15.1圖形的軸對稱第十五章軸對稱15.1.1軸對稱及其性質(zhì)逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2軸對稱圖形成軸對稱軸對稱的性質(zhì)1.定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫作軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫作對稱點.這時，也說這個圖形關(guān)于這條直線對稱.直線兩旁的部分全等知識點軸對稱圖形1知1－講知1－講注意(1)軸對稱圖形是一個整體圖形，它被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合，其對稱點在同一圖形上.(2)對稱軸是一條直線，而不是射線或線段.(3)一個軸對稱圖形的對稱軸可能有1條，也可能有多條，還可能有無數(shù)條.特別解讀軸對稱圖形的三個條件：1.一個整體圖形；2.一條直線——對稱軸；3.直線兩旁的部分完全重合.知1－講示圖(如圖15.1-1)知1－講2.常見的軸對稱圖形及其對稱軸名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數(shù)對稱軸角1角平分線所在的直線等腰三角形1底邊上的高(或底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線等邊三角形3各邊上的高(或各邊上的中線或各內(nèi)角平分線)所在的直線知1－講名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數(shù)對稱軸等腰梯形1過上、下底中點的直線長方形2對邊中點的連線所在的直線正方形4①對角線所在的直線；②過對邊中點的直線圓無數(shù)條過圓心的直線知1－講特別提醒：正n

邊形都是軸對稱圖形，有n

條對稱軸.知1－講方法點撥判斷軸對稱圖形的方法：根據(jù)圖形的特征，如果能找到一條直線，沿著這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，即可確定這個圖形是軸對稱圖形，否則就不是軸對稱圖形.知1－講下列圖形(如圖15.1-2)：其中軸對稱圖形的個數(shù)是()A.4B.3C.2D.1例1知1－練思路導引：知1－練解：第一、二、四個圖形，可找到一條直線，沿其折疊后直線兩旁的部分能夠互相重合，因此都是軸對稱圖形；第三個圖形找不到這樣的直線，因此不是軸對稱圖形.答案：B知1－練1-1.[中考·貴州]“黔山秀水”寫成下列字體，可以看作是軸對稱圖形的是(

)B知1－練[模擬·寧波]下列圖形(如圖15.1-3)中對稱軸條數(shù)最多的是()知1－練例2解題秘方：先判斷圖形是否為軸對稱圖形，再數(shù)軸對稱圖形對稱軸的條數(shù).知1－練解：A選項是軸對稱圖形，有5條對稱軸；B選項是軸對稱圖形，有3條對稱軸；C選項不是軸對稱圖形；D選項是軸對稱圖形，有4條對稱軸.答案：A2-1.下列“數(shù)字”圖形中，有且僅有一條對稱軸的是(

)A知1－練1.定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，也稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.同樣地，這條直線叫作對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫作對稱點.這兩個圖形全等知識點成軸對稱2知2－講特別解讀軸對稱的三個條件：1.有兩個圖形；2.存在一條直線；3.一個圖形沿著這條直線折疊后與另一個圖形重合．知2－講示圖(如圖15.1-4)知2－講2.成軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱成軸對稱軸對稱圖形區(qū)別對象不同兩個圖形一個圖形意義不同兩個圖形的特殊位置關(guān)系一個具有特殊形狀的圖形對稱點位置不同對稱點分別在兩個圖形上對稱點在同一個圖形上知2－講名稱軸對稱軸對稱圖形區(qū)別對稱軸位置不同兩個圖形成軸對稱，其對稱軸可能在兩個圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個圖形的內(nèi)部或它們的公共邊(點)軸對稱圖形的對稱軸一定經(jīng)過這個圖形的內(nèi)部對稱軸數(shù)量不同只有一條對稱軸有一條或多條對稱軸知2－講名稱軸對稱軸對稱圖形聯(lián)系(1)定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊；(2)把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條對稱軸對稱知2－講拓展延伸：(1)成軸對稱圖形或軸對稱圖形上的每對對稱點到對稱軸的距離分別相等；(2)成軸對稱圖形或軸對稱圖形上的對應線段或其延長線若相交，則交點必在對稱軸上.知2－講特別解讀軸對稱的兩個特性：1.成軸對稱的兩個圖形全等，但全等的兩個圖形不一定成軸對稱；2.軸對稱是圖形的一種全等變換.知2－講如圖15.1-5所示的每幅圖形中的兩個圖案成軸對稱嗎？若成軸對稱，指出對稱軸.知2－練例3解題秘方：成軸對稱的兩個條件：(1)兩個圖形；(2)一個圖形沿著某一條直線折疊后能夠與另一個圖形重合.知2－練解：(1)和(3)中的兩個圖案不成軸對稱，(2)和(4)中的兩個圖案成軸對稱.對稱軸如圖所示.知2－練方法點撥：反面觀察法，即從紙的反面觀察圖形，若觀察到的和正面一樣，就是成軸對稱.知2－練3-1.如圖所示的四組圖形中，成軸對稱的有()A.4組 B.3組 C.2組 D.1組D知2－練[情境題生活應用]一輛汽車的車牌在水中的倒影如圖15.1-6所示，根據(jù)所學知識，你能確定該車的車牌號碼嗎？知2－練例4解題秘方：根據(jù)水中倒影與實際車牌號碼上、下對稱的特點求解.解：車牌號碼為MT7936.知2－練方法點撥：解決從水(或平面鏡)中看到的車牌號(或數(shù)字)問題，我們可以把從水(或平面鏡)中看到的車牌號(或數(shù)字)寫在紙上，把紙面翻過來，從紙的背面即可看到實際中的車牌號(或數(shù)字).知2－練4-1.小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖，則實際時間是()A.21：10B.10：21C.10：51D.12：01C知2－練1.軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段被對稱軸垂直平分.特別地：成軸對稱的兩個圖形的對應線段所在直線平行或者重合或者相交于某一點，且該點一定在對稱軸上.

