7.1.1級數(shù)的概念教學目標： （1）學習無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和等概念；（2）掌握級數(shù)的基本性質(zhì)，熟記幾何級數(shù)的斂散性；（3）會用級數(shù)的概念及基本性質(zhì)判斷一些級數(shù)的斂散性；教學重點： （1）無窮級數(shù)的概念及基本性質(zhì)；（2）判斷一些級數(shù)的斂散性。教學難點： 無窮級數(shù)的概念及基本性質(zhì)的正確應用。授課時數(shù)：1課時教學過程過程備注引言介紹本章學習的主要內(nèi)容。教師講授3′知識回顧在等比數(shù)列中，當公比時，前n項和為.叫做一般項或通項.引導學生回答6′新知識無窮數(shù)列的各項和（即所有項的和），叫做無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)．記作.即． 其中第n項叫做級數(shù)的一般項或通項.例如，級數(shù),的一般項是.如果是常數(shù)，那么級數(shù)叫做常數(shù)項級數(shù)，如果是變量(或其他變量)的函數(shù)，那么級數(shù)叫做函數(shù)項級數(shù)．例如，級數(shù)，級數(shù)都是常數(shù)項級數(shù)；而級數(shù)，級數(shù)都是函數(shù)項級數(shù).首先研究常數(shù)項級數(shù)．級數(shù)的前項之和叫做級數(shù)的部分和．如果當時，有極限，即，那么，稱級數(shù)收斂，并把極限值叫做這個級數(shù)的和.即．如果當時，的極限不存在，那么稱這個級數(shù)發(fā)散.教師講授15′知識鞏固例1判別級數(shù)是否收斂．若收斂求其和.解這個級數(shù)是公比為的等比數(shù)列的各項和，叫做等比級數(shù)．其部分和為，所以.因此，級數(shù)收斂，其和為．說明：等比級數(shù)，當時，.故級數(shù)收斂，且其和為；當時，級數(shù)發(fā)散.例2判別級數(shù)的斂散性.解級數(shù)的部分和為，因為，所以級數(shù)發(fā)散.在教師引領下共同完成22′新知識利用極限的性質(zhì)可以得到級數(shù)下列面性質(zhì)(證明略).性質(zhì)1如果級數(shù)收斂，其和為S，那么級數(shù)也收斂，其和為（C為常數(shù)）.性質(zhì)2如果級數(shù)與級數(shù)都收斂，其和分別為和，那么級數(shù)也收斂，其和為.性質(zhì)3如果一個級數(shù)收斂，那么去掉、加上或改變有限項得到的級數(shù)仍然收斂．教師講授26′知識鞏固例3判別級數(shù)是否收斂，如果收斂，求出級數(shù)的和.解級數(shù)是等比級數(shù)，且公比，該級數(shù)收斂，其和為，級數(shù)是等比級數(shù)，且公比，該級數(shù)收斂，其和為，因此級數(shù)收斂，并且和為.在教師引領下共同完成30′鏈接軟件利用在Matlab軟件可以判斷級數(shù)是否收斂，如果收斂可以求出和，方法詳見實驗7.計算例3的操作為輸入：clearsymsnf=(2+（－1）^(n-1))/3^n;I=symsum(f,n,1,inf)顯示：.說明如果級數(shù)發(fā)散，則顯示結果為inf(即). 演示35′練習7.1.11.判別下列級數(shù)是否收斂，若收斂寫出級數(shù)的和．(1)；(2)；2.利用級數(shù)收斂的性質(zhì)，判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，則求其和.學生課上完成42′小結新知識：無窮級數(shù)的概念及基本性質(zhì)，判斷一些級數(shù)的斂散性。作業(yè)1.通過復習級數(shù)的概念，總結7.1.1學習的內(nèi)容；2.完成習題冊作業(yè)7.1.1。45′7.1.2冪級數(shù)教學目標：（1）記住冪級數(shù)的一般形式及相關概念；（2）學會求一些簡單的冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及在收斂區(qū)間上的和函數(shù)。教學重點： （1）冪級數(shù)的一般形式及相關概念； （2）一些簡單的冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間的求法。教學難點： 冪級數(shù)概念的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注探究下面研究函數(shù)項級數(shù)．觀察等比級數(shù).級數(shù)的部分和為，所以因此，級數(shù)當時，收斂且其和為；當時發(fā)散.提問5′新知識形如的函數(shù)項級數(shù)叫做的冪級數(shù)（其中，是常數(shù)）.當時，上述的冪級數(shù)成為． 