第十章

機翼與葉柵理論機翼和葉柵是飛行器與葉輪機械的最主要元件，葉柵是剖面為翼型的一系列葉片的組合。本章用流體力學的原理和方法建立流體作用于機翼和葉柵上的力的計算方法，為其設計奠定理論基礎。本章主要內容：（1）翼型的幾何要素和流體動力特性；（2）翼型動力特性的流體力學原理，包括保角變換法和奇點分布法；（3）葉柵特征方程；（4）葉柵流動的保角變換解法和奇點分布解法。第一節(jié)機翼升力原理機翼是指產生的升力比其阻力大得多的物體。該特性取決于其剖面形狀（翼型）。理論依據：（1）流體有環(huán)量繞流會產生升力；（2）繞流阻力由粘性摩擦阻力和壓差阻力兩部分組成。小攻角翼型繞流FL流線較密，速度大流線較疏，速度小壓力系數分布曲線

吸力壓力

機翼一部分是由流過上表面的空氣把它吸起來的，且上表面產生的負壓對全部升力的貢獻大于下表面的貢獻。較大攻角翼型繞流翼型表面壓強的分布大攻角翼型繞流流體繞過翼型時要產生升力，是由于翼型上下表面速度不同造成壓強分布的不同。將上下翼面速度分布的差異視為均勻的無窮遠來流與由翼型形成的有一定環(huán)量的環(huán)流兩者疊加而成。升力的大小與流體繞流翼型的環(huán)量Γ成正比，即環(huán)量的大小與翼型的形態(tài)有關。第二節(jié)翼型的幾何參數飛機的機翼和水輪機等流體機械的葉片的剖面形狀稱為翼型，翼型的周線稱為形線。翼型的形狀一般是圓頭尖尾的流線形。后緣前緣上弧線下弧線（骨線）2.翼型中弧線：輪廓線的內切圓之圓心連線，也稱為翼型的骨線或中線。3.翼型的（最大）彎度：中弧線的最大縱坐標，用f表示，彎度也稱為拱度。最大相對彎度最大彎度的相對位置1.翼弦：連接翼型前后緣直線，弦長用b表示。4.翼型的（最大）厚度：翼型的各垂線被翼型上下表面型線所截的最大者，用t表示。最大相對厚度最大厚度的相對位置5.前后緣半徑：翼型的前后緣圓角半徑，用rl和rt表示。工程實際中應用的一些翼型的基本形狀：翼型上下表面坐標y0,1(x)與彎度坐標yf(x)和厚度坐標yt(x)的關系式為：中弧線的y坐標局部厚度的一半NACA翼型NACA翼型是美國國家航空資訊委員會（NationalAdvisoryCommitteeforAeronautics）所發(fā)表的翼型系列，有以下常用的系列翼型：（1）NACA四位數字翼型厚度方程為：最大厚度前緣半徑中弧線取為兩段拋物線，這兩段拋物線在中弧線的最高點相切

ＮＡＣＡ２４１２例如：最大彎度為弦長的百分之幾即最大厚度是弦長的百分之幾即最大彎度位置離前緣為弦長的十分之幾，即

18（２）NACA五位數字翼型NACA23012例如五位數字翼型的厚度分布同四位數字翼型。相對厚度最大彎度的相對位置的百分數的兩倍最大彎度為弦長的百分之幾即19翼面上最低壓力點位置盡可能后移，以延長順壓梯度段長度，努力使其邊界層為層流狀態(tài)，降低翼型的摩阻。（３)NACA層流翼型NACA層流翼型應用較多的是6系列例如NACA64-208層流最低壓力點位置離前緣位置在0.4的弦長處設計升力系數的十分之一相對厚度20NACA層流翼型的基本形狀及最小壓力點位置

此外還有前蘇聯，德國、英國的翼型，我國也曾設計自己翼型，但應用最多的是NACA系列翼型。機翼的常見平面圖形機翼的平面圖形展長第三節(jié)翼型的流體動力特性翼型的流體動力特性主要包括翼型壓力分布特性、升力特性、阻力特性、俯仰力矩特性等。這些特性與機翼沖角（攻角）有關。（沖角）攻角