(如圖15.1-7).知識點軸對稱的性質(zhì)3知3－講2.經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知3－講3.由軸對稱的性質(zhì)可知，無論是成軸對稱的兩個圖形，還是軸對稱圖形，其對稱軸都是其任意一對對稱點所連線段的垂直平分線(如圖15.1-8)知3－講特別解讀1.軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對應線段、對應角相等.2.軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分全等，并且這兩部分關(guān)于對稱軸成軸對稱；成軸對稱的兩個圖形也全等.知3－講[新考向知識情境化]如圖15.1-9所示的飛機模型是軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸.請解決下列問題：(1)∠3和∠4有什么關(guān)系？AB

與A′B′呢？(2)DD′與直線l

有什么關(guān)系？(3)寫出圖中其他相等關(guān)系(不少于三對)．解題秘方：緊扣軸對稱圖形的性質(zhì)進行說明.知3－講例5(1)∠3和∠4有什么關(guān)系？AB

與A′B′呢？(2)DD′與直線l

有什么關(guān)系？(3)寫出圖中其他相等關(guān)系(不少于三對)．解：∠3=∠4，AB=A′B′．直線l是DD′的垂直平分線.AD=A′D′，∠1=∠2，DC=D′C′．(答案不唯一)知3－講5-1.如圖，△ABC

和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，下列結(jié)論：①△

ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③

l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點不一定在l上.其中正確的有()A．4個B．3個C．2個D．1個B知3－講如圖15.1-10，△

ABC和△DEF關(guān)于直線l

對稱，已知∠A=115°，∠E=42°，DF=8．求∠F

的度數(shù)和AC

的長．解題秘方：緊扣成軸對稱的性質(zhì)確定對應元素進行計算.知3－講例6解：∵△ABC

和△DEF關(guān)于直線l

對稱，∴△ABC≌△DEF.∴∠D=∠A，AC=DF.∵∠A=115°，DF=8，∴∠D=115°，AC=8.在△DEF中，∵∠D=115°，∠E=42°，∴∠F=180°－∠D－∠E=23°.知3－講6-1.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠

BAD=150

°，∠B=40°，則∠ACD的度數(shù)是_______

.65°知3－講軸對稱及其性質(zhì)軸對稱圖形對稱軸任意一對對稱點所連線段的垂直平分線成軸對稱15.1圖形的軸對稱第十五章軸對稱15.1.2線段的垂直平分線逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的判定互逆命題和互逆定理尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線作對稱軸1.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.條件：點在線段的垂直平分線上.結(jié)論：這個點到線段兩個端點的距離相等.2.幾何語言：如圖15.1-18，∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC.兩點之間的距離知識點線段的垂直平分線的性質(zhì)1知1－講特別解讀用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，它為證明線段相等提供了新方法.知1－講[中考·邵陽]如圖15.1-19，在△ABC中，AB

的垂直平分線分別交AB，BC

于點D，E，連接AE，若AE=4，EC=2，則BC

的長是()A.2B.4C.6D.8例1知1－練解題秘方：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)將要求的線段向已知條件轉(zhuǎn)化.解：∵DE是AB

的垂直平分線，AE=4，∴EB=EA=4.∴BC=EB＋EC=4＋2=6.答案：C知1－練1-1.[中考·鎮(zhèn)江]如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD．若AC＝8，CD＝5，則BD＝______.3知1－練1.判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.條件：點到線段兩個端點距離相等.結(jié)論：這個點在線段的垂直平分線上.2.幾何語言：如圖15.1-20，∵AB=AC，∴點A在線段BC

的垂直平分線上.知識點線段的垂直平分線的判定2知2－講特別解讀1.證明一個點在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，證平分；二是取中點，證垂直.2.證明線段的垂直平分線，必須證明兩個點在垂直平分線上.知2－講3.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等.拓寬視野該點的位置與三角形的形狀有關(guān)，若是直角三角形，該點在斜邊的中點處；若是銳角三角形，該點在三角形內(nèi)部；若是鈍角三角形，該點在三角形外部.知2－講如圖15.1-21，P

