廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)縣周田中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）1．王老師給全班同學(xué)留了一個(gè)特色寒假作業(yè)，畫(huà)一張有關(guān)兔子的圖畫(huà)，以下四個(gè)圖形是開(kāi)學(xué)后收上來(lái)的圖畫(huà)中的一部分，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．2．拒絕“餐桌浪費(fèi)”，刻不容緩，節(jié)約一粒米的帳：一個(gè)人一日三餐少浪費(fèi)一粒米，全國(guó)一年就可以節(jié)省3240萬(wàn)斤，這些糧食可供9萬(wàn)人吃一年，“3240萬(wàn)”這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.324×108 B．32.4×106 C．3．一輛汽車(chē)第一小時(shí)行了52.1千米，第二小時(shí)行了60千米，第三小時(shí)行了62.5千米，請(qǐng)你估一估：這輛車(chē)平均每小時(shí)行了多少千米？該結(jié)果正確的取值范圍應(yīng)（）A．在50~52.1之間B．在60~62.5之間4．如圖，一把直角三角板的頂點(diǎn)A，B在⊙O上，邊BC，AC與⊙O交于點(diǎn)D，E，連結(jié)DE，已知∠B=60°，則∠AED的度數(shù)為（）A．120° B．110° C．100° D．90°5．關(guān)于x的分式方程3x+mx?1A．m>?5B．m<?5C．m>?5且m≠?3D．m≠?36．如圖是成都市某周內(nèi)日最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)于這7天的日最高氣溫的說(shuō)法正確的是（）A．極差是8℃B．眾數(shù)是28℃C．中位數(shù)是24℃D．平均數(shù)是26℃7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于12①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．48．如圖是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形，如圖①中的正方形面積與圖②中的正方形面積之比為（）A．1:1 B．3:4 C．6:5 D．9:89．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)（AC>BC），分別以AC，BC為直角邊在AB同側(cè)作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，連結(jié)AE，BD．記S△ACD=S1，S△BCEA．10 B．15 C．20 D．4010．如圖，正比例函數(shù)y＝ax（a為常數(shù)，且a≠0）和反比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象相交于A(﹣2，m)和B兩點(diǎn)，則不等式ax＞kA．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2二、填空題（共5小題，滿(mǎn)分15分，每小題3分）11．已知：(x?5)x12．如圖，已知圓錐底面圓的半徑為2cm，母線長(zhǎng)為6cm，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置A）所爬行的最短路徑為cm．13．學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，共20道題，記分規(guī)則為：若答對(duì)，每題得5分；若答錯(cuò)或不答，每題倒扣3分．家同學(xué)的參賽目標(biāo)是超過(guò)83分，則她至少要答對(duì)道題．14．若“?”是一種新的運(yùn)算符號(hào)，并且規(guī)定a?b=a×b?a÷b，則?4?2=15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，線段CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且CE=6，連接BE，以BE為邊作正方形BEFG，M為AB邊上的點(diǎn)，且BM=13AM，當(dāng)線段FM的長(zhǎng)最小時(shí)，三、解答題（共8小題，滿(mǎn)分75分）16．計(jì)算：π?2024017．如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠BAC交AC于點(diǎn)D，且∠DBC=∠A．（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）求∠A的度數(shù)．18．