——翼弦與無窮遠來流方向的夾角，用α表示。對于任意一個翼型，會在某一沖角時，其升力等于零，此時的來流方向稱為零升力方向。零升力方向與翼弦的夾角稱為零沖角，用α0表示。來流速度v∞與零升力方向的夾角αa稱為氣動沖角（流體動力沖角），一般為負值零升力方向流體對翼型的總作用力R可以分解為兩個相互垂直的分力，分別是平行于來流方向的阻力D和垂直于來流方向的升力L。壓力中心點S，距前緣位置為xs。1.壓力分布特性壓力系數壓力系數分布曲線

吸力壓力2.升力系數攻角α

升力系數ＣＬ線性

到臨界攻角αｃｒ，升力系數達最大值ＣLmax若再α

ＣＬ突

伴隨CD突

稱為“失速”機翼失速是由于邊界層分離造成的，失速時的沖角稱為失速角，一般由實驗確定，通常在10°～20°之間。多數翼型：最大升力系數ＣLmax主要與翼弦雷諾數Re、翼型最大相對厚度、最大相對彎度及表面粗糙度有關，下面逐一進行討論。

升力曲線

平行上移，而αcr保

持不變。CL與的關系：CL與的關系：ＣLmax

達到最大。CL與Re的關系：Re

ＣLmax

,增大Re,可推遲邊界層分離。小結：通常，，CLmax值最大，隨或Re的增大而增加。接近前緣的表面粗糙度對CLmax的影響很敏感，隨粗糙度增加將減小。因此，為獲得較大的升力系數，翼型頭部應采用光滑曲面。3.阻力系數翼型阻力表面摩擦阻力壓差阻力翼型阻力系數：翼型阻力大小與翼型參數、沖角大小、Re有密切關系。Re

CD

ＣＬ

CD

ＣＬ=0時ＣD取極小值為提高流動性能，需特別重視翼型阻力的最小值。實驗表明，時，其翼型阻力最小。由于沖角對翼型阻力的影響很大，因此欲設計獲得一定升力系數而阻力最小的話，應考慮使用有彎度的翼型。用彎度來提高升力系數所引起的阻力增加量最小。4.俯仰力矩系數由升力和阻力合成的總動力R的力矩稱為俯仰力矩M。俯仰力矩的大小與所選取的力矩的參考點有關。參考點通常有兩種取法：取翼型前緣為參考點和取離前緣為1/4弦長處為參考點。前者用M0表示，相應的力矩系數為Cm0；后者用

表示，相應的力矩系數為。Ｃmo～α曲線Ｃm1/4～α曲線NACA對稱翼型的俯仰力矩曲線可以看出，壓力中心恒為離前緣1/4弦長處復變函數的重要定理1.柯西積分定理如f(z)在封閉曲線C內和C上都是解析和單值的，則2.泰勒級數如f(z)在封閉曲線C內和C上都是解析函數，且z=z0是內的一個點，則f(z)可展開為如下收斂的泰勒級數：3.羅朗級數如f(z)在z=z0中心的兩個同心圓C和C’的圓環(huán)內是解析函數，則f(z)可以用（z-z0）的正和負的冪次式展開，即有環(huán)形區(qū)間內都收斂的羅朗級數：式中，An為復系數。4.柯西留數定理孤立奇點：如函數f(z)在點z=z0不解析，但是在z0的去心領域0<|z-z0|<δ內處處解析，那么稱z0為f(z)的孤立奇點。留數的定義：設z=z0為函數f(z)的孤立奇點，函數f(z)在0<|z-z0|<R內解析，C是任意正向圓周|z-z0|=δ<R，則f(z)在z=z0的留數為：柯西留數定理：假定C是一條封閉曲線，除了C內的有限個一階奇點外，函數f(z)在C內和C上都是解析的。如在那些奇點上的留數等于r1,r2,…,rn，則留數定理為5.柯西公式假定f(z)在封閉曲線C內和C上都是解析函數，如有z0是不在C上一個點，柯西公式有：第四節(jié)儒可夫斯基翼型與保角變換法