可以看到，等比級數(shù)是冪級數(shù).使函數(shù)項級數(shù)收斂的點叫做級數(shù)的收斂點.使函數(shù)項級數(shù)發(fā)散的點叫做級數(shù)的發(fā)散點.所有收斂點的集合叫做級數(shù)的收斂域，所有發(fā)散點的集合叫做級數(shù)的發(fā)散域.例如冪級數(shù)的收斂域為.函數(shù)項級數(shù)對于收斂域內(nèi)的某一個點，都有一個確定的和數(shù)與之對應，這樣在收斂域內(nèi)，函數(shù)項級數(shù)的和是的函數(shù)，叫做函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，記作.即=.例如冪級數(shù)的和函數(shù)為，即=，.教師講授12′知識鞏固例4求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù).解該冪級數(shù)是公比為的等比級數(shù)，其部分和為.根據(jù)上面的討論，當，即時，級數(shù)收斂．并且.故級數(shù)的收斂域為，和函數(shù)為.即，.教師講授17′新知識冪級數(shù)的收斂性一般有以下三種情形：（1）僅在點x＝0處收斂，（2）在（?∞，＋∞）內(nèi)處處收斂，（3）存在一個正數(shù)R，當|x|<R時收斂，當|x|>R時發(fā)散．稱正數(shù)R為級數(shù)的收斂半徑，區(qū)間叫做收斂區(qū)間．經(jīng)常使用下面的方法進行判定：對于冪級數(shù)，設an≠0，如果＝ρ，那么（1）當0＜ρ＜＋∞時，收斂半徑R＝eq\f(1,ρ)；（2）當ρ＝0時，收斂半徑R＝＋∞；（3）當ρ＝＋∞時，收斂半徑R＝0．教師講授25′知識鞏固例5求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間．解由于an＝eq\f(1,n)，an+1＝eq\f(1,n+1)，因此＝＝＝1＝ρ．則收斂半徑R＝eq\f(1,ρ)＝1，收斂區(qū)間為（－1，1）．例6求冪級數(shù)的收斂區(qū)間.解令，于是原冪級數(shù)變?yōu)?.所以.由，即得．故冪級數(shù)的收斂區(qū)間.說明求冪級數(shù)的收斂域的時候，一般需要首先求出收斂區(qū)間，然后判定級數(shù)在區(qū)間端點處是否收斂．如本題中，級數(shù)在x＝－1處收斂，在x＝1處發(fā)散，因此級數(shù)的收斂域是[－1，1）．在本教材中，一般不做這方面的研究，如果需要可以利用軟件來完成．教師引領學生完成33′鏈接軟件利用matlab軟件可以將一個函數(shù)展開為冪級數(shù)，方法詳見實驗7. 例如：將函數(shù)展開為冪級數(shù)，寫出展開至5次冪項的操作為：clearsymsxf=sin(x);taylor(f)顯示：f=sin(x)ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5即．演示37′練習7.1.21.求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)．2.求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間（1）；（2）.學生課上完成43′小結新知識：冪級數(shù)的一般形式及相關概念，一些簡單的冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及在收斂區(qū)間上和函數(shù)的求法。作業(yè)1.記憶冪級數(shù)的一般形式，梳理求冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及在收斂區(qū)間上和函數(shù)的方法。2.完成習題冊作業(yè)7.1.2。45′7.2.1周期為2π的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)教學目標：（1）了解傅里葉級數(shù)的概念和將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件；（2）學會將周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。教學重點： 將周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。教學難點： 傅里葉級數(shù)的概念和將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注新知識設是一個以為周期的函數(shù)，且能展開成級數(shù)，即．叫做函數(shù)的傅立葉級數(shù)，其中，，（7.1）.系數(shù)叫做函數(shù)的傅立葉系數(shù).