某中學(xué)為了解初三同學(xué)的體育中考準(zhǔn)備情況，隨機(jī)抽取該年級(jí)某班學(xué)生進(jìn)行體育模擬測(cè)試（滿(mǎn)分30分），根據(jù)測(cè)試成績(jī)（單位：分）繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖1和圖2），已知圖2中得28分的人數(shù)所對(duì)圓心角為90°，回答下列問(wèn)題：（1）條形統(tǒng)計(jì)圖有一部分污損了，求得分27分的人數(shù)；直接寫(xiě)出所調(diào)查學(xué)生測(cè)試成績(jī)中位數(shù)和眾數(shù)；（2）一同學(xué)因病錯(cuò)過(guò)考試，補(bǔ)測(cè)后與之前成績(jī)匯總，發(fā)現(xiàn)中位數(shù)變大了，求該名同學(xué)的補(bǔ)測(cè)成績(jī)．（3）已知體育測(cè)試的選考項(xiàng)目有：①足球運(yùn)球繞桿；②籃球運(yùn)球繞桿；③排球正面雙手墊球，求小明和小亮選擇同一項(xiàng)目的概率．19．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于點(diǎn)D，交BC于F，與過(guò)點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)E，且BE=EF．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為10，OD=6，求BE的長(zhǎng)．20．2024年南國(guó)書(shū)香節(jié)已在廣州琶洲順利舉行．某學(xué)校在活動(dòng)期間購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種圖書(shū)．已知乙圖書(shū)比甲圖書(shū)每本價(jià)格多10元，用5000元購(gòu)買(mǎi)的甲圖書(shū)和用6000元購(gòu)買(mǎi)的乙圖書(shū)數(shù)量相同．（1）求出甲、乙兩種圖書(shū)每本的價(jià)格分別是多少；（2）若計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種圖書(shū)共50本，購(gòu)書(shū)總費(fèi)用不超過(guò)2860元，則最少購(gòu)進(jìn)甲圖書(shū)多少本？21．我國(guó)無(wú)人機(jī)已廣泛的應(yīng)用在人們的生產(chǎn)和生活中．如圖所示，某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量沅江某一段江面的寬度，先在沅江兩岸邊上各選定一點(diǎn)A、B，且AB所在直線與江岸所在直線垂直，再在A點(diǎn)放飛無(wú)人機(jī)到一定高度后，然后在AB上方從A向B以30m/s的速度水平飛行．在M點(diǎn)處測(cè)得A點(diǎn)的俯角為72°，B點(diǎn)的俯角為30°，20s后在N點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的俯角為60°，求此段沅江江面的寬度（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.3122．綜合應(yīng)用（1）【問(wèn)題感知】如圖①，在等邊△ABC中，AB=4，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，若N是BC中點(diǎn)，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為．（2）【問(wèn)題呈現(xiàn)】若圖①中“N是BC中點(diǎn)”改為“AM=CN”，再求線段MN長(zhǎng)度的最小值．【問(wèn)題解決】如圖②，若把等邊△ABC中“N是BC中點(diǎn)”改為“AM=CN”，如何求線段MN的最小值．解決方法：小明將通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點(diǎn)P，作射線AP．則∠CAP為度，線段MN長(zhǎng)度的最小值為．（3）【應(yīng)用遷移】如圖③．某房屋在維修時(shí)需使用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，小明根據(jù)問(wèn)題畫(huà)出了示意圖④，MN是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩．四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°，若點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上，AM=DN．求鋼絲繩MN的最小值．23．在菱形ABCD中，點(diǎn)E為射線BC（不與B點(diǎn)重合）上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，連接BF，將△ABF沿BF翻折得到△GBF，連接GE．（1）如圖1，連接AG,GE與AG的位置關(guān)系是；GE與BF的位置關(guān)系是；（2）如圖2，若∠D=60°，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，求EGBF（3）已知AB=6,∠D=60°，若∠AEG=60°，則CE的長(zhǎng)為．

