高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題17三角函數(shù)最值與取值范圍問(wèn)題十三大題型匯總題型1單調(diào)性與最值 1題型2輔助角公式求最值 2題型3一元二次函數(shù)與最值 3題型4sinx與cosx和差求最值 4題型5分式型最值 5題型6絕對(duì)值型求最值 7題型7三角換元法求最值 8題型8三角換元法與向量求最值 9題型9三角換元法與根號(hào)型求最值 11題型10換元法求最值 11題型11距離與斜率型 12題型12參變分離 13題型13復(fù)合函數(shù)型 13題型1單調(diào)性與最值利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)區(qū)間的最值問(wèn)題【例題1】（多選）（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+πA．-1 B．-2 C．1 D．2【變式1-1】1.（多選）（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0滿足fA．fx0+1C．fx的最小正周期為4 D．fx在【變式1-1】2.（2021秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)fxA．fx是偶函數(shù) B．0是fC．fx在-π2,π2上有且僅有【變式1-1】3.（多選）（2020秋·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinA．fx在區(qū)間0,πB．若0<x1C．fx在區(qū)間0,π上的值域?yàn)镈．若函數(shù)gx=xg'x+cos【變式1-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f【變式1-1】5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a、b為實(shí)數(shù)，且a<b，函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間a,b上的最大值和最小值的差為1，則b-a的取值范圍是題型2輔助角公式求最值通過(guò)輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)區(qū)間的最值問(wèn)題【例題2】（2023·天津東麗·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin①fx的圖象關(guān)于點(diǎn)3②將fx的圖象向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于③fx在0,π④fx在-A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④【變式2-1】1．（2023·天津·三模）已知fx=msinωx-cosωxm>0,ω>0，gx=2tanx，若對(duì)?x1A．43 B．1 C．23【變式2-1】2.（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+cos(ωx+5π6【變式2-1】3.（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=cosx+π2cos【變式2-1】4.（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）函數(shù)y=2sinωx+25cos2ωx2-5題型3一元二次函數(shù)與最值類比一元二次函數(shù)，求解最值【例題3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=4sin2π2+x+4sinA．π6,π2 B．π【變式3-1】1.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxA．fx是偶函數(shù) B．fx在區(qū)間C．fx在-π,π上有4個(gè)零點(diǎn)【變式3-1】2.（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)函數(shù)fx=-32cos2x+asinx+a+92，【變式3-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)gx(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：【變式3-1】4.（2022秋·上海虹口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a∈R，函數(shù)f(x)=(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f((2)若函數(shù)y=f(x)-fπ2-x(3)設(shè)a=12,u∈R【變式3-1】5.（2022秋·廣東佛山·高三華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）當(dāng)b=1,c=1，則fx的最大值為（2）若對(duì)任意x1、x2∈R，都有f題型4sinx與cosx和差求最值利用sinx+【例題4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinx+cosxsinA．π為fxB．fxC．g(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱D．曲線y=fx在點(diǎn)-π【變式4-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=cosA．-2+1,2+1 B．-【變式4-1】2.（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)fx(2)若x∈0,π，關(guān)于x的方程【變式4-1】3.（多選）（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+A．f12C．fx在R上單調(diào)遞減 D．f1題型5分式型最值1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=m+kcosx2.可以用輔助角：上下同名型：g（x）=m+kcosx【例題5】（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知fx=cos3xcosx+1,將fx的圖象向左平移①函數(shù)gx的周期為π2;②函數(shù)gx的值域?yàn)?2,2;③函數(shù)gx的圖象關(guān)于x=-π12A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)【變式5-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=sinA．-2,2 B．-1,1 C．-1,1 D．-2,2【變式5-1】2.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxA．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π2,0對(duì)稱 B．πC．fx的值域?yàn)?3,3 D．【變式5-1】3.（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)=sinA．f(x)的圖像關(guān)于直線x=πB．f(x)在-πC．f(x)的值域是[0,2+D．若方程f(x)=83在0,45π4【變式5-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=3-sinx題型6絕對(duì)值型求最值絕對(duì)值型需要進(jìn)行分類討論，再進(jìn)行分析【例題6】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=asinx-A．fx的最小值為B．fx的最大值為C．方程fx=b在D．fx在π【變式6-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=cosx，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，方程f【變式6-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出以下命題：①若α、β是第一象限角且α<β，則tanα<②函數(shù)y=sin③函數(shù)y=sin④函數(shù)y=sinx-1⑤函數(shù)f(x)=-4sin2x+4cosx+1-a，當(dāng)x∈其中正確命題的序號(hào)為.【變式6-1】3.（2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)f(x)=x-a+cosx在0,b上的值域?yàn)?1,3π【變式6-1】4.