等腰三角形的判定能力提升篇一、單選題：1．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1．已知A、B是兩格點，若△ABC為等腰三角形，且S△ABC=1.5，則滿足條件的格點C有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時，符合△ABC為等腰三角形的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合△ABC為等腰三角形的C點有4個．因為S△ABC=1.5，所以滿足條件的格點C只有兩個，如圖中藍色的點．故選B．【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰；然后根據S△ABC=1.5，再確定點C的位置．2．如圖，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，過D作DE∥AB交BC于點E，若點F在AB上，且滿足DF=DE，則∠DFB的度數為（）A．25° B．130° C．50°或130° D．25°或130°【答案】C【知識點】等腰三角形的判定與性質【解析】【解答】解：如圖，DF=DF′=DE；∵BD平分∠ABC，由圖形的對稱性可知：△BDE≌△BDF，∴∠DFB=∠DEB；∵DE∥AB，∠ABC=50°，∴∠DEB=180°﹣50°=130°；∴∠DFB=130°；當點F位于點F′處時，∵DF=DF′，∴∠DF′B=∠DFF′=50°，故選C．【分析】如圖，證明∠DFB=∠DEB，此為解決問題的關鍵性結論；求出∠DEB=130°，即可解決問題．3．如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G,過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列四個結論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；④設GD=m，AE+AF=n,則=mn.其中正確的結論有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質【解析】【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小題正確；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故本小題正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，∴點G是△ABC的內心，∴點G到△ABC各邊的距離相等，故本小題正確；④連接AG，∵點G是△ABC的內心，GD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=AE?GD+AF?GD=（AE+AF）?GD=nm，故本小題錯誤．故答案為：C．【分析】利用角平分線的性質可證得∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再根據平行線的性質，可證得∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，再證明∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，就可得出BE=EG，GF=CF，從而可證①的結論；利用角平分線的定義及三角形的內角和定理，可對②作出判斷；BG、CG是△ABC的兩個角的平分線的交點，可證得點G時內心，利用三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可對③作出判斷；由已知條件：點G是△ABC的內心，GD=m，AE+AF=n，就可得出△AEF的面積=（AE+AF）?GD，代入計算，可對④作出判斷，綜上所述，可得出正確結論的個數。二、填空題：4．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與，重合），連接，作，與交于.在點的運動過程中，的度數為時，的形狀是等腰三角形.【答案】或【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的判定與性質【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此時不符合；②當DA=DE時，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；③當EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；∴當△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數是110°或80°，故答案為：110°或80°.【分析】利用等邊對等角可求出∠C的度數，再利用等腰三角形的定義，分情況討論：當AD=AE時，可得到∠AED=40°，利用三角形的一個外角大于和它不相鄰的任意一個內角，可知此時不符合；當DA=DE時，利用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求出∠DAE的度數，利用三角形的內角和定理求出∠BAC，∠BAD的度數；然后利用三角形的內角和定理求出∠BDA的度數；當EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，由此可求出∠BAD的度數；然后利用三角形的內角和定理求出∠BDA的度數.5．如圖，在三角形ABC中，DE垂直平分BC，交BC、AB分別于D、E，連接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE=AC，∠ACF=16°，則∠EFB=【答案】61.5°【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質【解析】【解答】∵DE垂直平分BC，∴BE=EC，∵BE=AC，∴CE=AC，∴△ACE是等腰三角形，∵∠ACE=16°，∴∠AEC=∠A=82°，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=∠AEC＝×82°＝41°，∵BF平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC＝×41°＝20.5°，∴∠EFB=∠AEC-∠EBF=82°-20.5°=61.5°，故答案為：61.5°【分析】根據垂直平分線的性質及等腰三角形的性質和三角形外角的性質解答即可.6．如圖，已知點P是射線BM上一動點（P不與B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，當∠OAP=時，以A、O、B中的其中兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．【答案】75°或120°或90°【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如圖，

∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=30°，

①當AOP1是等腰三角形時，

∵OA=OP1，

∵∠AOB=30°，

∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；

②當△ABP2是等腰三角形時，

∵∠ABM=60°，

∴△ABP2是等邊三角形，

∴∠BAP2=60°，

∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；

③當△OAP3是等腰三角形，

∵OA=AP3，

∴∠AOB=∠AP3O，

∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.

綜上，∠OAP為75°或120°或90°

故答案為：75°或120°或90°.

【分析】分三種情況討論，即當OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根據等腰三角形的性質，結合三角形內角和定理即可求出∠OAP的度數.7．如圖，在中，和的平分線相交于點O，過點O作交于E，交于F，過點O作于D，有下列結論：①；②點O到各邊的距離相等；③；④.其中正確的結論是（把你認為正確結論的序號都填上）.【答案】①②③④【知識點】三角形內角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°∠A，∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故③正確；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正確；過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴點O到△ABC各邊的距離相等，故②正確.

在Rt△AMO與Rt△ADO中，

∵OM=OD，AO=AO，

∴Rt△AMO≌Rt△ADO∴AM=AD，

同理BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=（AB+ACBC）故④正確，故答案為：①②③④.【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得③正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質得出點O到△ABC各邊的距離相等，故②正確；根據HL可以證出△AMO與△ADO全等，根據全等三角形的對應邊相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算（AB+ACBC）即可得出判斷出④.三、解答題：8．如圖，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分線與∠ACB的平分線交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．求證：MN=CN﹣BM．【答案】證明：∵ON∥BC，∴∠NOB=∠OBD∵BO平分∠ABD，∴∠ABO=∠DBO，∴∠MOB=∠OBM，∴BM=OM∵ON∥BC，∴∠NOC=∠OCD∵CO平分∠ACB，∴∠NCO=∠BCO，∴∠NCO=∠NOC，∴ON=CN∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，∴CN=BM+MN，∴MN=CN﹣BM．【知識點】等腰三角形的判定與性質【解析】【分析】只要證明BM=OM，ON=CN，即可解決問題．9．如圖，BD和CD分別平分△ABC的內角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，連接AD．（1）求證：∠BDC=∠BAC；（2）若AB=AC，請判斷△ABD的形狀，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，若AF=BF，求∠EBA的大?。敬鸢浮浚?）解：∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC（2）解：△ABD為等腰三角形，證明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD為等腰三角形（3）解：∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的判定與性質【解析】【分析】（1）根據角平分線的定義得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，等量代換即可得到結論；（2）作DM⊥BG于