高一向量中檔題目及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.若向量\(\vec{a}=(2,3)\)，向量\(\vec=(-1,2)\)，則向量\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)為（）A.(1,5)B.(1,1)C.(-3,5)D.(-3,1)2.若向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，向量\(\vec=(2,1)\)，則向量\(\vec{a}-\vec\)的坐標(biāo)為（）A.(1,-3)B.(-1,-3)C.(5,-3)D.(-1,1)3.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，向量\(\vec=(2,1)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點積為（）A.3B.4C.5D.64.若向量\(\vec{a}=(3,-1)\)，向量\(\vec=(2,1)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的叉積為（）A.1B.-1C.5D.-55.若向量\(\vec{a}=(4,5)\)，向量\(\vec=(2,3)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的夾角的余弦值為（）A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2二、填空題（每題4分，共20分）6.若向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，向量\(\vec=(1,3)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點積為\(\boxed{3}\)。7.若向量\(\vec{a}=(3,4)\)，向量\(\vec=(6,8)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的叉積為\(\boxed{0}\)。8.若向量\(\vec{a}=(1,0)\)，向量\(\vec=(0,1)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的夾角為\(\boxed{90^\circ}\)。9.若向量\(\vec{a}=(2,5)\)，向量\(\vec=(4,10)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的模長比為\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。10.若向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，向量\(\vec=(1,2)\)，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的單位向量分別為\(\boxed{\left(\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}\)和\(\boxed{\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\)。三、計算題（每題10分，共20分）11.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，向量\(\vec=(3,-1)\)，求向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的夾角。解：首先計算向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點積：\[\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times(-1)=3-2=1\]然后計算向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的模長：\[|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\]\[|\vec|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\]最后計算夾角的余弦值：\[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}\]因此，向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的夾角為\(\arccos\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right)\)。12.已知向量\(\vec{a}=(4,-3)\)，向量\(\vec=(2,1)\)，求向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)上的投影。解：首先計算向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點積：\[\vec{a}\cdot\vec=4\times2+(-3)\times1=8-3=5\]然后計算向量\(\vec\)的模長：\[|\vec|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\]最后計算向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)上的投影：\[\text{proj}_{\vec}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|^2}\vec=\frac{5}{5}\vec=\vec=(2,1)\]因此，向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)上的投影為\((2,1)\)。四、證明題（每題15分，共30分）13.證明：若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)垂直，則向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點積為0。證明：設(shè)向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，向量\(\vec=(x_2,y_2)\)，若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)垂直，則它們的夾角為90度，即\(\cos\theta=0\)。根據(jù)點積的定義，我們有：\[\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\]由于\(\cos\theta=0\)，根據(jù)點積與模長及夾角余弦的關(guān)系，我們得到：\[\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta=|\vec{a}||\vec|\cdot0=0\]因此，若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)垂直，則它們的點積為0。14.證明：若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)共線，則存在實數(shù)\(k\)使得\(\vec{a}=k\vec\)。證明：設(shè)向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，向量\(\vec=(x_2,y_2)\)，若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)共線，則它們的方向相同或相反。這意味著存在實數(shù)\(k\)使得：\[x_1=kx_2\quad\text{和}\quady_1=ky_2\]