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinA．fx是以πB．直線x=π2是曲線C．函數(shù)fx的最大值為2，最小值為D．若函數(shù)fx在區(qū)間0,Mπ【變式6-1】5.（2022春·新疆·高三?？茧A段練習(xí)）定義：設(shè)不等式fx>0的解集為A，若A中只有唯一整數(shù)，則稱A為“和諧解集”．若關(guān)于x的不等式sinx+A．[cos22,cos1)題型7三角換元法求最值1.二次型雙變量可以三角換元.2.橢圓型，或者雙變量型，可以適當(dāng)選擇多項(xiàng)式三角函數(shù)換元.【例題7】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高三校考階段練習(xí)）若x2+y2=2【變式7-1】1.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1【變式7-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)x、y∈R且3x2+2y【變式7-1】3.（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)a1、a2、a3均為正數(shù)且a12+a【變式7-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ).在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Px1,y1，Qx2,yA．-2,2 B．2,3+2 C．-2,3-2【變式7-1】5.（2022·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a2+bA．3+12 B．2+12題型8三角換元法與向量求最值向量中的三角換元原理之一，就是源于|a【例題8】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P在以D為圓心且與AC相切的圓上，則BP?AC的取值范圍是【變式8-1】1.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC=120°，點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)，AP=xAB+y【變式8-1】2.（2022·山東日照·統(tǒng)考一模）在ΔABC中，∠A=π3，且(AB+【變式8-1】3.（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC外接圓的圓心為O，AB=AC=8，AO=αAB+βAC【變式8-1】4.（2022秋·新疆·高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|=2，DA?BC=DB?AC=【變式8-1】5.（2022秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，扇形AOB的圓心角為2π3，半徑為1．點(diǎn)P是AB上任一點(diǎn)，設(shè)∠AOP=α(1)記fα=OP(2)若OP=xOA+y【變式8-1】6.（2022秋·天津?qū)氎妗じ呷？茧A段練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為43的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，過(guò)B點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，（1）若圓心O到直線l的距離為1，則MN=；（2）若BM=λBA【變式8-1】7.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，AP=λA．μ最大值為1 B．AP·AB最大值是8C．λ最大值為5+14 D．AP?題型9三角換元法與根號(hào)型求最值無(wú)理單根號(hào)，雙根號(hào)等等三角換元的數(shù)字特征.1.單根號(hào)，一般是齊次關(guān)系.2.雙根號(hào)，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x.3.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約.【例題9】（2021秋·天津紅橋·高三統(tǒng)考期中）設(shè)a≥0，則2a+2a【變式9-1】1.（2020春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┤魕=x-4+18-3x，則【變式9-1】2.（2021秋·江西吉安·高三江西省萬(wàn)安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知a,b,c∈[-4,4]，則|a-b|+|b-c|【變式9-1】3.（2021秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)r，t∈R滿足r-2t-2r-t題型10換元法求最值【例題10】（2008·重慶·高考真題）函數(shù)f(x)=sinx5+4cosA．[-14,14C．[-12,12【變式10-1】1.（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)f(x)=sinA．35 B．335 C．【變式10-1】2.．（2022·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知α，β∈0,π2，2A．2-1 B．2 C．11916【變式10-1】3.（2020秋·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)y=-1+A．1,-1 B．22,-22 C．題型11距離與斜率型【例題11】（2020·江蘇鹽城·鹽城市第一中學(xué)校考二模）已知函數(shù)f(α)=2(cosα+12)2【變式11-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxA．22 B．23 C．【變式11-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)圓O:x2+y2=1上兩點(diǎn)Ax1,【變式11-1】3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）存在實(shí)數(shù)α∈R使得2cosα+122【變式11-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x∈[-3，3]，y∈R+，則【變式11-1】5.（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)y=-x2題型12參變分離【例題12】（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式x2+1cos【變式12-1】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=t+sinxA．1 B．2 C．-1 D．-2題型13復(fù)合函數(shù)型【例題13】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)fx，當(dāng)x≥0時(shí)滿足fx=4cosxsin(x+π【變式13-1】1.（2020·湖南岳陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2cosπ3x,x∈-6,612【變式13-1】2.（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若x∈π6,2π3，關(guān)于1.（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為π，f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)π12,0對(duì)稱，f(0)>0．若f(x)在[0,m]上存在最大值22.（2022·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=sinπ2x，任取t∈R，記函數(shù)f(x)在[t,t+1]上的最大值為Mt，最小值為mA．1-22C．1-223.（多選）（2023·海南海口·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=sinA．f(x)的最小正周期為2π B．f(x)的值域?yàn)镃．fx+π12為奇函數(shù) D．若f(x)在區(qū)間0,a上單調(diào)，則4.（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面