答案解析部分1．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)圖形【解析】【解答】解：A、圖案不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴此選項(xiàng)不符合題意；

B、圖案不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴此選項(xiàng)不符合題意；

C、圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴此選項(xiàng)符合題意；

D、圖案不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴此選項(xiàng)不符合題意.故答案為：C．

【分析】在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；根據(jù)定義并結(jié)合圖形即可判斷求解.2．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)【解析】【解答】解：3240萬(wàn)=3.24×故選：D．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式a×10n，其中1≤|a|<10，3．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算【解析】【解答】解：∵一輛汽車(chē)第一小時(shí)行了52.1千米，第二小時(shí)行了60千米，第三小時(shí)行了62.5千米，

∴這輛車(chē)平均每小時(shí)大約行駛的路程為：

52.1+60+62.53=58.2（千米），

故答案為：C.【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式x?4．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【解析】【解答】解：由題意可知，A,B,D,E在⊙O上，∠B=60°，

∴∠AED+∠B=180°，

∴∠AED=120°.故答案為：A.

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求解.5．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次不等式；已知分式方程的解求參數(shù)【解析】【解答】解：將分式方程3x+mx?1=5，去分母得：整理得2x?5?m=0，解得x=5+m∵分式方程3x+mx?1∴5+m∴m>?5；又∵x?1≠0，∴5+m∴m≠?3，∴m的取值范圍是m>?5且m≠?3，故選C．

【分析】將分式方程同時(shí)乘以(x-1)化為整式方程，求出x的值，再根據(jù)解是正數(shù)且分母不為零列不等式解答即可．6．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】折線統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù)；眾數(shù)；極差【解析】【解答】解：由圖可得，極差是：30-20=10℃，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，眾數(shù)是28℃，故選項(xiàng)B正確，這組數(shù)按照從小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位數(shù)是26℃，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，平均數(shù)是：20+22+24+26+28+28+307故選B．【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，然后逐項(xiàng)判斷解答即可．7．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；角平分線的概念；尺規(guī)作圖-作角的平分線【解析】【解答】①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的平分線．故①正確．②如圖，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正確．③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD．∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．故③正確．④∵如圖，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=12∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD，S△DAC=12∴S△ABC=12AC?BC=12AC?A32∴S△DAC：S△ABC=14AC?AD綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個(gè)．故選D．

【分析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可以推知.∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù)；③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；8．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比的應(yīng)用【解析】【解答】解：利用分割法，A占整個(gè)圖形的24=4所以A:B=4故選：D．

【分析】根據(jù)分割法得出兩個(gè)正方形與等腰直角三角形的面積比解答即可．9．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；因式分解的應(yīng)用；等腰三角形的概念【解析】【解答】設(shè)等腰Rt△ACD的直角邊長(zhǎng)為a，等腰Rt△BCE的直角邊長(zhǎng)為b，則S1∴S1∵S1∴S3故選C．【分析】本題考查了三角形的面積，設(shè)等腰Rt△ACD的直角邊長(zhǎng)為a，等腰Rt△BCE的直角邊長(zhǎng)為b，則S1、S2、10．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【解析】【解答】解：∵正比例函數(shù)y=ax（a為常數(shù)，且a≠0）和反比例函數(shù)y=kx∴B（2，?m），∴不等式ax＞kx的解集為x＜?故選：D．【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得B點(diǎn)坐標(biāo)，借助圖象得到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的取值范圍解答即可．11．【答案】0或4或6【知識(shí)點(diǎn)】零指數(shù)冪；有理數(shù)的乘方法則；分類(lèi)討論【解析】【解答】若(x-5)x=1，則有三種可能：（1）指數(shù)x=0，則(0-5)0=1；（2）底數(shù)x-5=1，則x=6，此時(shí)(x-5)x=(6-5)6=1；（3）底數(shù)x-5=-1，即x=4，此時(shí)(x-5)x=(4-5)4=(-1)4=1.綜上所述，x的取值可能為0或4或6.故答案為：0或4或6.

【分析】由題意可分泌三種情況：①非零數(shù)的零次冪等于1，即x0=1（x≠0）；②1的任何次冪都等于1；③-1的偶次冪等于1，即可求解.12．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算；圓錐的計(jì)算【解析】【解答】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)如圖，過(guò)點(diǎn)S作SC⊥AB，∴SA=SB=6cm，設(shè)∠ASB=n°，即：2π×2=nπ×6得：n=120，∵AS=BS，SC⊥AB，∴∠SAB=∠SBA=30°，AC=BC∴SC=∴AC=A∴AB=2AC=63故答案為：63．

【分析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)如圖，過(guò)點(diǎn)S作SC⊥AB13．【答案】18【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)他要答對(duì)x道題，則答錯(cuò)或不答20?x道題，依題意得：5x?320?x解得：x>177又∵x為整數(shù)，∴x可取的最小值為18．故答案為：18．【分析】設(shè)他要答對(duì)x道題，根據(jù)得分=5×答對(duì)題目數(shù)?3×答錯(cuò)或不答題目數(shù)列關(guān)于x的一元一次不等式，求出x的最小整數(shù)值解答即可．14．【答案】?6【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算的法則【解析】【解答】解：依題意得：

