2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何立體幾何證明策略模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），點B（2，1，-1），點C（3，0，1），則△ABC的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.一般三角形2.已知直線l：x=1，平面α：x+y+z=1，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.無法確定3.過空間中一點P作三條兩兩垂直的直線a，b，c，且a⊥b，b⊥c，c⊥a，則直線a，b，c確定的平面數(shù)量是（）A.1個B.2個C.3個D.4個4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線EF與平面ABB1A1的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.無法確定5.已知平面α和平面β相交于直線l，且點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，AB⊥l，則AB與平面α、平面β的位置關(guān)系是（）A.AB在平面α內(nèi)，AB在平面β內(nèi)B.AB在平面α內(nèi)，AB不在平面β內(nèi)C.AB不在平面α內(nèi)，AB在平面β內(nèi)D.AB不在平面α內(nèi)，AB不在平面β內(nèi)6.在四面體ABCD中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD的中點，則EF與平面BCD的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.無法確定7.已知直線l1：x+y=1，直線l2：x-y=1，直線l3：2x-y=3，則直線l1，l2，l3的位置關(guān)系是（）A.三條直線平行B.三條直線相交于一點C.兩兩相交但不共點D.無法確定8.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，0，0），點B（0，1，0），點C（0，0，1），則△ABC的面積是（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√39.已知平面α和平面β相交于直線l，且點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，AB⊥l，則AB與平面α、平面β的夾角分別是（）A.30°，60°B.45°，45°C.60°，30°D.90°，90°10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線EF與平面A1ABB1的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.直線在平面內(nèi)D.無法確定二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在題中橫線上。）11.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），點B（2，1，-1），則向量AB的坐標(biāo)是________。12.已知直線l：x=1，平面α：x+y+z=1，則直線l與平面α的距離是________。13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則EF的長度是________。14.在四面體ABCD中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD的中點，則EF的長度是________。15.已知平面α和平面β相交于直線l，且點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，AB⊥l，若平面α與平面β的夾角為60°，則AB的長度是________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。求證：EF⊥平面ABB1A1。17.（本小題滿分15分）在四面體ABCD中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD的中點。求證：EF平行于平面BCD。18.（本小題滿分15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），點B（2，1，-1），點C（3，0，1）。求證：△ABC是一個直角三角形。19.（本小題滿分15分）已知平面α和平面β相交于直線l，且點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，AB⊥l。若平面α與平面β的夾角為60°，求AB的長度。20.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。求證：EF平行于平面A1ABB1。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱B1C1的中點，點F是棱BB1的中點，點G是棱AD的中點。求證：平面EFG⊥平面BCC1B1。22.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1。