為∠MON

平分線上一點，PA⊥OM于A，PB⊥ON

于B，求證：OP

垂直平分AB．例2知2－練思路導引：知2－練證法一(判定定理法)：∵P

為∠MON

平分線上一點，∴∠AOP=∠BOP.∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∴△AOP≌△BOP(AAS)，點P

在AB

的垂直平分線上.∴OA=OB.∴點O

在AB

的垂直平分線上.∴OP

垂直平分AB.知2－練證法二(定義法)：∵P

為∠MON

平分線上一點，PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠AOP=∠BOP，PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO

中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴OA=OB.如圖，設(shè)OP與AB

相交于點C，∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SAS).∴∠ACO=∠BCO=90°，AC=BC.∴OP⊥AB.∴OP

垂直平分AB.OP=OP，PA=PB，知2－練2-1.如圖，AD為△

ABC的角平分線，AE=AF.連接DE，DF，EF，求證：線段AD

所在直線是線段EF

的垂直平分線.知2－練知2－練知2－練如圖15.1-22，OE，OF

所在直線分別是△

ABC中AB，AC

邊的垂直平分線，∠OBC，∠

OCB的平分線相交于點I，試判斷OI與BC的位置關(guān)系，并給予證明.例3知2－練解題秘方：根據(jù)“三角形三邊的垂直平分線相交于一點，三個內(nèi)角的平分線也相交于一點”進行證明.知2－練解：OI⊥BC.證明如下：如圖15.1-22，延長OI

交BC于點M.∵OE垂直平分AB，OF

垂直平分AC，∴點O

在BC

的垂直平分線上.∴OB=OC.又∵BI

平分∠OBC，CI

平分∠OCB，∴OI

平分∠BOC，即∠BOI=∠COI.知2－練在△BOM

和△

COM中，∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO=180°，∴∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC.OB=OC，∠BOM=∠COM，OM=OM，知2－練3-1.如圖，P

為△

ABC三邊垂直平分線的交點，∠PAC=20°，∠

PCB=30°.知2－練(1)求∠PAB的度數(shù)；知2－練(2)直接寫出∠APB與∠ACB

的數(shù)量關(guān)系：_________________

.∠APB＝2∠ACB知2－練知識點互逆命題和互逆定理3知3－講定義關(guān)系互逆命題兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把具有這種關(guān)系的兩個命題叫作互逆命題.如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題(1)命題有真有假，而定理都是正確的，即都是真命題；(2)每個命題都有逆命題，但不是所有定理都有逆定理互逆定理如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理特別解讀1.原命題的真假和逆命題的真假沒有必然聯(lián)系，原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題也不一定是假命題.2.判斷一個命題是真命題需要證明，而判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可.知3－講判斷下列命題的真假，寫出其逆命題并判斷真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.例4知3－練解題秘方：緊扣互逆命題“題設(shè)、結(jié)論正好相反”這一特征寫逆命題.知3－練解：(1)原命題是真命題.逆命題：如果兩條直線只有一個交點，那么它們相交.逆命題是真命題.(2)原命題是假命題.逆命題：如果a2>b2，那么a>b.逆命題是假命題.知3－練(3)原命題是真命題.逆命題：如果兩個數(shù)的和為零，那么它們互為相反數(shù).逆命題是真命題.(4)原命題是假命題.逆命題：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命題是真命題.知3－練4-1.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題的真假：(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果x＝4，那么x2＝16；知3－練解：逆命題：如果ab＝0，那么a＝0.假命題．逆命題：如果x2＝16，那么x＝4.假命題．(3)面積相等的三角形是全等三角形；(4)在一個三角形中，大角對大邊.知3－練解：逆命題：全等三角形的面積相等．真命題．逆命題：在一個三角形中，大邊對大角．真命題．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，寫出它的逆定理.(1)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；(2)三角形的兩邊之和大于第三邊.知3－練例5解題秘方：先寫出逆命題，再判斷逆命題的真假.解：(1)逆命題是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是真命題，故原定理有逆定理：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.(2)逆命題為：如果三條線段中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么這三條線段能圍成三角形，是真命題，故原定理有逆定理：如果三條線段中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么這三條線段能圍成三角形.知3－練5-1.下列定理中，沒有逆定理的是()A.兩直線平行，同位角相等B.全等三角形的對應邊相等C.全等三角形的對應角相等D.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上知3－練C1.作線段的垂直平分線已知：如圖15.1-23，線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．知識點尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線4知4－講

知4－講

也可以用這種方法確定線段的中點2.經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線已知：如圖15.1-25，直線AB和AB外一點C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.知4－講作法：如圖15.1-26.(1)以C為圓心，適當長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；特別提醒所取半徑要滿足所作的弧與已知直線有交點.知4－講確保CD=CE

確保FD=FE知4－講[中考·青島]請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：如圖15.1-27，△ABC．求作：點P，使PA＝PC，且點P在△ABC的邊AB的高上.例6知4－練思路導引：知