小學(xué)數(shù)學(xué)——最短路線在學(xué)習(xí)幾何知識時，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過如下兩個結(jié)論：（1）連結(jié)兩點的所有線中，直線段是最短的；（2）直線外的一個定點與直線上的各點的連線以垂線為最短．利用這兩個結(jié)論可以解決許多實際生活中求最短路線的問題．例1

甲、乙兩村之間隔一條河，如圖13—1．現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處？分析：設(shè)甲、乙兩村分別用點A、B表示．要在河上架橋，關(guān)鍵是要選取一個最佳建橋的位置，使得從甲村出發(fā)經(jīng)過橋到乙村的路程最短．即從甲村到甲村河邊的橋頭的距離加上橋長（相當(dāng)于河的寬度），再加上乙村到乙村河邊的橋頭的距離盡可能短，這是一個求最短折線的問題．直接找出這條折線很困難，能否可以把它轉(zhuǎn)化為直線問題呢？由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經(jīng)之路，且橋長相當(dāng)于河寬，是一個定值，所以可以預(yù)先把這段距離扣除，只要使兩鎮(zhèn)到河邊橋頭的距離最短就可以了．所謂預(yù)先將橋長扣除，就是假設(shè)先走完橋長，即先把橋平移到甲村，先過了橋，到C點，如圖13—2，找出C到B的最短路線，實際上求最短折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題．解：如圖13—2．過A點作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長等于河寬．連BC交與乙村的河岸于F點，作EF垂直于河的另一岸于E點，則EF為架橋的位置，也就是AE+EF+FB是兩村的最短路線．例2

如圖13—3，A、B兩個學(xué)校都在公路的同側(cè)．想在這兩校的附近的公路上建一個汽車站，要求車站到兩個學(xué)校的距離之和最小，應(yīng)該把車站建在哪里？分析：車站建在哪里，使得A到車站與B到車站的距離之和最小，仍然是求最短折線問題，同例1一樣關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成直線問題就好辦了．采用軸對稱（直線對稱）作法．解：作點B關(guān)于公路（將公路看作是一條直線）的對稱點B′，如圖13—4，即過B點作公路（直線）的垂線交直線于O，并延長BO到B′，使BO=OB′．連結(jié)AB′交直線于點E，連BE，則車站應(yīng)建在E處，并且折線AEB為最短．為什么這條折線是最短的呢？分兩步說明：（1）因為B與B′關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱點的性質(zhì)知，對稱軸上的點到兩個對稱點的距離相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）設(shè)E′是直線上不同于E的任意一點，如圖13—5，連結(jié)AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（兩點之間線段最短）上式說明，如果在E點以外的任意一點建車站，所行的路程都大于折線AEB．所以折線AEB最短．例3

如圖13—6，河流EF與公路FD所夾的角是一個銳角，某公司A在銳角EFD內(nèi)．現(xiàn)在要在河邊建一個碼頭，在公路邊修建一個倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉(zhuǎn)運到公路邊的倉庫里去，然后返回到A處，問倉庫、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短．分析：工人們從A出發(fā)先到河邊碼頭，再到公路的倉庫，然后回到A處，恰好走一個三角形，現(xiàn)在要求三角形的另外兩個頂點分別建在河岸與公路的什么位置能使這個三角形的三邊之和為最小，利用軸對稱原理作圖．解：過A分別作河岸、公路的對稱點A′、A″，如圖13—7，連結(jié)A′A″，交河岸于M，交公路于N，則三角形AMN各邊之和等于直線A′A″的長度，所以倉庫建在N處，碼頭建在M處，使工人們所行的路程最短．例4

如圖13—8是一個長、寬、高分別為4分米、2分米、1分米的長方體紙盒．一只螞蟻要從A點出發(fā)在紙盒表面上爬到B點運送食物，求螞蟻行走的最短路程．分析：因為是在長方體的表面爬行，求的是立體圖形上的最短路線問題，往往可以轉(zhuǎn)化為平面上的最短路線問題．將螞蟻爬行經(jīng)過的兩個面展開在同一平面上，如圖13—9，在展開圖中，AB間的最短路線是連結(jié)這兩點的直線段，但要注意，螞蟻可沿幾條路線到達(dá)B點，需對它們進(jìn)行比較．解：螞蟻從A點出發(fā)，到B點，有三條路線可以選擇：（1）從A點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點，

將這兩個平面展開在同一平面上，這時A、B間的最短路線就是連線AB，如圖13—9（1），AB是直角三角形ABC的斜邊，根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）從A點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點，將這兩個面展開在同一平面上，如圖13—9（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）從A點出發(fā)，經(jīng)過上底面，然后進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點，將這兩個面展開在同一平面上，如圖13—9（3），得AB2=（2+4）2+12=37比較這三條路線，25最小，所以螞蟻按圖13—9（1）爬行的路線最短，最短路程為5分米．例5