?4?2=?4×2?故答案為：?6．

【分析】根據(jù)新定義列算式并結(jié)合有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．15．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；圓的相關(guān)概念；瓜豆原理模型-點(diǎn)在圓上；求正切值；相似三角形的判定-AA【解析】【解答】解：連接BD，BF，DF，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，正方形BEFG，∴BD=2BC=162，BD∴BEBC=∴△BDF∽△BCE，∴DFCE=∴DF∴DF=62∴點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心，以DF=62∴當(dāng)點(diǎn)M、F、D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M的長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD，∵BM=13AM，正方形ABCD∴BM=4，MN=2∴DN=BD?BN=142∴tan故答案為：17．

【分析】連接BD,BF,DF，得到△BDF∽△BCE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得到DFCE=BDBC，求出DF=62，即可得到點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心，以DF=62為半徑的圓上，即點(diǎn)M、F、D三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)M16．【答案】解：原式=1+2?4+2×=3?4+1=0．【知識(shí)點(diǎn)】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；求特殊角的三角函數(shù)值；有理數(shù)的加、減混合運(yùn)算；求算術(shù)平方根【解析】【分析】先計(jì)算零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減．17．【答案】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，如圖：（2）解：∵AB=AC，

∴設(shè)∠ABC=∠ACB=2x°，

∵BD平分∠BAC交AC于點(diǎn)D，

∴∠DBC=12∠ABC=x°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠A=x°，

則在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=5x°=180°，

∴x°=36°，

∴∠A【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-垂直平分線【解析】【分析】（1）以C為圓心，BC為半徑畫(huà)弧交于AB于一點(diǎn)W，再以點(diǎn)W和B為圓心，以大于12WB長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交于一點(diǎn)M，連接MC，交（2）由等邊對(duì)等角可設(shè)∠ABC=∠ACB=2x°，根據(jù)角平分線的定義可得∠DBC=1（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，如圖：（2）解：∵AB=AC，∴設(shè)∠ABC=∠ACB=2x°，∵BD平分∠BAC交AC于點(diǎn)D，∴∠DBC=1∵∠DBC=∠A，∴∠A=x°，則在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=5x°=180°，∴x°=36°，∴∠A的度數(shù)為36°．18．【答案】（1）解：由題意知，調(diào)查總?cè)藬?shù)為10÷90°360°=40（人），∴得分27分的人數(shù)為40?2?10?12?8=8（人），

∵2+8+10=20，2+8+10+12=32，

∴中位數(shù)為第20，21位數(shù)的平均數(shù)，即28+292=28.5（分），

眾數(shù)為29分；

∴（2）解：∵中位數(shù)變大了，

∴該名同學(xué)的補(bǔ)測(cè)成績(jī)?yōu)?9分或30分；（3）解：由題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下；

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮選擇同一項(xiàng)目共有3種等可能的結(jié)果，

∵39=13，

∴【知識(shí)點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；用列表法或樹(shù)狀圖法求概率；中位數(shù)；眾數(shù)【解析】【分析】（1）根據(jù)28分的人數(shù)除以占比求出總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)減去其他分?jǐn)?shù)的人數(shù)得27分的人數(shù)，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的意義解答即可；（3）畫(huà)樹(shù)狀圖得到所有等可能結(jié)果數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算解題．19．【答案】（1）證明：∵BE=EF，

∴∠EFB=∠EBF，

∵∠CFD=∠EFB，

∴∠EBF=∠CFD，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC，

∵AE⊥OC，

∴∠OCB+∠CFD=90°，

∴∠OBC+∠EBF=90°，即∠EBA=90°，

∵AB是⊙O直徑，

∴BE是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O的半徑為10，

∴OA=10，AB=20，

∵AE⊥OC，OD=6，

∴AD=OA2?OD2=102?62=8，

∵∠ADO=∠EBA=90°，∠DAO=∠BAE，

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；切線的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊【解析】【分析】（1）由等邊對(duì)等角和對(duì)頂角相等可得∠OCB=∠OBC，∠CFD=∠EBF，然后根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠EBA=90°，再根據(jù)圓的切線的判定可求解；（2）由題意，用勾股定理求出AD的值，根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