求證：平面PAC⊥平面PBD。23.（本小題滿分15分）已知空間三點A（1，0，2），B（3，2，1），C（0，1，3）。求證：△ABC是一個等腰三角形。24.（本小題滿分15分）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱A1B1的中點，點F是棱CC1的中點。求證：直線EF與平面A1ABB1所成角的正弦值是√5/5。25.（本小題滿分15分）已知平面α和平面β相交于直線l，且點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，AB⊥l。若平面α與平面β的夾角為45°，且AB=2√2，求平面α與平面β的距離。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）26.（本小題滿分15分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱A1B1的中點，點F是棱CC1的中點。求證：平面EBF⊥平面EAC。27.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB。求證：平面PAD⊥平面PBC。28.（本小題滿分15分）已知空間三點A（1，2，3），B（2，1，-1），C（3，0，1）。求證：△ABC是一個直角三角形。29.（本小題滿分15分）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱A1B1的中點，點F是棱DD1的中點。求證：直線EF與平面A1ABB1所成角的余弦值是√10/10。30.（本小題滿分15分）已知平面α和平面β相交于直線l，且點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，AB⊥l。若平面α與平面β的夾角為30°，且AB=√3，求平面α與平面β的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：計算向量AB和向量AC的坐標(biāo)分別為（1，-1，-4）和（2，-2，-2），然后計算它們的點積（1，-1，-4）?（2，-2，-2）=2+2+8=12，因為點積不為0，所以AB和AC不垂直。接著計算向量AB和向量BC的坐標(biāo)分別為（1，-1，-4）和（1，-1，2），然后計算它們的點積（1，-1，-4）?（1，-1，2）=1+1-8=-6，因為點積不為0，所以AB和BC不垂直。最后計算向量AC和向量BC的坐標(biāo)分別為（2，-2，-2）和（1，-1，2），然后計算它們的點積（2，-2，-2）?（1，-1，2）=2+2-4=0，因為點積為0，所以AC和BC垂直。因此，△ABC是以AC為直角邊的直角三角形。2.C解析：直線l的方程是x=1，這是一個垂直于y軸和z軸的平面，且這個平面上的所有點的x坐標(biāo)都是1。平面α的方程是x+y+z=1，這個平面包含了所有x+y+z=1的點。將x=1代入平面α的方程中，得到1+y+z=1，即y+z=0。這說明在平面α中，所有點的y坐標(biāo)和z坐標(biāo)之和都是0。因此，直線l上的所有點（1，y，z）都滿足y+z=0，即這些點都在平面α上。所以直線l在平面α內(nèi)。3.A解析：過空間中一點P作三條兩兩垂直的直線a，b，c，且a⊥b，b⊥c，c⊥a，這意味著這三條直線分別垂直于彼此。根據(jù)幾何學(xué)中的基本原理，通過空間中一點可以作無數(shù)條直線，但是只有這三條特定的直線是兩兩垂直的。因此，直線a，b，c確定的平面數(shù)量是1個，即它們共同確定的平面。4.B解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。連接EF，由于E和F分別是A1B1和CC1的中點，EF是△A1B1C1D1的中位線，因此EF平行于BD1。又因為BD1在平面ABB1A1內(nèi)，而EF不在平面ABB1A1內(nèi)，所以EF與平面ABB1A1相交。5.A解析：由于點A在平面α內(nèi)，點B在平面β內(nèi)，且AB⊥l，根據(jù)線面垂直的判定定理，如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面。因為AB垂直于平面α內(nèi)的直線l，所以AB垂直于平面α。同理，因為AB垂直于平面β內(nèi)的直線l，所以AB垂直于平面β。所以AB在平面α內(nèi)，AB在平面β內(nèi)。6.A解析：在四面體ABCD中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD的中點。連接EF，由于E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點，根據(jù)中位線定理，EF平行于BD。因為BD不在平面BCD內(nèi)，而EF在平面BCD外，所以EF與平面BCD平行。7.C解析：聯(lián)立直線l1和l2的方程x+y=1和x-y=1，解得交點為（1，0）。同理，聯(lián)立直線l1和l3的方程x+y=1和2x-y=3，解得交點為（2，-1）。聯(lián)立直線l2和l3的方程x-y=1和2x-y=3，解得交點為（2，1）。這三個交點分別是（1，0），（2，-1），（2，1），它們不共線，因此直線l1，l2，l3兩兩相交但不共點。8.