一、保角變換法求解平面勢流利用解析的復變函數

z

=f(ζ)將ζ平面上的圓域變換成z平面上的實用域。zxyCzV∞zαzξηζCζV∞ζαζ注意：保角變換過程中，同一點兩個線段的夾角在變換過程中保持不變。ζ0(dζ)1(dζ)2z0(dz)1(dz)2（一）復勢在保角變換中的變化可通過復變函數變換為z平面（物理平面）上，具有邊界Cz

的復勢可以證明，W(z)的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。ζ平面（輔助平面）上邊界為Cζ的平面勢流的復勢為ζ平面上的復速度（二）復速度在保角變換時的變化表示兩平面上相應點的復速度不相等，V(ζ)的模比V(z)的模大|dz/dζ|倍，方向要轉arg(dz/dζ)大小的角。ζ平面上的無窮遠來流復速度為則，z平面上的無窮遠來流復速度為（三）流動奇點強度在保角變換中的變化作保角變換時，二平面上的點渦、點源強度關系為即奇點強度保持不變。保角變換法總結：當某平面上繞某物體的流動復勢已知時，可以通過一解析函數作流動變換。在變換平面上的繞流復勢時可直接將解析函數代入已知復勢，兩平面上相應點處的復速度不相等，兩平面上的流動奇點的強度保持不變。二、儒可夫斯基變換變換函數式中：c——

正的實常數。（一）變換特點1）ζ平面上無窮遠點和原點都變換成z平面上的無窮遠點。2）在變換平面上有兩個無保角性的變換奇點

。C-C3）ζ平面上圓心在坐標原點，半徑為c的圓周變換成z平面上實軸上長為4c的線段。4）

兩平面上的無窮遠點的流動相同。ζ平面上圓心位于坐標原點，半徑a>c的圓變換為

z平面上長半軸為a+c2/a（位于實軸），短半軸為a－c2/a的橢圓。（二）繞橢圓柱體的勢流ζ平面上繞圓柱流動的復勢為儒可夫斯基變換函數的反函數為z平面上橢圓繞流的復勢為化簡，得到前后駐點為庫塔——

恰布雷金假設：繞流過帶尖銳后緣的物體時，其后緣必定是后駐點。（三）平板繞流1、無環(huán)量繞流1.4.P7如圖示，平面上有則z

平面上有其駐點為，1.4.P82、有環(huán)量繞流如圖示為實際的有環(huán)量繞流。其環(huán)量為平面上的復位勢為1.4.P9可得z

平面上的復位勢平板升力為升力系數為1.4.P10（四）對稱翼型（儒可夫斯基舵）繞流平面上，圓心在橫軸上原點左面，離原點m<<c

，過的圓，經變換后得z

平面上的對稱翼型。1.4.P11其參數方程為曲線方程為翼型表面方程也可記為式中b

——

弦長1.4.P12對于平面繞圓流動有復位勢可由此求得。變換到z

平面上環(huán)量為得對稱翼型上的升力環(huán)量為1.4.P13升力系數與平板繞流相比，增大了。（五）圓弧翼型繞流ζ平面上圓心在虛軸上，距原點m<<c,且過兩點的圓，可變換為z平面上的圓弧，如圖，方程為1.4.P14弦長為b=4c，頂點f=2m。在z

