第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市宜興市某校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，共40分。1.已知復(fù)數(shù)z滿足zz+2=1+2i，則z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)α是平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若m⊥α，n//α，則m⊥n

C.若m//α，m//n，則n//α D.若m，n與α所成的角相等，則m//n3.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．”雙方從各自的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(

)A.13 B.14 C.154.若數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說法錯誤的是A.i=110xi=30

B.數(shù)據(jù)4x1+1，4x2+1，?，4x10+1的平均數(shù)為13

C.5.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,|a?A.18a B.14a C.6.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°、半徑為33的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為(

)A.26π

B.32π7.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角泰”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.小明在和家人一起包粽子時(shí)，想將一丸子(近似為球)包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個(gè)邊長為6cm的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的半徑最大值為(

)A.33 B.63 C.8.已知銳角△ABC的面積為23，A=π3，則邊ABA.(1,2) B.(2,22)二、多選題：本大題共3小題，共18分。9.在一個(gè)密閉的盒子中放有大小和形狀都相同，編號分別為1，2，3，4的4張卡牌，現(xiàn)從中依次不放回摸出兩張卡牌，記事件A=“第一次摸出的卡牌的編號為奇數(shù)”，事件B=“摸出的兩張卡牌的編號之和為5”，事件C=“摸出的兩張卡牌的編號之和為6”，則(

)A.事件B與事件C為互斥事件 B.P(C)=13

C.事件A與事件B相互獨(dú)立 10.已知向量a，b滿足|a|=1，b=(3,1)A.若a⊥b，則a=(12,?32)

B.若λa+b=0，則λ=211.如圖，在邊長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1A.若DP//平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長度為22

B.若AP=17，則點(diǎn)P的軌跡長度為π2

C.存在P滿足AP+PC1=210

三、填空題：本大題共3小題，共15分。12.在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為170和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和17，則估計(jì)出總樣本的方差為______．13.已知一元二次方程x2+px+5=0的兩個(gè)虛根分別為x1，x2，且滿足|x14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧(劣弧)沿著三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心(即三角形三條高線的交點(diǎn))如圖，已知銳角△ABC外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿△ABC三邊翻折后交于點(diǎn)P.若AB=6，則cos∠PAC=______；若AC：AB：BC=6：5：4，則PA+PB+PC的值為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.某市為了解人們對火災(zāi)危害的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次消防知識競賽，滿分為100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，將這m人按年齡分成5組，其中第一組為[20,25)，第二組為[25,30)，第三組為[30,35)，第四組為[35,40)，第五組為[40,45)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值；

(2)利用頻率分布直方圖，估計(jì)這m名市民年齡的平均數(shù)x?和第74百分位數(shù)y；

(3)現(xiàn)從第三、四、五組中采用分層抽樣的方法選取6人擔(dān)任本市的消防安全宣傳使者，再從中隨機(jī)抽取2人作為組長，求組長中至少有一人的年齡在第四組內(nèi)的概率．16.如圖所示，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=120°，BD=2DA，CE=2EB．

(1)求AE?CD的值；

(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)F，使得17.2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作.若某市經(jīng)過初次選拔后有甲、乙、丙三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中這三名同學(xué)同時(shí)解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題.已知甲同學(xué)成功解出這道題的概率是23，甲、丙兩名同學(xué)都解答錯誤的概率是16，乙、丙兩名同學(xué)都成功解出的概率是38，且這三名同學(xué)能否成功解出該題相互獨(dú)立．

(1)求乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率；

(2)18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，m//n．

(1)求角A；

(2)若a=3，S△ABC=334，D為線段19.如圖①，已知ΔAB′C是邊長為2的等邊三角形，D是AB′的中點(diǎn)，DH⊥B′C，如圖②，將△B′DH沿邊DH翻折至△BDH．

(1)在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得AF//面BDH？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請說明理由；

(2)在(1)的條件下，BC=2，求證：AF⊥BC；

(3)若VH?BCD=332，求二面角參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.A

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.39

13.±2

14.34

2315.(1)根據(jù)題意可得0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1，解得a=0.04；

(2)設(shè)這m人的平均年齡為：

x?=22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25歲，

因?yàn)榍皫捉M的頻率依次為0.05，0.35，0.3，0.2，

所以第74百分位數(shù)在[35,40)之間，且為35+0.74?0.70.04=36；

(3)若現(xiàn)從第三、四、五組中采用分層抽樣的方法選取6人擔(dān)任本市的消防安全宣傳使者，

則從第三、四、五組中需依次選取6×0.060.06+0.04+0.02=3,6×0.0416.(1)因?yàn)锽D=2DA，CE=2EB，

所以AE=AC+CE=AC+23CB=AC+23(AB?AC)=23AB+13AC，

CD=CA+AD=13AB?AC，

所以AE?CD=(23AB+13AC)?(13AB?AC)=29AB217.(1)記事件A=“甲成功解出這道題”，事件B=“乙成功解出這道題”，事件C=“丙成功解出這道題”，

則P(A)=23，P(A?C?)=[1?P(A)][1?P(C)]=16，解得P(C)=12，

又P(BC)=P(B)P(C)=38，解得P(B)=34，

故乙、丙兩名同學(xué)各自成功解出這道題的概率分別為34,118.(1)因?yàn)橄蛄縨=(1,3sinB?cosB)，n=(cosA,cosC)，m//n，

則有1×cosC?cosA?(3sinB?cosB)=0，

整理可得cosC+cosAcosB=3sinBcosA，

在△ABC中，cosC=?cos(A+B)=?cosAcosB+sinAsinB，

可得sinAsinB=3sinBcosA，

又因?yàn)閟inB>0，

可得tanA=3，

又因?yàn)锳∈(0,π)

所以A=π3；

(2)因?yàn)閍=3，S△ABC=334，

可得S△ABC=12bcsinA=143bc=334，

可得bc=3，

由余弦定理可得a2=3=b2+c2?2bccosA=b2+c2?bc=b2+c2?3，

可得6=b2+c2，

因?yàn)镈為線段BC中點(diǎn)，

所以AD=12AC+12AB，

所以19.(1)存在，當(dāng)BFFC=12時(shí)，AF//平面BDH，理由如下：

在圖①中，設(shè)B′C的中點(diǎn)為M，連接AM，

則AM⊥B′C，又DH⊥B′C，所以AM//DH，

因?yàn)镈是AB′的中點(diǎn)，所以H為B′M中點(diǎn)，即HMMC=12，

在圖②中，連接AF，AM，MF，

因?yàn)锽FFC=HMMC=12，所以MF//HD，又MF?平面BDH，HB?平面BDH，

所以MF//平面BDH，又AM//DH，

同理可得AM//平面BDH，

因?yàn)镸F∩AM=M，MF，AM?平面BDH，

所以平面AMF//平面BDH，

又AF?平面AMF，

所以AF//平面BDH．

(2)證明：在(1)的條件下，BC=2，BH=B′H=12,CH=32，

所以BC2+BH2=CH2，即BC⊥BH，又MF//HD，所以BC⊥MF，

由題知，DH⊥BH，DH⊥HC，

又BH，HC?平面BCH，BH∩HC=H，所以DH⊥平面BCH，

又AM//DH，所以AM⊥平面BCH，

又BC?平面BCH，所以BC⊥AM，

又BC⊥MF