6.2.1二重積分的概念教學(xué)目標(biāo)：（1）理解二重積分的概念及幾何意義；（2）了解二重積分的性質(zhì)；（3）學(xué)會用二重積分表示曲頂柱體的體積。教學(xué)重點： 二重積分的概念、性質(zhì)、幾何意義。教學(xué)難點： 二重積分的概念的理解。授課時數(shù)：2課時.教學(xué)過程過程備注知識回顧在第3章中，我們通過“分割→替換→求和→取極限”的過程，計算曲邊梯形的面積，從而研究了定積分．教師講授探究我們來研究下面兩個問題問題1.求曲頂柱體的體積．圖6－11圖6－12設(shè)有一幾何體，它的底是平面上的有界閉區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于鈾的柱面，它的頂是曲面，這里，且在上連續(xù)（圖6－11所示）．這種幾何體稱為曲頂柱體．現(xiàn)在我們來討論它的體積．圖6－11圖6－12關(guān)于曲頂柱體，當(dāng)點在區(qū)域上變動時，高是個變量，因此，它的體積不能直接用平頂柱體體積公式來計算．不難想到，用求曲邊梯形面積的方法，即分割、近似代替、求和、取極限的手段來解這個問題．（1）分割：我們用一曲線網(wǎng)把區(qū)域任意分成個小區(qū)域，，…，，小區(qū)域的面積也記作．以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于軸的柱面，這些柱面把原來的曲項柱體分為個小曲頂柱體．它們的體積分別記作，，…，．（2）近似代替：對于任意一個小區(qū)域，當(dāng)直徑很小時，由于連續(xù)，在中的變化很小，因此可以近似地看作常數(shù)，即若任意取點，則當(dāng)時，有，從而以為底的小曲頂柱體可近似地看作以為高的平頂柱體（圖6－12所示），于是（）．（3）求和：把這些小曲頂柱體體積的近似值累加起來，就得到所求的曲頂柱體體積的近似值，即（4）取極限：很顯然，如果區(qū)域分得越細(xì)，則上述和式就越接近于曲頂柱體體積，當(dāng)把區(qū)域無限細(xì)分時，即當(dāng)所有小區(qū)域的最大直徑（區(qū)間內(nèi)，最遠(yuǎn)端兩點間的距離，稱為該區(qū)間的直徑）時，則和式的極限就是所求的曲頂柱體的體積，即．問題2.求非均勻平面薄板的質(zhì)量設(shè)平面薄片的形狀為閉域（圖6－13所示），其面密度是點的函數(shù)，即在上為正的連續(xù)函數(shù)．當(dāng)質(zhì)量分布是均勻時，即為常數(shù)，則質(zhì)量等于面密度乘以薄片的面積．當(dāng)質(zhì)量分布不均勻時，是隨點而變化，如何求質(zhì)量呢？我們采用與曲頂柱體的體積相類似的思路和方法，求薄片的質(zhì)量．圖6－13（1）分割：把區(qū)域任意分成個小區(qū)域圖6－13，，…，小區(qū)域的面積也記作．該薄板就相應(yīng)地分成個小塊薄板．它們的質(zhì)量分別記作，，…，．（2）近似代替：對于一個小區(qū)域，當(dāng)直徑很小時，由于連續(xù)，在中的變化很小，可以近似地看作常數(shù)．即若任意取點，則當(dāng)時，有，從而上薄板的質(zhì)量可近似地看作以為面密度的均勻薄板，于是（）．（3）求和：把這些小薄板質(zhì)量的近似值累加起來，就得到所求的整塊薄板質(zhì)量的近似值，即．（4）取極限：很明顯，如果區(qū)域分得越細(xì)，則上述和式就越接近于非均勻平面薄板的質(zhì)量，當(dāng)把區(qū)域無限細(xì)分時，即當(dāng)所有小區(qū)域的最大直徑時，則和式的極限就是所求的非均勻平面薄板的質(zhì)量，即．動畫演示圖6-12曲頂柱體體積的求法總結(jié)求解步驟在教師引領(lǐng)下共同完成40′新知識上面兩個問題，雖然實際意義不同，但解決問題的方法完全相同，都是計算一種二元函數(shù)和式的極限．一般的，設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上有定義，將任意分成個小區(qū)域，，…，，其中表示第個小區(qū)域，也表示它的面積．在每個小區(qū)域上任取一點，作乘積（），并作和式.如果當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時，此和式的極限存在，且極限值與區(qū)域的分法無關(guān)，也與每個小區(qū)域中點的取法無關(guān)．則稱此極限值為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，記作，即．其中叫做二重積分號，叫做被積函數(shù)，叫被積表達(dá)式，叫做面積元素，與叫做積分變量，叫做積分區(qū)域．關(guān)于二重積分的幾點說明：1.二重積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)，而與積分變量所用符號無關(guān)．即有2.如果被積函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分存在，則稱在上可積．在閉區(qū)域上連續(xù)時，在上一定可積．以后總假定在連續(xù)．3.二重積分的幾何意義是：當(dāng)時，二重積分就表示曲頂柱體的體積（圖6－14（1））；若，二重積分就表示曲頂柱體的體積的負(fù)值（圖6－14（2））；當(dāng)在上的符號有正、有負(fù)時，二重積分就等于這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和（圖6－14（3））．（1）（1）（2）（3）圖6－14與定積分的性質(zhì)相類似，二重積分有如下的性質(zhì)．假設(shè)二元函數(shù)，在平面內(nèi)的積分區(qū)域上都連續(xù)，因而它們在上的二重積分都是存在的．性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即．性質(zhì)2兩個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各個函數(shù)二重積分的代數(shù)和，即．性質(zhì)3如果把積分區(qū)域分成兩個閉子域與，即，則．性質(zhì)4如果在上，，的面積為，則．教師講授60′練習(xí)61.用二重積分表示下列曲頂柱體的體積（1），為矩形區(qū)域：，；（2），為圓形區(qū)域：．2.根據(jù)二重積分的幾何意義，說明下列積分值大于零、小于零、還是等于零．（1）；（2）；（3）．3.利用二重積分的