平面上，以b和f

表示其方程為

在平面上有

可由此求取W(z)。其環(huán)量為1.4.P15圓弧翼型升力為升力系數（六）儒可夫斯基翼型繞流平面上的儒可夫斯基翼型。圖示平面上圓心在二象限的圓，變換后得z1.4.P16此變換可看成是前述變換的疊加。其曲線方程為1.4.P17平面上的復位勢為由此式可得W(z)。其環(huán)量為升力系數為可見，增大翼型厚度和彎度與增大攻角一樣，可使增大，但應有限制。1.4.P18第六節(jié)葉柵及葉柵特征方程葉片式水力機械的轉輪、導葉輪都由若干個相同的葉片或翼型按相互等距離排列組成，葉片或翼型之間將彼此相互影響。按照一定規(guī)律排列起來而又相互影響的葉片或翼型的組合，叫做翼柵或葉柵。

葉柵理論的目的在于尋找葉柵與流體之間相互作用的運動學和動力學規(guī)律，以及影響這些規(guī)律的各種因素，是葉片式水力機械水動力學計算的理論基礎。一、葉柵的主要類型按流體流經葉柵流道的流動是平面流動還是空間流動，可將葉柵分為平面葉柵和空間葉柵。平面葉柵：軸流式渦輪機械的轉輪和導葉，徑流式水輪機、水泵及壓縮機的轉輪和導葉。

空間葉柵：混流式渦輪機械的轉輪。軸流式渦輪機械徑流式渦輪機械混流式渦輪機械將軸流式渦輪機械葉柵流動用圓柱狀流面展開后得到一直列的平面葉柵。徑流式機械的流面各葉片組成一環(huán)列平面葉柵二、葉柵的主要幾何參數1．列線葉柵中各翼型相應點的連線稱為葉柵的列線，通常以葉片前后緣點的連線表示列線。列線的類型：直線、圓周。2．柵軸垂直于列線的直線稱為柵軸，對環(huán)列葉柵的柵軸應是轉軸。3.柵距直列葉柵中相鄰兩翼型上相應點之間的距離稱為柵距，用t表示。安放角翼型的弦線與列線之間的夾角稱為安放角，用βs表示。中弧線在前緣點處的切線與列線的夾角叫進口安放角，用βs1表示。同樣可定義出口安放角βs2。稠密度直列葉柵中翼型弦長與柵距之比b/t叫做葉柵的稠密度，其倒數t/b叫相對柵距。環(huán)列葉柵沒有柵距，就沒有稠密度的概念。葉柵可按稠密度進行分類：b/t<1，稀葉柵b/t>1，稠葉柵三、葉柵的升力定理翼型的沖角及進、出氣角對于孤立翼型，無窮遠來流速度與翼弦之間的夾角α稱為沖角。規(guī)定沖角在翼弦以下的為正，以上的為負。流體在葉柵進口的速度v1與列線之間的夾角β1稱為進氣角；出口速度v2與列線之間的夾角β2稱為出氣角。討論理想不可壓縮流體繞流平面直列葉柵的作用力：選取控制體ABCD，線段AB和CD遠離葉柵，平行于葉柵列線，長度等于柵距。認為線段AB和CD上的速度和壓強均勻分布；AD和BC為兩條流線。同時，假設葉柵中圍繞每個翼型的流動是完全相同的。控制體內流體所受的作用力為對控制體內流體列動量方程：因此，得到（1）下面求控制體封閉曲線的速度環(huán)量。（2）由AB、CD的伯努利方程，得到（3）將式（2）代入式（3），得上式即為葉柵的升力定理。表明流體作用在葉柵每個翼型上的合力大小等于流體密度、平均速度以及繞翼型的速度環(huán)量的乘積。將上式代入式（1），得四、等價葉柵