如圖13—10，在圓柱形的木桶外，有一個小甲蟲要從桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點．已知A點到桶口C點的距離為14厘米，B點到桶口D點的距離是10厘米，而C、D兩點之間的弧長是7厘米．如果小甲蟲爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走？路程是多少？分析：先設(shè)想將木桶的圓柱展開成矩形平面，如圖13—11，由于B點在桶內(nèi)，不便于作圖，利用軸對稱原理，作點B關(guān)于直線CD的對稱點B′，這就可以用B′代替B，從而找出最短路線．解：如圖13—11，將圓柱體側(cè)面展成平面圖形．作點B關(guān)于直線CD的對稱點B′，連結(jié)AB′，AB′是A、B′兩點間的最短距離，與桶口邊交于O點，則OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之間的最短距離就是AO+OB，所以小甲蟲在桶外爬到O點后，再向桶內(nèi)的B點爬去，這就是小甲蟲爬行的最短路線．延長AC到E，使CE＝B′D，因為△AEB′是直角三角形，AB′是斜邊，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根據(jù)勾股定理：AB′2=AE2+EB′2=242+72=625所以AB′=25（厘米）即小甲蟲爬行的最短路程是25厘米．?在我們現(xiàn)實生活中人人都會經(jīng)常遇到這樣的問題：在去某地時應(yīng)該選擇一條什么樣的路線使得行程最短，這個問題仍是數(shù)學(xué)中的最短路線問題．例1

一個郵遞員投送信件的街道如圖141，圖上數(shù)字表示各段街道的千米數(shù)．他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局．問走什么樣的路線最合理，全程要走多少千米？分析：最合理的路線就是選擇最短路線．圖中有很多路線，到底走哪一條路線最短呢？自然是能不重復(fù)走遍所有街道，最后回到郵局．因此這個問題就變成能否一筆畫出這個圖形，最后回到起點的“一筆畫”問題．所謂一筆畫，就是從圖形上的某點出發(fā)，筆不離開紙，而且每條線都只畫一次不準(zhǔn)重復(fù)．我們把一個圖形中與偶數(shù)條線相連接的點叫做偶點，把與奇數(shù)條線相連接的點叫做奇點．圖141中A、B、G、I都是偶點，其余的點均為奇點．早在公元1736年，著名的大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了一筆畫的原理：（1）能一筆畫出的圖形必須是連通的（圖形的各部分之間是連成一體的）；（2）凡是全由偶點組成的連通圖形，一定可以一筆畫出，畫時可以以任何一點為起點，最后仍回到這點；（3）凡是只有兩個奇點的連通圖形一定可以一筆畫出，畫時必須以其中的一個奇點為起點，以另一個奇點為終點；（4）奇點個數(shù)超過兩個的圖形不能一筆畫出．根據(jù)一筆畫原理，可以判斷出圖141不是一筆畫圖形，因為這個圖形奇點的個數(shù)超過兩個．顯然這個圖形不能一筆畫出，但我們可以將這個圖形轉(zhuǎn)化成一筆畫圖形．此題要求郵遞員從郵局出發(fā)，最后回到郵局．按一筆畫的原理，只有圖形中的點全部是偶點時，才能從起點出發(fā)，最后又回到起點．圖141中共有10個奇點，顯然郵遞員要不重復(fù)走遍所有的街道是不可能的．為使郵遞員從郵局出發(fā)，最后仍回到郵局，必須使10個奇點都變?yōu)榕键c，這就需要在每兩個奇點之間添加一條線，使全部的奇點變?yōu)榕键c．在實際問題中，就是郵遞員在哪些街道上要重復(fù)走，由于各段街道的路程不同，究竟郵遞員在哪些街道重復(fù)走，能使投郵路線最合理．當(dāng)然必是重復(fù)走的路程最短，總路程才能最短．要達(dá)到這一點，連線時必須做到以下兩點：（1）連線不能出現(xiàn)重迭；（2）在每一個首尾相接的封閉圖上，連線的長度總和不能超過總封閉圖的長的一半．按照上面兩點，這個題最佳連線如圖142所示虛線．解：根據(jù)圖142，將10個奇點全變?yōu)榕键c，且相應(yīng)的投遞路線為：B（郵局）→N→A→I→H→J→F→G→H→J→K→E→F→E→D→L→K→L→M→N→M→C→D→C→B．這條路線最合理（走法不唯一），全程長為：（1+0.5+2+1+0.5）×4+2×6+1×2=34（千米）例2