可得△DAO∽△BAE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等可得比例式ADAB（1）證明：∵BE=EF，∴∠EFB=∠EBF，∵∠CFD=∠EFB，∴∠EBF=∠CFD，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵AE⊥OC，∴∠OCB+∠CFD=90°，∴∠OBC+∠EBF=90°，即∠EBA=90°，∵AB是⊙O直徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O的半徑為10，∴OA=10，AB=20，∵AE⊥OC，OD=6，∴AD=O∵∠ADO=∠EBA=90°，∠DAO=∠BAE，∴△DAO∽△BAE，∴ADAB=OD∴BE=15．20．【答案】（1）解：設(shè)甲圖書(shū)每本的價(jià)格為x元，則乙圖書(shū)每本的價(jià)格是(x+10)元，由題意得：5000x解得：x=50，經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是所列方程的解，且符合題意，∴x+10=50+10=60，答：甲圖書(shū)每本的價(jià)格為50元，乙圖書(shū)每本的價(jià)格為60元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲圖書(shū)m本，則購(gòu)買(mǎi)乙圖書(shū)(50?m)本，由題意得：50m+60(50?m)≤2860，解得：m≥14，答：最少購(gòu)進(jìn)甲圖書(shū)14本．【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；分式方程的實(shí)際應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題【解析】【分析】（1）設(shè)甲圖書(shū)每本的價(jià)格為x元，則乙圖書(shū)每本的價(jià)格是(x+10)元，根據(jù)題中的相等關(guān)系"用5000元購(gòu)買(mǎi)的甲圖書(shū)數(shù)量=用6000元購(gòu)買(mǎi)的乙圖書(shū)數(shù)量"列出關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗(yàn)即可求解；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲圖書(shū)m本，則購(gòu)買(mǎi)乙圖書(shū)(50?m)本，根據(jù)購(gòu)書(shū)總費(fèi)用不超過(guò)2860元可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可求解．（1）解：設(shè)甲圖書(shū)每本的價(jià)格為x元，則乙圖書(shū)每本的價(jià)格是(x+10)元，由題意得：5000x解得：x=50，經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是所列方程的解，且符合題意，∴x+10=50+10=60，答：甲圖書(shū)每本的價(jià)格為50元，乙圖書(shū)每本的價(jià)格為60元；（2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲圖書(shū)m本，則購(gòu)買(mǎi)乙圖書(shū)(50?m)本，由題意得：50m+60(50?m)≤2860，解得：m≥14，答：最少購(gòu)進(jìn)甲圖書(shū)14本．21．【答案】解：如圖所示，分別過(guò)A、B作直線MN的垂線，垂足分別為C、D兩點(diǎn)，則四邊形ABDC是矩形，∴AB=CD，AC=BD，

由題意得，MN=20×30=600(m)，

∵∠MBN=∠BND?∠BMD=30°，

∴∠BMN=∠MBN，

∴BN=MN=600m，

在Rt△BDN中，DN=BN?cos∠BND=300m，BD=BN?sin∠BND=3003m，

∴AC=BD=3003m，

在Rt△AMC中，CM=ACtan∠AMC=【解析】【分析】分別過(guò)A、B作直線MN的垂線，垂足分別為C、D兩點(diǎn)，即可得到ABDC是矩形，求出MN的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的外角得到∠BMN=∠MBN，進(jìn)而得到BN=MN=600m，在Rt△BDN和Rt△AMC中利用三角函數(shù)解答即可．22．【答案】（1）3（2）30，2（3）解：如圖，過(guò)M、D作ED、MN的平行線，