如果兩個由不同翼型組成的柵距相同的葉柵在任何來流情況下升力相同，則稱為兩葉柵等價。任何葉柵都存在它等價的葉柵，且等價葉柵的葉型可以任意。特別是任何葉柵都能找到與它等價的平板葉柵。滿足條件：（1）平板葉柵與原葉柵的柵距t相等；（2）安放角等于原葉柵的無環(huán)量繞流角β0（即零升力方向）；（3）弦長滿足：升力系數五、葉柵繞流問題的解法正命題實際上是葉柵的流動分析問題：給定葉柵和翼型的幾何參數，葉柵進流速度矢量，求解葉柵內的流動參數，包括葉面上的速度分布和壓強分布。葉柵繞流的求解分為正命題和反命題。2.反命題實際上是葉柵的設計問題：給出葉柵進、出流速度矢量，以及葉面上的速度分布或壓強分布，要求解出滿足這種流動的葉柵和翼型的幾何參數。求解葉柵繞流的正、反命題的手段有理論分析法、實驗法和數值計算法。這里討論其中的理論分析法，主要包括流線法、保角變換法和奇點法。流線法從流線下手進行流動分析與葉柵設計，主要求解葉柵的空間繞流，其優(yōu)點是公式、程序較簡單，但缺點是引入的假設較多，計算精度較低。2.保角變換法用來解算由彎度不大的葉柵或由理論翼型所組成的平面葉柵繞流的正、反命題。該方法理論上嚴格，不需要經驗數據進行修正，通常用于軸流式轉輪葉柵設計計算。基本思想是應用保角變換，把給定的葉柵平面變換到某一輔助平面，使在輔助平面上的繞流是已知的或容易求解的。這樣，在葉柵平面上的流動就可以逆變換關系求出。3.奇點法用來解任意葉柵正、反命題的現代方法之一。其實質是在有勢流場中置入的點源系與點渦系替代葉柵中的翼型，以確定流場受葉柵干擾后的流動。奇點法成功地解決了環(huán)列葉柵繞流的計算和直列葉柵汽蝕繞流的計算。當葉柵前方的來流速度和沖角已知時，繞流過葉柵后的流動將由特定的葉柵完全確定下來。葉柵能夠決定柵后流動的性能稱為葉柵的動力特性。表征葉柵動力特性的方程，稱為葉柵特征方程。一、靜止葉柵的特征方程假設有兩個繞流靜止直列葉柵的平面有勢流動，且這兩個流動不相似，它們在葉柵前、后的速度分別為：依據連續(xù)性條件，由勢流疊加原理，上述兩勢流可以確定另一勢流，其速度表達式為：（a,b為常數）對應的柵后速度表達式為：（1）（2）將式（1）、式（2）改寫成標量形式：（3）引入新的系數i0式（3）可寫成（4）上式兩端同時乘以列線長度2πr，r為展開成平面葉柵的圓柱流面的半徑，有（5）上式中，?！菆A柱流面出口處的速度環(huán)量，?！沁M口處的速度環(huán)量，Q是兩徑向距離為1的圓柱流面間的流量。式（5）即為靜止直列葉柵前、后流動的特征方程。系數K、i0的物理意義兩個流量相同、繞流同一葉柵的不同流動，它們的特征方程為：表示單位柵前速度環(huán)量變化所造成的柵后速度環(huán)量的變化。t→0，柵后速度方向不受柵前流動影響而保持恒定，因此K=0;t→∞，視為孤立翼型，柵前、后足夠遠處速度相同，因此K=1。

當t→0，b/t→∞時，流體無法穿過葉柵，當t→∞，b/t→0時，流體完全穿過葉柵，故特征系數K稱為葉柵的穿透系數，0≤K≤1。

系數K、i0的物理意義現考察一種葉柵流動，在該流動中柵前與柵后具有相同的速度矢量，這種流動使翼型不受升力作用，稱為零向來流。它的特征方程為：i0表示零向來流角β0的正切，稱為零向系數。二、運動直列葉柵的特征方程以等角速度ω旋轉的軸流式渦輪，將距軸r的圓柱流層展開成平面直列葉柵時，得到的是以速度u=rω沿列線方向等速移動的直列葉柵。坐標系取在渦輪上，則葉柵特征方程與特征系數可用在此坐標系內的運動上，即w為相對速度。絕對速度、相對速度和牽連速度之間的關系為：乘以2πr（6）式（6）即為運動直列葉柵的特征方程，K、i0的意義同前。三、轉動環(huán)列葉柵的特征方程（7）K、i0的意義同前，ra為有效半徑，一般由實驗確定。第七節(jié)保角變換法解平面葉柵流動一、葉柵流動的保角變換法概述葉柵流動也是勢流，且呈現周期性。z平面上一葉柵，參數為b、t、δ，柵前、后速度及與柵軸夾角為、和δ1、δ2。在處作平行于Ox軸的兩條直線MN與M’N’，則直線間的流動在葉柵中重復。葉柵流動保角變換MN，M’N’