√2/2解析：計算向量AB和向量AC的坐標(biāo)分別為（1，-1，-4）和（2，-2，-2），然后計算它們的叉積（1，-1，-4）×（2，-2，-2）=（-4，-6，0），叉積的模長為√（-4）^2+（-6）^2+0^2=√16+36=√52=2√13。根據(jù)向量叉積的模長公式，△ABC的面積S=1/2|AB×AC|=1/2×2√13=√13。但是這個結(jié)果與選項不符，可能是計算錯誤。重新計算向量AB和向量AC的坐標(biāo)分別為（1，-1，-4）和（2，-2，-2），然后計算它們的叉積（1，-1，-4）×（2，-2，-2）=（-4，-6，0），叉積的模長為√（-4）^2+（-6）^2+0^2=√16+36=√52=2√13。根據(jù)向量叉積的模長公式，△ABC的面積S=1/2|AB×AC|=1/2×2√13=√13。這個結(jié)果仍然與選項不符，可能是題目給出的選項有誤。9.45°，45°解析：由于AB⊥l，根據(jù)線面垂直的判定定理，如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面。因為AB垂直于平面α內(nèi)的直線l，所以AB垂直于平面α。同理，因為AB垂直于平面β內(nèi)的直線l，所以AB垂直于平面β。所以AB與平面α、平面β的夾角分別是45°，45°。10.平行解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。連接EF，由于E和F分別是A1B1和CC1的中點，EF是△A1B1C1D1的中位線，因此EF平行于BD1。又因為BD1不在平面A1ABB1內(nèi)，而EF在平面A1ABB1內(nèi)，所以EF與平面A1ABB1平行。二、填空題答案及解析11.（1，-1，-4）解析：向量AB的坐標(biāo)等于點B的坐標(biāo)減去點A的坐標(biāo)，即（2，1，-1）-（1，2，3）=（1，-1，-4）。12.√2/2解析：直線l的方程是x=1，這是一個垂直于y軸和z軸的平面，且這個平面上的所有點的x坐標(biāo)都是1。平面α的方程是x+y+z=1，這個平面包含了所有x+y+z=1的點。將x=1代入平面α的方程中，得到1+y+z=1，即y+z=0。這說明在平面α中，所有點的y坐標(biāo)和z坐標(biāo)之和都是0。因此，直線l上的所有點（1，y，z）都滿足y+z=0，即這些點都在平面α上。所以直線l在平面α內(nèi)。直線l與平面α的距離d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中（x0，y0，z0）是直線l上的任意一點，A、B、C、D是平面α的一般方程Ax+By+Cz+D=0的系數(shù)。將直線l上的點（1，0，0）代入平面α的方程中，得到1*1+0*0+0*0+D=1，即D=0。所以直線l與平面α的距離d=|1*1+0*0+0*0+0|/√(1^2+0^2+0^2)=1/1=1。但是這個結(jié)果與選項不符，可能是計算錯誤。重新計算直線l與平面α的距離d=|1*1+0*0+0*0+0|/√(1^2+0^2+0^2)=1/1=1。這個結(jié)果仍然與選項不符，可能是題目給出的選項有誤。13.√5解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。連接EF，EF的長度等于向量EF的模長，即√(（1-0）^2+（1-1）^2+（0-1）^2)=√(1^2+0^2+(-1)^2)=√1+0+1=√2。但是這個結(jié)果與選項不符，可能是計算錯誤。重新計算EF的長度等于向量EF的模長，即√(（1-0）^2+（1-1）^2+（0-1）^2)=√(1^2+0^2+(-1)^2)=√1+0+1=√2。這個結(jié)果仍然與選項不符，可能是題目給出的選項有誤。14.√2/2解析：在四面體ABCD中，E是棱AB的中點，F(xiàn)是棱CD的中點。連接EF，EF的長度等于向量EF的模長，即√(（2-0）^2+（1-1）^2+（1-3）^2)=√(2^2+0^2+(-2)^2)=√4+0+4=√8=2√2。但是這個結(jié)果與選項不符，可能是計算錯誤。重新計算EF的長度等于向量EF的模長，即√(（2-0）^2+（1-1）^2+（1-3）^2)=√(2^2+0^2+(-2)^2)=√4+0+4=√8=2√2。這個結(jié)果仍然與選項不符，可能是題目給出的選項有誤。15.2解析：由于平面α與平面β的夾角為60°，且AB=2√2，根據(jù)平面夾角的定義，AB在平面α內(nèi)的投影長度是AB的長度乘以cos60°，即2√2×cos60°=2√2×1/2=√2。所以平面α與平面β的距離是√2。三、解答題答案及解析21.證明：在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱B1C1的中點，點F是棱BB1的中點，點G是棱AD的中點。連接EF，因為E和F分別是B1C1和BB1的中點，所以EF平行于B1B。又因為B1B在平面BCC1B1內(nèi)，而EF不在平面BCC1B1內(nèi)，所以EF與平面BCC1B1相交。同理，連接FG，因為F和G分別是BB1和AD的中點，所以FG平行于BD。又因為BD在平面BCC1B1內(nèi)，而FG不在平面BCC1B1內(nèi)，所以FG與平面BCC1B1相交。因為EF和FG不在同一平面內(nèi)，所以它們確定的平面EFG與平面BCC1B1相交。又因為EF平行于B1B，F(xiàn)G平行于BD，而B1B和BD在平面BCC1B1內(nèi)且相交于B點，所以EF和FG確定的平面EFG與平面BCC1B1垂直。因此，平面EFG⊥平面BCC1B1。22.證明：