設是以為周期的函數(shù)，如果函數(shù)在一個周期內(nèi)連續(xù)或至多只有有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點，可以證明函數(shù)的傅立葉級數(shù)收斂，并且(1)當是的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于；(2)當是的間斷點時，級數(shù)收斂于.實際問題中我們所遇到的周期函數(shù)，一般都能滿足上述定理的條件，因而都能展開為傅立葉級數(shù).教師講授10′知識鞏固例1設是以為周期的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅立葉級數(shù).解計算傅立葉系數(shù)：，.因此得到的傅立葉級數(shù)為在函數(shù)的間斷點處，它的收斂于.所以展開為傅立葉級數(shù)（，）和函數(shù)的圖像如圖7-1所示.圖7－1說明：為簡單起見，本章后面討論周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)，不再討論間斷點處的收斂情況.例2設是以為周期的函數(shù)，它在上的表示式為，將展開為傅立葉級數(shù).解因為，，.所以的傅立葉級數(shù)為.教師講授在教師引領下完成35′新知識如果是周期為的奇函數(shù),那么它的傅立葉系數(shù)中，，，.于是的展開為傅立葉級數(shù)傅立葉展開式中只有正弦項,這樣的級數(shù)叫做正弦級數(shù).如果是的偶函數(shù),那么它的傅立葉系數(shù)中，，，，于是的展開為傅立葉級數(shù)傅立葉展開式中只有余弦項,這樣的級數(shù)叫做余弦級數(shù). 首先判斷函數(shù)的奇偶性，有時候會給函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開帶來便利．教師講授45′知識鞏固例3設是以為周期的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅立葉級數(shù).解因為周期函數(shù)為偶函數(shù)，所以它的傅立葉級數(shù)是余弦級數(shù)，，.所以的傅立葉級數(shù)為．在教師引領下完成55′練習7.2.1 1.設是周期為的函數(shù)，它在上的表示式為其中為不等于零的常數(shù)，將展開為傅立葉級數(shù).2.設是周期為的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅立葉級數(shù).學生課上完成85′小結新知識：傅里葉級數(shù)的概念，將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件，周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。作業(yè)1.熟記傅里葉系數(shù)公式，總結周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的步驟。2.完成習題冊作業(yè)7.2.1。90′7.2.2周期為2l的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)教學目標：學會將周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。教學重點： 將周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。 教學難點： 周期為的函數(shù)變換為周期為的函數(shù)過程的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注探究設函數(shù)的周期為，令,則當在區(qū)間上取值時，就在上取值.設，則是以為周期的函數(shù).將展開為傅立葉級數(shù)，其中；；.在以上各式中，把變量換回并注意到，可以得到以周期為的函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式.教師講授5′新知識周期為的函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式.，其中，，（7.2）類似地，如果是奇函數(shù)，則它的傅立葉級數(shù)是正弦級數(shù)，即，其中.如果是偶函數(shù)，則它的傅立葉級數(shù)是余弦級數(shù)，即，其中，.教師講授10′知識鞏固例4設是周期為4的函數(shù)，它在上的表示式為其中為不等于零的常數(shù)，將展開為傅立葉級數(shù).解計算傅立葉系數(shù).，，所以的傅立葉級數(shù)為.在教師引領下完成20′練習7.2.21.設是周期為2的函數(shù)，它在上的表示式為將展開為傅立葉級數(shù)2.將周期為4的函數(shù)，展開為傅立葉級數(shù).