內的流動可由解析的變換函數變換為圖示的τ全平面，再由ζ=f(τ)變換為ζ平面的繞圓流動。ζ平面的復勢為并且二、直列平板葉柵流動的解法（一）平板葉柵流動平面的變換及其無環(huán)量平行繞流圖示平板葉柵，柵距t、弦長b、安放角π/2-β，來流平行于平板，且w1=1。平板葉柵無環(huán)量平行繞流將其周期性一條流動區(qū)域變成ζ平面上繞一單位圓流動，且平板葉柵無環(huán)量平行繞流z

平面復勢表示速度為1的均勻流復勢。變換為ζ平面為ζ=±R處相應放置點源、點匯和點渦的繞圓流動，其復勢為代入q1和Γ1的表達式，得到因為得到變換函數此變換函數中待定實數R應由平面葉柵的幾何參數來確定。（二）平板葉柵無環(huán)量垂直繞流如圖，來流垂直于平板，且w1=1。此時環(huán)量仍為零。平板葉柵無環(huán)量垂直繞流流動變換仍然為ζ平面上繞單位圓的流動。區(qū)別僅在于柵前、后的流動奇點強度不同，即平板葉柵無環(huán)量垂直繞流繞流復勢為與前面平行繞流一致。代入強度公式，有（三）平板葉柵純環(huán)量繞流圖示，柵前、后的速度w只有列線方向的分量，且w1y=-w2y，稱為純環(huán)量繞流。平板葉柵純環(huán)量繞流設且有可見，z

平面上前、后無窮遠處有一等強度且同方向的點渦，其強度為因w1x=w2x=0，故在柵前、后無窮遠處無點源和點匯。代入得到（四）平板葉柵的一般繞流其復勢可以用前述三種葉柵流動相加得到：式中，為葉柵無窮遠平均速度。（五）平板葉柵一般流動中環(huán)量的確定環(huán)量的確定依據是弧立翼型繞流中的庫塔-恰布雷金假設。葉柵中翼型尾緣點B必然是后駐點。經換算得可見，平板的環(huán)量Γc取決于平均來流速度wm、柵距t、攻角δ、弦長b及平板的安放角β。經計算得到環(huán)量比L的表達式為平板葉柵環(huán)量修正曲線設圖示環(huán)列葉柵由n個翼型組成，流動自中心向外?？梢?，只要確定一個扇形區(qū)域內的流動即可。a)b)平面環(huán)列葉柵流動的保角變換三、平面環(huán)列葉柵流動的解法將z1平面上中心角為2π/n的扇形區(qū)域的流動變換成τ平面上的全平面流動再將τ平面上的流動變換成z平面上的一直列葉柵流動。平面z

和z1

之間有換算關系第八節(jié)

平面直列葉柵繞流的奇點分布解法

奇點法在水輪機、水泵產品設計中均有所應用。這一節(jié)將介紹由無限薄翼型組成的葉柵繞流正、反問題解法，以此說明奇點分布法的解題路線及其特點。把葉柵從流場里抽去，而用連續(xù)分布于柵中葉型上的奇點—點渦—代替葉柵。代替后的奇點誘導流場與無窮遠來流合成的流場應與原真實流場全同。根據原流場葉柵中翼型應為一條流線的條件，則可作出以奇點分布規(guī)律為核的積分方程式來。在解正問題時，根據邊界條件來解積分方程。求出奇點分布規(guī)律，從而獲得繞流流場的解。反問題則是根據對葉柵的要求和經驗統(tǒng)計資料，預先給定奇點分布規(guī)律，運用逐次逼近法以求符合要求繞流條件的葉柵。解正、反問題均以奇點誘導流場的計算為基礎。一、奇點所誘導出的流場渦層分布圖平面直列葉柵中無限薄翼型均可以按某一定規(guī)律γ(s)沿葉型弧長s連續(xù)分布的旋渦層來代替。翼型以…-1，-2和1，2……予以標示。1.誘導流場的復勢在標號為0的翼型上取一點S0，它的復坐標為ω0，包含S0的微弧段ds0，其旋渦密度為γ(s)，微弧段ds0在復平面上點ω產生的復勢為其他翼型上與ω0相應的點為