圖143是一個城市道路圖，數(shù)字表示各段路的路程（單位：千米），求出圖中從A到F的最短路程．分析：從圖中可以看出，從A到F有許多條路，要確定一條最短的路線，可以采用排除的方法，逐步去掉比較長的道路，最后確定一條由A到F的最短路線．根據(jù)圖中給出的路程的長度，有些明顯較長的路可以不去考慮．從A出發(fā)到F，有三條路線相對較短，沿AIHGF路線走，它的長度是：7+1+5+4=17；沿AJKGF路線走，它的長度是：4+3+5+4=16；沿ABEF路線走，它的長度是：5+7+6=18；比較結(jié)果得出最短路線．解：由A到F的最短路線為：A→J→K→G→F，路線的長為：4+3+5+4=16（千米）例3

某鄉(xiāng)有八個行政村，如圖144，點表示村的位置，線表示村與村之間的道路，路的長度由線旁的數(shù)字表示．現(xiàn)在要在這個鄉(xiāng)建立通訊網(wǎng)，沿道路架設(shè)電線，問沿怎樣的路線架設(shè)電線最省（單位：千米）？分析：要在八個村架設(shè)電線形成通訊網(wǎng)，這個線路必須是連通的，這樣才能形成網(wǎng)絡(luò)．由于題目要求確定的路線最省，當(dāng)然應(yīng)該是電線的總長度盡可能短．如果采用圈形網(wǎng)絡(luò)會出現(xiàn)若干個閉路，造成電線的浪費，所以采用樹形網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到節(jié)省電線的目的．圖144是鄉(xiāng)村分布圖，它是一個圈形網(wǎng)絡(luò)，可以將它轉(zhuǎn)化成樹形網(wǎng)絡(luò)．為了使所得到的樹形網(wǎng)絡(luò)中的曲線（架線時所用電線）盡可能短，可以將圈形網(wǎng)絡(luò)中較長的線剪掉，這種方法叫剪圈法．在AGEFA這個封閉圈中，AF最長，把它剪掉．在ABHGA這個封閉圈中，AG最長，把它剪掉．在GHEG這個封閉圈中，GE最長，把它剪掉．在EHDE這個封閉圈中，HD最長，把它剪掉．在HDCH這個封閉圈中，DC最長，把它剪掉．在HBCH這個封閉圈中，BC最長，把它剪掉．這樣把原題圈形網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化成了樹形網(wǎng)絡(luò)圖，且這個網(wǎng)絡(luò)圖的總長度最短．解：根據(jù)剪圈法將圈形網(wǎng)絡(luò)圖144轉(zhuǎn)化成了樹形網(wǎng)絡(luò)圖145，此網(wǎng)絡(luò)的總長度為：13+12+4+6+16+8=69（千米）由于通訊線路是雙線，所以電線的總長度為69×2=138（千米）．例4

仍取圖144中八個行政村的位置和線路圖，鄉(xiāng)政府要在全鄉(xiāng)沿村與村之間的道路挖渠修道，建立排灌系統(tǒng)．全鄉(xiāng)的地勢是西高東低，即A村最高，依次為B、F、G、H、E、C、D，水源在A村，問沿什么路線修道最合理？分析：由題意，要確定一條合理的挖渠路線，而且要省工省料，并符合“水往低處流”的客觀規(guī)律．由于所修水渠是連通的，渠道可以看作是網(wǎng)絡(luò)，而且也是樹形網(wǎng)絡(luò)．只是在本題中增加了“地勢不同”這一條件，所以，力求樹形網(wǎng)絡(luò)總長盡可能短的情況下，所求的樹形網(wǎng)絡(luò)的方向應(yīng)該是由西向東，以A為起點，以距離A最遠(yuǎn)的D為終點．采取“取短法”，所謂取短法就是剪去長線，留取短線．并根據(jù)方向的限制，從地勢最低點開始考慮（也可從其它點入手考慮）．D的臨近點有E、H、C，它們都比D地勢高，所以，這三點處的水都可以流入D，則只需取一條最短的即可，ED=16最短，留ED，將HD、CD去掉．再看C點，有兩條通道HC、BC（這里所說的通道是指地勢高的點通向地勢低的點的道路），HC比BC短，去掉BC，保留HC．E點有三條通道FE、GE、HE，其中HE最短，保留HE，去掉FE、GE．H點有兩條通道BH、GH，其中GH最短，保留GH，去掉BH，最后剩下地勢較高的三點B、F、G，它們與A都各有一條通道，不存在取舍問題，這樣得到，

挖渠的最佳方案．解：利用取短法并根據(jù)方向的限制，得到圖146所示的挖渠的最佳方案．最佳方案的挖渠總長為：17+15+13+4+7+6+16=78（千米）例5

有八棟居民樓A1、A2、…、A8分布在公路的兩側(cè)，如圖147，由一些小路與公路相連，要在公路上設(shè)一個汽車站，使汽車站到各居民樓的