13)，\f(\r(3),3)))解析：如圖，根據(jù)題意，設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝c2，,aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝c2，))所以aeq\o\al(2,1)－beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)，即aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)，所以A錯(cuò)誤；不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2a2，,|PF1|＋|PF2|＝2a1，))所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，可得4c2＝2aeq\o\al(2,1)＋2aeq\o\al(2,2)－（aeq\o\al(2,1)－aeq\o\al(2,2)）＝aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)，所以eq\f(1,4eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,4eeq\o\al(2,2))＝eq\f(aeq\o\al(2,1),4c2)＋eq\f(3aeq\o\al(2,2),4c2)＝eq\f(4c2,4c2)＝1，所以B正確；由aeq\o\al(2,1)－c2＝3c2－3aeq\o\al(2,2)，可得beq\o\al(2,1)＝3beq\o\al(2,2)，所以C正確；因?yàn)閑2∈[eq\r(3)，2]，所以eq\f(1,eeq\o\al(2,2))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))，由eq\f(1,4eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,4eeq\o\al(2,2))＝1可得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(13,4)))，所以e1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(13),13)，\f(\r(3),3)))，所以D正確．故選BCD.12．（5分）（2024·安徽馬鞍山三模）已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線與Γ的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝8，|BF1|＝5，∠AF1B＝60°，則a＝eq\f(3,2)．解析：如圖，依題意過(guò)點(diǎn)F2的直線與Γ的右支交于A，B兩點(diǎn)，且|AF1|＝8，|BF1|＝5，∠AF1B＝60°，則|AF2|＝8－2a>0，|BF2|＝5－2a>0，所以0<a<eq\f(5,2)，|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝13－4a，可得(13－4a)2＝82＋52－2×5×8×cos60°，解得a＝eq\f(3,2)或a＝5（舍去）.13．（5分）（2024·湖南岳陽(yáng)三模）已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)（1，eq\r(6)），且漸近線方程為y＝±2x，則C的離心率為eq\f(\r(5),2)．解析：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，依題有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(6,b2)＝1，,\f(b,a)＝2，))方程組無(wú)解；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，依題有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(a,b)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝\f(\r(2),2)，))則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(5),2).14．（5分）（2024·河南鄭州三模）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，A，B分別是它的兩條漸近線上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合），點(diǎn)P在雙曲線C上，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，△AOB的面積為6，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(6)．解析：如圖，由e＝eq\r(2)＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))，可得a＝b，故雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，不妨設(shè)A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，則Peq\f(x1＋x2,2)，eq\f(x1－x2,2)，將其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，又|OA|＝eq\r(2)|x1|，|OB|＝eq\r(2)|x2|，且OA⊥OB，則△AOB的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)|x1|×eq\r(2)|x2|＝6，即a2＝6，解得a＝eq\r(6)，故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2eq\r(6).15．（5分）（2024·山東日照一模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A(－2，2)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q(a，b)在雙曲線E：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1上，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得|PA|＋|PF2|＝8，則a的取值范圍是(A)A．（eq\r(5)＋1，5] B．[3，5]C．（eq\r(5)＋1，2eq\r(5)] D．[eq\r(3)，eq\r(5)]解析：點(diǎn)Q(a，b)在雙曲線E：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1上，所以a2－b2＝4，所以橢圓左焦點(diǎn)F1坐標(biāo)為(－2，0).因?yàn)閨PA|＋|PF2|＝8，所以|PA|＋2a－|PF1|＝8，所以||PA|－|PF1||＝|8－2a|≤|AF1|＝2，所以3≤a≤5.因?yàn)閍2－b2＝4，所以b2＝a2－4.點(diǎn)A(－2，2)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(4,b2)<1，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(4,a2－4)<1，所以a4－12a2＋16>0，所以a>eq\r(5)＋1或0<a<eq\r(5)－1.綜上，eq\r(5)＋1<a≤5.故選A.16．（