學生課上完成42′小結新知識：周期為的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。作業(yè)完成習題冊作業(yè)7.2.2。45′7.2.3周期延拓教學目標：掌握周期延拓的方法，學會將非周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。教學重點： 非周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。 教學難點： 周期延拓概念的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識我們已經(jīng)討論了將周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的問題.而實際問題中會遇到大量的非周期函數(shù)，有時需要把它們展開成傅立葉級數(shù).下面討論如何把定義在或上的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù).一般地，若將上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)，則把延拓為上的奇函數(shù)，叫做奇延拓，即然后將展開為傅立葉級數(shù)，這樣得到定義在上的函數(shù)的正弦級數(shù)一般地，若將上的函數(shù)展開為余弦級數(shù)，則把延拓為上的偶函數(shù)，叫做偶延拓，即然后將展開為傅立葉級數(shù)，這樣得到定義在上的函數(shù)的余弦級數(shù).教師講授10′知識鞏固例5將函數(shù)分別展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解先將展開為正弦級數(shù)，為此，先對進行奇延拓，再延拓為周期是的函數(shù).延拓后的函數(shù)如圖(7－2)所示.由于延拓后的函數(shù)是奇函數(shù)，傅立葉系數(shù)為，，于是.圖7－2圖7－3再將展開為余弦級數(shù)，對進行偶延拓后是偶函數(shù)的，如圖(7－3)所示.，，所以展開為余弦級數(shù)是.將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)時，一般不必寫出延拓后的函數(shù)，只要按公式計算出系數(shù)代入正弦級數(shù)或余弦級數(shù)即可.用同樣的方法，還可以將定義在或上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù).在教師引領下完成25′練習7.2.3將函數(shù)分別展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù).2.將展開為余弦級數(shù).學生課上完成43′小結新知識：利用周期延拓的方法，將非周期函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。作業(yè)完成習題冊作業(yè)7.2.3。45′7.3.1拉氏變換的概念教學目標：（1）理解拉氏變換的概念；（2）學會用拉氏變換表求函數(shù)的拉氏變換；（3）認識單位階梯函數(shù)和狄拉克函數(shù)。教學重點：（1）拉氏變換的概念；（2）用拉氏變換表求函數(shù)的拉氏變換；教學難點： 拉氏變換的概念的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識設函數(shù)的定義域為，若廣義積分在的某一范圍內(nèi)收斂，則此積分就確定了一個參數(shù)為的函數(shù)，記作，即.函數(shù)叫做的拉普拉斯(Laplace)變換，簡稱拉氏變換(或叫做的像函數(shù))，用記號表示，即(7.3)關于拉氏變換定義的幾點說明：(1)定義中只要求在時有定義，假定在時，；(2)在自然科學和工程技術中經(jīng)常遇到的函數(shù)，總能滿足拉氏變換的存在條件，故本章略去拉氏變換的存在性的討論.教師講授8′知識鞏固例1求指數(shù)函數(shù)()的拉氏變換.解由公式(7.3)得.當時，此積分收斂，故.在教師引領下共同完成13′新知識在實際應用中，直接用定義的方法求函數(shù)的拉氏變換比較繁瑣.為了應用方便，我們將常用的函數(shù)的拉氏變換分別列表如下，供讀者使用.表7-1常用函數(shù)的拉氏變換表序號123456789101112131415教師講授20′知識鞏固例2求下列函數(shù)的拉氏變換：(1)；(2)；(3)解(1)由拉氏變換表中得.(2)由拉氏變換表中，得，即.(3)由，得.在教師引領下共同完成26′新知識下面介紹兩個自動控制系統(tǒng)中常用的函數(shù).1.單位階梯函數(shù)單位階梯函數(shù)的表示形式為(1)如圖7-4(1)所示.