則四邊形MNDP是平行四邊形，

∴MN=DP，∠PMC=∠ACB=30°，

∴∠PAM=∠APM=15°，

當(dāng)DP⊥AP時(shí)，DP最小，MN最小，

∵∠ACD=120°，AC=CD，

∴∠CAD=12180°?∠ACD=30°，

∴∠PAD=∠CAD+∠PAM=45°，

在△ACD中，AD=2AC?cos30°=2×2×32=23（米），

【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短及其應(yīng)用；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形【解析】【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=4，∠C=60°，∵N是BC中點(diǎn)，∴CN=2，當(dāng)NM⊥AC時(shí)，線段MN的值最小，∴線段MN的最小值=CN?sin60°=2×3故答案為：3；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵CP∥MN，MP∥NC，∴四邊形CPMN是平行四邊形，∴MP=NC，又∵AM=CN，∴AM=MP．∴∠CAP=∠MPA，∵∠PMC=∠ACB=60°，∴∠CAP=∠MPA=30°；∵四邊形CPMN是平行四邊形，∴MN=PC，當(dāng)PC⊥AP最小時(shí)，CP取最小值，MN也有最小值，此時(shí)PC=1∴MN最小值是2．故答案為：30，2；【分析】（1）根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)NM⊥AC時(shí)，線段MN的值最小，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)sin∠C=MNCN（2）由題意，根據(jù)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形CPMN是平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)邊相等和已知條件可得AM=MP，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CAP=∠MPA，再根據(jù)∠PMC=∠ACB=60°可得∠CAP=∠MPA=30°；當(dāng)PC⊥AP最小時(shí)，CP取最小值，MN也有最小值，然后根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求解；（3）過(guò)M、D作ED、MN的平行線，易得四邊形MNDP是平行四邊形，由垂線段最短可知：當(dāng)DP⊥AP時(shí)，DP最小，MN最小，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)sin∠PAD=DPAD（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=4，∠C=60°，∵N是BC中點(diǎn)，∴CN=2，當(dāng)NM⊥AC時(shí)，線段MN的值最小，∴線段MN的最小值=CN?sin60°=2×3故答案為：3；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵CP∥MN，MP∥NC，∴四邊形CPMN是平行四邊形，∴MP=NC，又∵AM=CN，∴AM=MP．∴∠CAP=∠MPA，∵∠PMC=∠ACB=60°，∴∠CAP=∠MPA=30°；∵四邊形CPMN是平行四邊形，∴MN=PC，當(dāng)PC⊥AP最小時(shí)，CP取最小值，MN也有最小值，此時(shí)PC=1∴MN最小值是2．故答案為：30，2；（3）解：如圖，過(guò)M、D作ED、MN的平行線，則四邊形MNDP是平行四邊形，∴MN=DP，∠PMC=∠ACB=30°，∴∠PAM=∠APM=15°，當(dāng)DP⊥AP時(shí)，DP最小，MN最小，∵∠ACD=120°，AC=CD，∴∠CAD=1∴∠PAD=∠CAD+∠PAM=45°，在△ACD中，AD=2AC?cos∴DP=AD?sin故鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為6米．23．【答案】（1）GE⊥AG,GE∥BF（2）解：如圖，延長(zhǎng)BF交AG于K，

∵四邊形ABCD是菱形，且∠D=60°，

∴∠ABC=∠D=60°，AB=BC，

若連接對(duì)角線AC，則△ABC為等邊三角形，

∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，

設(shè)BE=a，則AB=2a，由勾股定理得，

∴AE=AB2?BE2=(2a)2?a2=3a，

∵F是AE中點(diǎn)，

∴AF=FE=32a，

∴BF=BE2+EF2=a2+34a2=72a，

由（1）可知，GE⊥AG，GE∥BF，

∴∠AKF=∠AEB=90°，

又∵∠AFK=∠BFE，

∴∠FAK=∠FBE，

∵tan∠FBE=EFBE=32a【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形；四邊形的綜合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)邊【解析】【解答】（1）解：如圖，連接AG，延長(zhǎng)BF交AG于K，由折疊的性質(zhì)可知BF垂直平分AG，∴K是AG中點(diǎn)，∵F是AE中點(diǎn)，∴FK是△AEG的中位線，∴FK∥GE，即GE∥BF，∵BF⊥AG，∴GE⊥AG，故答案為：GE⊥AG，GE∥BF；（3）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長(zhǎng)BF交AG于K，∵∠AGE=90°，∠AEG=60°，∴∠EAG=30°，在Rt△AEG中，設(shè)EG=2x，則AE=4x，∴EF=2x，AG=23x，∴AK=1∵BF∥EG，∴∠BFE=∠AEG=60°，∵∠D=60°，∴∠ABE=∠BFE=60°，∵∠BEF=∠AEB，∴△BFE∽△ABE，∴EFEB=∴EB=22x，在Rt△ABK中，BK∴(3整理得：2x解得x