這些微弧旋渦形成一個平行于u軸的無窮渦列，在點ω形成的復勢為：積分得到沿翼型所有渦在點ω的復勢：上式中積分沿基本翼型0進行，S0為葉型0上動點，γ(S0)為S0處的旋渦密度，ω0為點S0的復坐標。把W(ω)實部與虛部分開可得勢函數與流函數。令（接上）因此勢函數：流函數：2.誘導速度單一渦列的誘導速度為：沿翼型分布的渦層所形成的全部渦列的誘導速度為：二、薄翼型葉柵繞流的奇點分布解法前蘇聯學者沃茲涅辛斯基根據繞流無限薄翼型葉柵時，流函數所應滿足的繞流條件，建立了包含旋渦分布規(guī)律為核的積分方程式。由此關系式出發(fā)可解繞流正問題。該方法的發(fā)展演變情況：培根通過解上方程，找到繞流由圓弧翼型組成葉柵的正問題的解。并在解正問題的基礎上，還建立了設計圓弧葉柵的方法（沃茲涅辛斯基-培根法)。列索興發(fā)展了沃茲涅辛斯基的思想，他導出了速度所滿足的邊界條件，建立了與上述類似的積分方程式。西蒙諾夫用此關系式求出無窮薄、小曲率翼型葉柵繞流正問題的解。西蒙諾夫用逐次逼近的方法，給出了設計薄葉型柵的方法(列索興一西蒙諾夫法)。（一）

解反問題的列索興-西蒙諾夫法該方法分四步進行，下面依次講解。第一步：選定旋渦分布規(guī)律γ(s)。第一項代表繞平板的有攻角流動，第二項則代表繞弧線翼型的無攻角流動。只要適當取系數A0、A1的值，則既可保證翼型的一定環(huán)量，也可留下為得到性能良好翼型。在保持Γ一定的前提下，相對地取大A0則得沖角大、彎度小的曲線柵型繞流；反之取小A0則可得沖角小而彎度大的曲線柵型繞流。第二步：確定葉型安放角βsβsβ∞α安放角與來流方向的關系單個平板在沖角為α的環(huán)量為：在板柵中，同一沖角之下的環(huán)量就應該是：式中，稱為L（l/t,βs）史列罕什修正系數。在板柵中，環(huán)量還可以表示為：由此導出算式須采用逐次逼近法求取βs：通常作為第一次近似取βs（1）=β∞,查取L代入上式求βs（2）。再由βs（2）查L，代入上式求βs（3）……依此類推。第三步：計算誘導速度若令待求速度點座標為(u0,z0)，則誘導速度計算公式：注意：現在S0為不動點，S為動點。為消除積分項中出現0/0,把誘導速度分成兩項來算：一為基本翼型上分布的渦對其上的點S0的誘導速度(v1u,v1z)；一項是除基本翼型以外的其它翼型上的分布渦對基本翼型上點S0的誘導速度(v2u,v2z)。水力機械所用的彎度都很小，近似將曲線翼型看作直線翼型，有v1u、v1z的計算v2u、v2z的計算令（接上）需將s0做無量綱處理，即由于被積函數的復雜性，難以用解析方法求積。令對其施用數值積分法，求取近似值。將翼型骨線分成六等分，對各等分點進行計算積分得：