對稱圖考試題目及答案一、選擇題（每題4分，共20分）1.對稱圖的定義是什么？A.一個圖，其中任意兩個頂點之間都存在一條邊B.一個圖，其中任意兩個頂點之間都不存在邊C.一個圖，其中任意兩個頂點之間存在邊或不存在邊，但存在對稱性D.一個圖，其中任意兩個頂點之間存在邊，但不存在對稱性答案：C2.在對稱圖中，如果一個頂點v的度數(shù)為k，那么它的對稱頂點的度數(shù)是多少？A.kB.k-1C.k+1D.0答案：A3.對稱圖的自同構(gòu)群是什么？A.一個空集B.一個只包含恒等映射的群C.一個包含所有可能的頂點排列的群D.一個包含所有可能的邊排列的群答案：C4.如果一個圖G是對稱圖，那么它的補圖G'也是對稱圖嗎？A.總是B.從不C.有時D.只有在G是完全圖或空圖時答案：C5.對稱圖的色數(shù)是指什么？A.給圖的頂點著色，使得任意兩個相鄰頂點顏色不同所需的最少顏色數(shù)B.給圖的頂點著色，使得任意兩個對稱頂點顏色相同所需的最少顏色數(shù)C.給圖的頂點著色，使得任意兩個對稱頂點顏色不同所需的最少顏色數(shù)D.給圖的頂點著色，使得任意兩個相鄰頂點顏色相同所需的最少顏色數(shù)答案：C二、填空題（每題3分，共15分）1.如果一個圖G是對稱圖，那么它的鄰接矩陣是_________的。答案：對稱2.對稱圖的一個基本性質(zhì)是，如果存在一條邊連接頂點u和v，那么也存在一條邊連接u和v的_________。答案：對稱頂點3.在對稱圖中，如果一個頂點v的度數(shù)為偶數(shù)，那么它的所有對稱頂點的度數(shù)也必須是_________。答案：偶數(shù)4.對稱圖的自同構(gòu)群可以用來確定圖的_________。答案：對稱性5.對稱圖的色數(shù)與圖的_________有關。答案：自同構(gòu)群三、簡答題（每題10分，共30分）1.描述對稱圖的基本特征，并給出一個例子。答案：對稱圖的基本特征包括：1)圖的鄰接矩陣是對稱的；2)圖中任意兩個對稱頂點的度數(shù)相同；3)圖的自同構(gòu)群可以用來描述圖的對稱性。一個例子是正五邊形的頂點和邊構(gòu)成的圖，其中每個頂點都與兩個相鄰頂點相連，并且這個圖的自同構(gòu)群是循環(huán)群C5，表示五個頂點的旋轉(zhuǎn)對稱性。2.解釋為什么對稱圖的補圖有時也是對稱圖。答案：對稱圖的補圖是對稱圖的條件是原圖的自同構(gòu)群在補圖上仍然作用良好。如果原圖的自同構(gòu)群能夠保持補圖的鄰接關系，那么補圖也是對稱圖。例如，完全圖K_n的補圖是空圖，空圖的補圖是完全圖，它們都是對稱圖。但是，如果原圖的自同構(gòu)群不能保持補圖的鄰接關系，那么補圖就不是對稱圖。3.討論對稱圖的色數(shù)與圖的自同構(gòu)群之間的關系。答案：對稱圖的色數(shù)與圖的自同構(gòu)群有密切關系。自同構(gòu)群描述了圖的對稱性，而對稱性會影響圖的著色。如果一個圖的自同構(gòu)群很大，那么可能需要更多的顏色來區(qū)分對稱頂點，從而增加色數(shù)。反之，如果自同構(gòu)群較小，可能只需要較少的顏色。因此，研究圖的自同構(gòu)群有助于確定圖的色數(shù)。四、計算題（每題15分，共30分）1.給定一個對稱圖G，其自同構(gòu)群為Z2×Z2，包含四個元素：恒等元素e，兩個90度旋轉(zhuǎn)r和r^3，以及一個180度翻轉(zhuǎn)s。請計算G的色數(shù)。答案：由于G的自同構(gòu)群為Z2×Z2，這意味著G具有四個對稱性：恒等、兩個90度旋轉(zhuǎn)和一個180度翻轉(zhuǎn)。這表明G的頂點可以被分為兩組，每組頂點在180度翻轉(zhuǎn)下是對稱的。因此，G的色數(shù)至少為2。如果G的頂點度數(shù)允許，那么G可以用兩種顏色著色，使得對稱頂點顏色不同。所以，G的色數(shù)為2。2.給定一個對稱圖H，其自同構(gòu)群為D4，包含八個元素：恒等元素e，三個旋轉(zhuǎn)r、r^2、r^3，以及四個反射s1、s2、s3、s4。請計算H的色數(shù)。答案：由于H的自同構(gòu)群為D4，這意味著H具有八個對稱性：恒等、三個旋轉(zhuǎn)和四個反射。這表明H的頂點可以被分為四組，每組頂點在90度旋轉(zhuǎn)下是對稱的。因此，H的色數(shù)至少為4。如果H的頂點度數(shù)允許，那么H可以用四種顏色著色，使得對稱頂點顏色不同。所以，H的色數(shù)為4。五、論述題（15分）討論對稱圖在圖論中的重要性及其在實際應用中的意義。答案：對稱圖在圖論中的重要性體現(xiàn)在其對圖的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的深刻影響。對稱圖的研究有助于理解圖的對稱性，這是圖論中的一個重要概念。對稱性可以幫助我們識別圖的某些特殊性質(zhì)，如色數(shù)、譜性質(zhì)等。在實際應用中，對稱圖的意義也很廣泛。例如，在化學