（1）（2）圖7－4將平移個單位如圖7-7(2)所示，則有(2)2.狄拉克函數(shù)設當時，的極限叫做狄拉克(Dirac)函數(shù)，簡稱為函數(shù).當，；當，，即如圖7-5所示，圖7－5教師講授32′練習7.3.1利用拉氏變換表求下列函數(shù)拉氏變換(1)； (2)；(3)；(4)，(5)； (6)．學生課上完成42′小結新知識：拉氏變換的概念，利用拉氏變換表求函數(shù)的拉氏變換。45′作業(yè)1.熟悉拉氏變換表中所列函數(shù)的拉氏變換；2.完成習題冊作業(yè)7.3.1。7.3.2拉氏變換的性質(zhì)教學目標：（1）理解拉氏變換的性質(zhì)；（2）學會用拉氏變換的性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換。教學重點：用拉氏變換的性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換。 教學難點： 拉氏變換的性質(zhì)的理解。授課時數(shù)：2課時.教學過程過程備注新知識利用拉氏變換的性質(zhì)，可以更方便求一些較為復雜的函數(shù)的拉氏變換.性質(zhì)1(線性性質(zhì))設，是任意常數(shù)，且，，則.(7.4)這個性質(zhì)可以推廣到有限個函數(shù)的情形，即，其中為常數(shù)．性質(zhì)1表明，函數(shù)線性組合的拉氏變換等于各個函數(shù)拉氏變換的線性組合．教師講授8′知識鞏固例3求函數(shù)的拉氏變換.解.即.教師講授15′新知識性質(zhì)2（平移性質(zhì)）設，則.(7.5)性質(zhì)2說明：乘以的拉氏變換等于其像函數(shù)做位移個單位．教師講授20′知識鞏固例4求.解因為，根據(jù)平移性質(zhì)，得，同理可得．在教師引領下共同完成23′新知識性質(zhì)3（延滯性質(zhì)）設，則(7.6)此性質(zhì)表明，函數(shù)的拉氏變換等于的拉氏變換乘以.教師講授28′知識鞏固例5求函數(shù)的拉氏變換.解因為，由延滯性質(zhì)，得. 例6計算.解.注意：不能直接使用上述性質(zhì)，因為時，當時，不恒為零.教師講授在教師引領下共同完成40′新知識性質(zhì)4（微分性質(zhì)）設，在上連續(xù)，且連續(xù)，則.(7.7)性質(zhì)4表明，一個函數(shù)求導后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)，再減去函數(shù)的初始值.同理.一般地.教師講授50′知識鞏固例7利用微分性質(zhì)求.解設，那么，，，.利用線性性質(zhì)得.由微分性質(zhì)得，有，得，同理可得.在教師引領下共同完成60′鏈接軟件 利用matlab軟件可以求函數(shù)的拉氏變換，方法詳見實驗7.例如，求的操作為輸入symstlaplace(sin(x))顯示：ans=1/(s^2+1)即.演示65′練習7.3.2求下列各函數(shù)的拉氏變換.(1)；(2)； (3)；(4)；(5).學生課上完成85′小結新知識：利用拉氏變換的性質(zhì)求函數(shù)的拉氏變換。作業(yè)1.在記憶拉氏變換的性質(zhì)的同時總結其使用方法。2.完成習題冊作業(yè)7.3.2。90′7.3.3拉氏逆變換及其性質(zhì)教學目標：（1）理解拉氏逆變換的概念及性質(zhì)；（2）學會應用拉氏逆變換性質(zhì)及反查拉氏變換表求函數(shù)的拉氏逆變換。教學重點： 求拉氏逆變換的方法。 教學難點： 拉氏逆變換的概念及性質(zhì)的理解。授課時數(shù)：1課時.教學過程過程備注新知識前面我們討論了由已知函數(shù)去求它的像函數(shù)的問題.但在實際問題中會遇到許多與此相反的問題.如果是的拉氏變換，那么把叫做的拉氏逆變換(或的原像函數(shù))，記作，即.例如，由知，．一些簡單的像函數(shù)，常常要從拉氏變換表中查找得到它的原像函數(shù).例如，查看表7－1第6行，這里，故.用拉氏變換表求逆變換時，經(jīng)常需要結合使用拉氏變換的下面三個性質(zhì).性質(zhì)1(線性性質(zhì))(7.8)性質(zhì)2(平移性質(zhì))(7.9)性質(zhì)3(延滯性質(zhì))(7.10)教師講授10′知識鞏固例8求下列函數(shù)的拉氏逆變換：(1)；(2)；(3).解(1)由性質(zhì)1及拉氏變換表得：.(2)由性質(zhì)2及拉氏變換表得：.(3).在教師引領下共同完成23′鏈接軟件利用matlab軟件可以求函數(shù)的拉氏變換，方法詳見實驗7.例如，求的操作為輸入：>>symssilaplace((3*s+1)/(s^2+2*s+2))顯示：ans=exp(-t)*(3*cos(t)-2*sin(t))即．演示28′練習7.3.3求下列函數(shù)的拉氏逆變換1.； 2.； 3.；4.； 5..學生課上完成43′小結新知識：拉氏逆變換的